第14章結(jié)構(gòu)動力計算緒論§14-1多自由度體系的自由振動§14-2多自由度體系主振型的正交性和主振型矩陣§14-3多自由度體系的強迫振動§14-4無限自由度體系的自由振動§14-5無限自由度體系的自由振動的常微分方

程求解器解法§14-6近似法求頻率§14-7矩陣位移法求剛架的自振頻率§14-8用求解器求解自振頻率和振型§14-9小結(jié)第14章結(jié)構(gòu)動力計算緒論§14-1多自由度體系的§14-1多自由度體系的自由振動1.剛度法振動方程為§14-1多自由度體系的自由振動1.剛度法振動方程設(shè)振動方程解的形式為將上式代入振動方程，得若得到非零解，則展開形式為（a）設(shè)振動方程解的形式為將上式代入振動方程，得若得到非零解，則展解行列式，得到n個體系的自振頻率令將代入式（a），得由此可求出第i振型（b）式（b）是一組齊次方程，只能確定主振型的形狀，但不能位移地確定它的振幅。解行列式，得到n個體系的自振頻率令將代入式（a），得由此可求振型的標準化■規(guī)定某個元素的值，如第一個元素等于1，或者最大的一個元素等于1■規(guī)定主振型滿足下式振型的標準化■規(guī)定某個元素的值，如第一個元素等于1，或者

例14-1試求圖示剛架的自振頻率和振型。設(shè)橫梁的變形忽略不計，層間剛度系數(shù)和質(zhì)量如圖所示。解（1）求自振頻率例14-1試求圖示剛架的自振頻率和振型剛度矩陣和質(zhì)量矩陣分別為頻率方程為剛度矩陣和質(zhì)量矩陣分別為頻率方程為展開，得用試算法求得方程的三個根為因此，三個自振頻率為進一步求得展開，得用試算法求得方程的三個根為因此，三個自振頻率為進一步（2）求振型令Y31＝1，解得將代入振型方程，得（2）求振型令Y31＝1，解得將代入振型方程，得令Y32＝1，解得將代入振型方程，得令Y32＝1，解得將代入振型方程，得令Y33＝1，解得將代入振型方程，得令Y33＝1，解得將代入振型方程，得第14章結(jié)構(gòu)動力計算續(xù)論ppt課件剛度法振動方程為由得令，得故頻率方程為2柔度法剛度法振動方程為由得令，得故頻率方程為2柔度法展開為相應(yīng)的振型方程為展開為相應(yīng)的振型方程為例14－2試用柔度法重做例14－1。解（1）求自振頻率由各層的剛度系數(shù)得到各層柔度系數(shù)為例14－2試用柔度法重做例14－1。解（1）第14章結(jié)構(gòu)動力計算續(xù)論ppt課件柔度矩陣為頻率方程為柔度矩陣為頻率方程為展開，得解得因此，三個自振頻率為（2）求主振型將求得的分別代入振型方程，得到三個振型。展開，得解得因此，三個自振頻率為（2）求主振型將求得的分別代任選體系的兩個振型體系的質(zhì)量矩陣為則，第一個正交關(guān)系為§14-2多自由度體系主振型的正交性和主振型矩陣1主振型的正交性任選體系的兩個振型體系的質(zhì)量矩陣為則，第一個正交關(guān)系為§14另一種證明方法令振型方程中的i分別等于k、l，得將（a）式兩邊分別左乘Y（l）T、（b）式兩邊分別左乘Y（k）T，得考慮KT=K，MT=M，將（d）式兩邊轉(zhuǎn)置，得另一種證明方法令振型方程中的i分別等于k、l，得將（a）式兩式（c）-式（d），得若，得第一個正交關(guān)系將第一個正交關(guān)系代入（c），得對剛度也正交對于k=l，定義——第k振型的廣義質(zhì)量——第k振型的廣義剛度式（c）-式（d），得若，得第一個正交關(guān)系將第一個正交關(guān)系代以Y（k）T前乘下式得即由此得——由廣義剛度和質(zhì)量求自振頻率以Y（k）T前乘下式得即由此得——由廣義剛度和質(zhì)量求自振頻率主振型正交關(guān)系的應(yīng)用■判斷主振型的形狀特點第二振型分為兩個區(qū)，各居結(jié)構(gòu)的兩側(cè)，只有這樣才能滿足正交條件；第三振型分為三區(qū)，交替位于結(jié)構(gòu)的不同側(cè)。這樣才能符合與第一、第二主振型都彼此正交的條件。主振型正交關(guān)系的應(yīng)用■判斷主振型的形狀特點第二振型分為兩個區(qū)■確定位移展開公式中的系數(shù)任意一個位移向量都可按主振型展開用Y（j）TM前乘上式兩邊由正交性，得由此求得系數(shù)為■確定位移展開公式中的系數(shù)任意一個位移向量都可按主振型展開用例14－3驗算例14－1中所求得的主振型的正交性，求出每個主振型相應(yīng)的廣義質(zhì)量和廣義剛度，并求頻率

