平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度一、平穩(wěn)過程的功率譜密度二、譜密度的性質(zhì)三、互譜密度及其性質(zhì)平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度一、平穩(wěn)過程的功率譜密度二、譜密度1假如x(t)滿足狄利克雷(Dirichlet)

條件,且絕對(duì)可積,即

那么x(t)

的傅里葉變換存在或者說具有頻譜且同時(shí)有傅里葉逆變換一、平穩(wěn)過程的功率譜密度設(shè)有時(shí)間函數(shù)一般是復(fù)數(shù)量,其共軛函數(shù)1.平均功率和能量譜密度假如x(t)滿足狄利克雷(Dirichlet)條2等式:稱為x(t)的能量譜密度帕塞瓦爾等式又可理解為總能量的譜表示式.平均功率上的平均功率.等式:稱為x(t)的能量譜密度帕塞瓦爾等式又可理解為總能量的3平均功率的譜表示式由給定的x(t)構(gòu)造一個(gè)截尾函數(shù)絕對(duì)可積它的帕塞瓦爾等式平均功率的譜表示式由給定的x(t)構(gòu)造一個(gè)截尾函數(shù)4變形得稱為x(t)

的平均功率譜密度2.平穩(wěn)過程的平均功率和能量譜密度變形得稱為x(t)的平均功率譜密度2.平穩(wěn)過程的平5交換定義式中積分與均值的運(yùn)算順序,并注意到平穩(wěn)過程的均方值是常數(shù),于是平穩(wěn)過程的平均功率該過程的均方值平穩(wěn)過程X(t)的功率譜密度,交換定義式中積分與均值的運(yùn)算順序,并注意到平穩(wěn)過程的均方值6即稱為平穩(wěn)過程X(t)的平均功率的譜表示式.也簡稱為自譜密度或譜密度,它是從頻率這個(gè)角度描述X(t)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律的最主要的數(shù)字特征.物理意義:表示X(t)的平均功率關(guān)于頻率的分布.即稱為平穩(wěn)過程X(t)的平均功率的譜表示式.也簡稱為7二、譜密度的性質(zhì)性質(zhì)1性質(zhì)2它們統(tǒng)稱為維納-辛欽(Wiener-Khintchine)公式.二、譜密度的性質(zhì)性質(zhì)1性質(zhì)2它們統(tǒng)稱為維納-辛欽(Wien8說明1.平穩(wěn)過程在自相關(guān)函數(shù)絕對(duì)可積的條件下,維納-辛欽公式成立.都是偶函數(shù),所以維納-辛欽公式還可以寫成如下的形式:說明1.平穩(wěn)過程在自相關(guān)函數(shù)絕對(duì)可積的條件下,維納-辛欽公9的譜表示式.它揭示了從時(shí)間角度描述平穩(wěn)過程X(t)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律和從頻率角度描述X(t)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律之間的聯(lián)系.在應(yīng)用上我們可以根據(jù)實(shí)際情形選擇時(shí)間域方法或等價(jià)的頻率域方法去解決實(shí)際問題.3.維納-辛欽公式又稱為平穩(wěn)過程自相關(guān)函數(shù)的譜表示式.它揭示了從時(shí)間角度描述平穩(wěn)過程X(t)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律10例1已知譜密度求平穩(wěn)過程X(t)的自相關(guān)函數(shù)和均方值.解由公式知自相關(guān)函數(shù)利用留數(shù)定理,可算得例1已知譜密度求平穩(wěn)過程X(t)的自相關(guān)函數(shù)和均方值11均方值為說明有理譜密度均方值為說明有理譜密度12在實(shí)際問題中常常碰到這樣一些平穩(wěn)過程,它們的自相關(guān)函數(shù)或譜密度在常義情形下的傅立葉變換或逆變換不存在,此時(shí)如果允許譜密度和自相關(guān)函數(shù)含有δ函數(shù),有關(guān)實(shí)際問題仍能得到圓滿解決.

在這種情況下,自相關(guān)函數(shù)為常數(shù)或正弦型函數(shù)的平穩(wěn)過程,其譜密度都是離散的.在實(shí)際問題中常常碰到這樣一些平穩(wěn)過程,它們的自相關(guān)13求自相關(guān)函數(shù)所對(duì)應(yīng)譜密度解

所要求的譜密度為相應(yīng)的譜密度如圖所示:此圖說明了譜密度是如何表明噪聲以外的周期信號(hào)的.例2求自相關(guān)函數(shù)所對(duì)應(yīng)譜密度解所要求的譜密度為相應(yīng)的譜密度14白噪聲均值為零而譜密度為正常數(shù),即的平穩(wěn)過程X(t)

稱為白噪聲過程,簡稱白噪聲.其名出于白光具有均勻光譜的緣故.2.白噪聲的自相關(guān)函數(shù)1.定義白噪聲均值為零而譜密度為正常數(shù),即的平穩(wěn)過程X(t)稱15是不相關(guān)的.(1)白噪聲也可定義為均值為零、自相關(guān)函數(shù)為說明(2)白噪聲是一種理想化的數(shù)學(xué)模型.它的平均功率是無限的.白噪聲在數(shù)學(xué)處理上具有簡單、方便優(yōu)點(diǎn).如果某種噪聲(或干擾)在比實(shí)際考慮的有用頻帶寬得多的范圍內(nèi),具有比較“平坦”的譜密度,那就可把它近似地當(dāng)作白噪聲來處理.是不相關(guān)的.(1)白噪聲也可定義為均值為零、自相關(guān)函數(shù)為16三、互譜密度及其性質(zhì)互譜密度的定義設(shè)

X(t)和Y(t)是兩個(gè)平穩(wěn)相關(guān)的隨機(jī)過程.稱為平穩(wěn)過程X(t)和Y(t)的互譜密度.說明三、互譜密度及其性質(zhì)互譜密度的定義設(shè)X(t)和Y(17互譜密度的性質(zhì)2.在互相關(guān)函數(shù)絕對(duì)可積的條件下,有如下維納-辛欽公式互譜密度的性質(zhì)2.在互相關(guān)函數(shù)絕對(duì)可積的條件下,有如下維184.互譜密度與自譜密度之間成立有不等式注意(1)在應(yīng)用上當(dāng)考慮多個(gè)平穩(wěn)過程之和的頻率結(jié)構(gòu)時(shí),要運(yùn)用互譜密度.例如:其中X(t)和Y(t)是平穩(wěn)相關(guān)的.4.互譜密度與自譜密度之間成立有不等式注意(1)在應(yīng)用19Z(t)的自相關(guān)函數(shù)是根據(jù)維納-辛欽公式,Z(t)

的自譜密度為Z(t)的自相關(guān)函數(shù)是根據(jù)維納-辛欽公式,Z(20(2)互譜密度并不象自譜密度那樣具有物理意義,引入這個(gè)概念主要是為了能在頻率域上描述兩個(gè)平穩(wěn)過程的相關(guān)性.例如:對(duì)具有零均值的平穩(wěn)過程X(t)

和Y(t),根據(jù)性質(zhì)(2),(2)互譜密度并不象自譜密度那樣具有物理意義,引入這個(gè)概念21