解由例14－1得知剛度矩陣和質(zhì)量矩陣分別為三個主振型分別為例14－3驗算例14－1中所求得的主（1）驗證對質(zhì)量矩陣的正交性同理（1）驗證對質(zhì)量矩陣的正交性同理（2）驗證對剛度矩陣的正交性同理（2）驗證對剛度矩陣的正交性同理（3）求廣義質(zhì)量同理（3）求廣義質(zhì)量同理（4）求廣義剛度同理（4）求廣義剛度同理（5）求頻率（5）求頻率主振型向量組成的方陣轉(zhuǎn)置矩陣為2主振型矩陣主振型向量組成的方陣轉(zhuǎn)置矩陣為2主振型矩陣故故同理由振型的正交性可知，非對角線上的元素等于零，主對角線上的元素為各振型的廣義質(zhì)量。所以同理由振型的正交性可知，非對角線上的元素等于零，主對角線上的振動方程為——簡諧荷載若§14-3多自由度體系的強迫振動1n個自由度體系在簡諧荷載下的強迫振動振動方程為——簡諧荷載若§14-3多自由度體系的強迫振動在平穩(wěn)階段，各質(zhì)點也作簡諧振動，即代入振動方程，整理后，得令若D0≠0，則在平穩(wěn)階段，各質(zhì)點也作簡諧振動，即代入振動方程，整理后，得令討論故,當(dāng)荷載頻率與其中任意一個自振頻率相等時,都可能出現(xiàn)共振現(xiàn)象，因此，對n個自由度體系，存在n個共振區(qū)。討論故,當(dāng)荷載頻率與其中任意一個自振頻率相等時,都可能出現(xiàn)共振動方程將位移向量按振型分解代入振動方程，并前乘YT令FP=YTFP（t）——廣義荷載向量振動方程變?yōu)?多自由度體系在一般荷載下的強迫振動振動方程將位移向量按振型分解代入振動方程，并前乘YT令FP=由于M*、K*都是對角陣，方程已經(jīng)解偶，即同理，令則振型分解法由杜哈梅積分，得初始條件為由于M*、K*都是對角陣，方程已經(jīng)解偶，即同理，令則振型分解代入初始條件，得代入初始條件，得例14-4已知結(jié)構(gòu)的頻率和振型，試求圖示結(jié)構(gòu)在突加荷載FP1作用下的位移和彎矩。解（1）主振型矩陣（2）建立坐標變化關(guān)系例14-4已知結(jié)構(gòu)的頻率和振型，試求圖（3）求廣義質(zhì)量（4）求廣義荷載（3）求廣義質(zhì)量（4）求廣義荷載（5）求正則坐標（5）求正則坐標（6）求質(zhì)點位移（6）求質(zhì)點位移質(zhì)點1的位移時程曲線實線：虛線：質(zhì)點1的位移時程曲線實線：虛線：（7）求彎矩振動過程中質(zhì)點所受的荷載與慣性力之和為截面1的彎矩為（7）求彎矩振動過程中質(zhì)點所受的荷載與慣性力之和為截面1的彎截面1彎矩時程曲線實線：虛線：只考慮第一振型截面1彎矩時程曲線實線：虛線：只考慮第一振型（8）討論■由于第一和第二主振型分量并不是同時達到最大值，因此不能簡單地把兩分量的最大值相加?！龅诙髡裥头至康挠绊懕鹊谝恢髡裥头至康挠绊懸〉亩?。■階次愈高的振型分量的影響愈小，通?？梢杂嬎闱?~3個低階振型的影響，就可以得到滿意的結(jié)果。（8）討論■由于第一和第二主振型分量并不是同■按無限自由度體系計算可以了解近似計算方法的應(yīng)用范圍和精確程度。■將無限自由度體系簡化為有限自由度體系進行計算，是不完整的?！鰧δ撤N類型的結(jié)構(gòu)，直接按無限自由度體系計算也有方便之處?！?4-4無限自由度體系的自由振動■在無限自由度體系的動力計算中，時間和位置坐標都是獨立變量。振動方程是偏微分方程。■按無限自由度體系計算可以了解近似計算方法的應(yīng)用范圍等截面梁彎曲時的靜力平衡方程為在自由振動時，唯一的荷載就是慣性力，即因此，等截面梁彎曲時的自由振動方程為等截面梁彎曲時的靜力平衡方程為在自由振動時，唯一的荷載就是慣用分離變量法求解，令代入振動方程，并整理得左邊是x的函數(shù)，右邊是t的函數(shù)。因此，兩邊都與x、t無關(guān)。故得兩個常微分方程用分離變量法求解，令代入振動方程，并整理得左邊是x的函數(shù)，右兩個方程的解分別為則，振動方程的解為C1——C4由邊界條件確定兩個方程的解分別為則，振動方程的解為C1——C4由邊界條件確例14-5試求等截面簡支梁的自振頻率和主振型。右邊：振幅曲線簡化為解：邊界條件引入振幅曲線左邊：得：令系數(shù)行列式=0得故例14-5試求等截面簡支梁的自振頻率和主振型。右邊：振幅這樣就得到了無限多個自振頻率和對應(yīng)的振型曲線這樣就得到了無限多個自振頻率和對應(yīng)的振型曲線14-5無限自由度體系自由振動的常微分方程求解器解法等截面兩彎曲時的自由振動偏微分方程為n=1：表示下段結(jié)果；n=2：表示上段結(jié)果。令代入振動方程，得邊界條件頂部（x=0）：彎矩=0、剪力=014-5無限自由度體系自由振動的常微分方程求解器解法中部（x=H2）：水平位移、轉(zhuǎn)角、彎矩、剪力都連續(xù)底部（x=H）：水平位移=0、轉(zhuǎn)角=0中部（x=H2）：水平位移、轉(zhuǎn)角、彎矩、剪力都連續(xù)底部（x=將特征值問題轉(zhuǎn)化為標準的非線性O(shè)DE問題首先，利用區(qū)域映射技巧作坐標變換于是有將特征值問題轉(zhuǎn)化為標準的非線性O(shè)DE問題首先，利用區(qū)域映射技這個變化將兩段區(qū)間影射為標準的單位區(qū)間[0，1]微分方程變?yōu)檫吔鐥l件變?yōu)轫敳浚▁=0，ξ=0）：自由中部（x=H2，ξ=1）：連續(xù)底部（x=H，ξ=0）：固定微分方程已變成常微分方程組特征值問題這個變化將兩段區(qū)間影射為標準的單位區(qū)間[0，1]微分方程變?yōu)槔闷椒驳腛DE技巧和等價的ODE技巧將其轉(zhuǎn)化為標準的非線性O(shè)DE問題.建議平凡的ODE，即取振型歸一化條件為分段考慮并利用坐標變換，有利用等價ODE技巧將該積分轉(zhuǎn)化為標準的ODE問題.這樣，就形成了一個標準的非線性常微分方程組，可直接利用標準的ODE求解器的非線性功能求解。利用平凡的ODE技巧和等價的ODE技巧將其轉(zhuǎn)化為標準的非線性利用COLSYS求解的計算步驟如下：設(shè)要求解前N個特征值（1）設(shè)初始解（2）對第k（k=1，2，…，M≥N振型求正交化的初始解其中利用COLSYS求解的計算步驟如下：設(shè)要求解前N個特征值（1（4）用COLSYS求解如下的一個一階線性O(shè)DE問題然后，求出（5）回到第（2）步作第k+1步求解。（4）用COLSYS求解如下的一個一階線性O(shè)DE問題然后，求例14-6圖示變截面柱，計算數(shù)據(jù)如下：1（下）段：2（上）段：其中s為一比例系數(shù)。計算s=1.0,0.5,0.1三種情況。解：前5個自振頻率在下表中給出，相應(yīng)的振型如圖所示。例14-6圖示變截面柱，計算數(shù)據(jù)如下：1（下）段：其中is1.00.50.11234514.84493.028260.482510.443843.78616.85694.856259.862510.264843.83719.21897.537258.939510.003843.906例14-6的自振頻率is1.00.50.1114.84416.85619第14章結(jié)構(gòu)動力計算續(xù)論ppt課件第14章結(jié)構(gòu)動力計算續(xù)論ppt課件計算結(jié)果表明：（1）當(dāng)上下段的質(zhì)量比和剛度比變?。磗變小）時，基本頻率變大；但高階頻率不一定如此。（2）在三種情況中，s=0.1時的振型在頂部位移很大（注意上下部的位移比），通常這種現(xiàn)象稱為鞭梢效應(yīng)；當(dāng)s更小時，鞭梢效應(yīng)將更嚴重。計算結(jié)果表明：一個無阻尼的彈性體系自由振動時，在任一時刻的總能量（應(yīng)變能與動能之和）保持不變?！?4-6近似法求自振頻率1能量法求第一頻率——瑞利（Rayleigh）法理論基礎(chǔ)：能量守恒原理例具有分布質(zhì)量的等截面梁，自由振動時，位移可表示為梁的彎曲應(yīng)變能為一個無阻尼的彈性體系自由振動時，在任一時刻的位移表示式對時間微分，得速度表達式為最大值為最大值為梁的動能為位移表示式對時間微分，得速度表達式為最大值為最大值為梁的動能位移和應(yīng)變能為零，體系的總能量為Tmax速度和動能為零，體系的總能量為Vεmax由能量守恒原理，可得由此得到計算頻率的公式位移和應(yīng)變能為零，體系的總能量為Tmax速度和動能為零，體系若梁上還有集中質(zhì)量mi，計算公式為如果Y（x）是第i振型，則得到的就是第i頻率的精確解■取某個靜荷載下的位移曲線作為Y（x）。這時，應(yīng)變能可用荷載作的功來代替，即若梁上還有集中質(zhì)量mi，計算公式為如果Y（x）是第i振型頻率計算公式為：■取結(jié)構(gòu)自重的變形曲線作為Y（x）。頻率計算公式為：■取結(jié)構(gòu)自重的變形曲線作為Y（x）。例14-7試求等截面簡支梁的第一頻率解（1）將拋物線作為Y（x）。例14-7試求等截面簡支梁的第一頻率解（1）將拋（2）將均布荷載作用下的位移曲線作為Y（x）。（2）將均布荷載作用下的位移曲線作為Y（x）。（3）將正弦曲線作為Y（x）。（3）將正弦曲線作為Y（x）。（4）討論。正弦曲線是第一主振型的精確解，因此由它求得的是第一頻率的精確解。根據(jù)均布荷載作用下的撓度曲線求得的結(jié)果具有很高的精度。（4）討論。正弦曲線是第一主振型的精確解，因此由它求例14-8試求圖14-15所示楔形懸臂梁的自振頻率。設(shè)梁的截面寬度b=1，截面高度為直線變化：解單位長度質(zhì)量截面慣性矩例14-8試求圖14-15所示楔形懸臂梁的自振頻率。設(shè)位移形狀函數(shù)為代入頻率計算公式，得精確解為誤差為3%設(shè)位移形狀函數(shù)為代入頻率計算公式，得精確解為誤差為3%理論基礎(chǔ)：哈密頓（W.R.Hamilton)原理在所有可能的運動狀態(tài)中,精確解使駐值得哈密頓泛函駐值Y(x)是滿足邊界條件的任意可能位移函數(shù)2.能量法求最初幾個頻率——瑞利-里茲（Rayleigh-Ritz）法理論基礎(chǔ)：哈密頓（W.R.Hamilton)原理在所有可能的瑞利-里茲（Rayleigh-Ritz）法的具體步驟:(1)將體系的自由度折減為n個自由度,位移函數(shù)表示為:n個可能的位移函數(shù);a:待定系數(shù)。（2）將位移函數(shù)代入哈密頓泛函，得令瑞利-里茲（Rayleigh-Ritz）法的具體步驟:(1)得應(yīng)用駐值條件得寫成矩陣形式令系數(shù)行列式為零，即可求得最初幾個自振頻率的近似值。得應(yīng)用駐值條件得寫成矩陣形式令系數(shù)行列式為零，即可求得最初幾例14-9試求等截面懸臂梁的最初幾個頻率。設(shè)可能位移為解其中（1）第一次近似得駐值條件為令得例14-9試求等截面懸臂梁的最初幾個頻率。設(shè)可（2）第二次近似解得令則，第一、二頻率的近似值(誤差為0.48%）(誤差為58%）這里第一頻率的精度已大為提高。（2）第二次近似解得令則，第一、二頻率的近似值(誤差為0.4例14-10試用集中質(zhì)量法去等截面簡支梁的自振頻率。解3集中質(zhì)量法例14-10試用集中質(zhì)量法去等截面簡支梁的自振頻第14章結(jié)構(gòu)動力計算續(xù)論ppt課件例14-11試求框架的最低頻率。解讀者可自行驗證，對稱振型的頻率大于反對稱振型的頻率例14-11試求框架的最低頻率。解讀者可自行§14-7矩陣位移法求剛架的自振頻率1單元的泛函將剛架分成有限個單元，任一單元的哈密頓泛函為剛架的泛函根據(jù)剛架泛函為駐值的條件，求Δ的非零解，得到剛架頻率可用單元的結(jié)點位移Δ表示單元的結(jié)點位移幅值為§14-7矩陣位移法求剛架的自振頻率1單元的泛函將桿件的位移幅值函數(shù)可表示為形狀函數(shù)列陣桿件的位移幅值函數(shù)可表示為形狀函數(shù)列陣其中——單元的剛度矩陣——單元的質(zhì)量矩陣其中——單元的剛度矩陣——單元的質(zhì)量矩陣對單元泛函疊加，得將EP改用剛架的結(jié)點位移幅值Δ來表示。2剛架的泛函對單元泛函疊加，得將EP改用剛架的結(jié)點位移幅值Δ來表示。2應(yīng)用駐值條件，得頻率方程為3駐值條件和頻率方程應(yīng)用