6.6梁的橫向強(qiáng)迫振動

6.6梁的橫向強(qiáng)迫振動11．主振型的正交性這里討論簡單邊界的梁的主振型正交性，梁可以是變截面或非勻質(zhì)的。重寫式（6.117）如下：（6.117）

（6.126）設(shè)

、

分別是對應(yīng)于固有頻率

及

的主振型，由上式有

（6.127）

（6.128）式（6.127）兩邊乘以并沿梁長對x積分，有（6.129）利用分部積分，上式左邊可寫為1．主振型的正交性這里討論簡單邊界的梁的主振型正交性，梁可以2

由于在梁的簡單邊界上，總有撓度或剪力中的一個與轉(zhuǎn)角或彎矩中的一個同時為零，所以上式右邊第一、二項等于零，成為

（6.130）將式（6.130）代入（6.129），得

（6.131）式（6.128）乘以

并沿梁長對x積分，同樣可得到

（6.132）式（6.131）與（6.132）相減后得

（6.133）如果

時

有，由上式必有

當(dāng)（6.134）由于在梁的簡單邊界上，總有撓度或剪力中的一個與轉(zhuǎn)角或彎矩中3

式（6.134）即梁的主振型關(guān)于質(zhì)量的正交性，再由（6.132）及（6.130）可得

當(dāng)

（6.135）

當(dāng)

（6.136）上面兩式即梁的主振型關(guān)于剛度的正交性。當(dāng)

時，式（6.133）總能成立，令

（6.137）

（6.138）常數(shù)

、

分別稱為第j階主質(zhì)量及第j階主剛度，由式（6.132）得知它們有下列關(guān)系：

（6.139）如果主振型

中的常數(shù)

按下列歸一化條件來確定：

（6.140）式（6.134）即梁的主振型關(guān)于質(zhì)量的正交性，再由（6.14

則得到的主振型稱為正則振型，這時相應(yīng)的第j階主剛度

為

。上式與（6.134）可合寫為

（6.141）由（6.135）、（6.136）及（6.138）則得

（6.142）

（6.143）2．梁橫向振動的強(qiáng)迫響應(yīng)重寫梁的橫向強(qiáng)迫振動方程（6.113）如下：

（6.144）將梁的撓度按正則振型

展開為如下的無窮級數(shù)：

（6.145）則得到的主振型稱為正則振型，這時相應(yīng)的第j階主剛度5

其中

是正則坐標(biāo)，上式代入（6.144）后得上式兩邊乘以

并沿梁長對x積分，有由正交性條件（6.141）與（6.143），上式成為

（6.146）式（6.146）即第j個正則坐標(biāo)方程，其中

（6.147）

即第j個正則坐標(biāo)的廣義力，由分部積分上式還可寫為

（6.148）

假定量的初始條件為

（6.149）其中是正則坐標(biāo)，上式代入（6.16

將式（6.145）代入（6.149），有上面兩式乘以

并沿梁長對x積分，由正交性（6.141）得

（6.150）式（6.150）即第j個正則坐標(biāo)的初始條件，于是式（6.146）的解為

（6.151）

將式（6.145）代入（6.149），有7

將形如上式的各個正則坐標(biāo)響應(yīng)代入（6.145），即得到梁在初始條件下對任意激勵的響應(yīng)。若是零初始條件，梁對任意激勵的響應(yīng)則為

（6.152）如果作用在梁上的載荷不是分布力及分布力矩，而是圖6-13所示的集中力P（t）及集中力矩M（t），利用第一章介紹的

函數(shù)，它們可表示為

（6.145）將形如上式的各個正則坐標(biāo)響應(yīng)代入（6.145），即得到梁在8

（6.153）（6.154）

上面兩式代入（6.148）后得到下列正則坐標(biāo)的廣義力：（6.148）（6.155）上式也可以根據(jù)將（6.153）、（6.154）代入（6.147）并利用導(dǎo)數(shù)的篩選性質(zhì)（見（1.76））而得出。于是，零初始條件下梁的響應(yīng)為（6.156）現(xiàn)在來考慮等截面勻質(zhì)梁對簡諧激勵的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，除了可用上述振型疊加法求解外，也可以用直接解法求。假設(shè)在梁上作用有下列簡諧激振分布力：（6.157）

9

方程（6.114）可寫為

（6.158）其中

，設(shè)梁的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為

（6.159）代入（6.158）后得

（6.160）其中

，相應(yīng)于上式的齊次方程通解形如式（6.120），非齊次特解可用如下方法得到，對上式兩邊作拉氏變換，得其中

、

分別是

與

的拉氏變換，由上式解出方程（6.114）可寫為10

已知

的拉氏逆變換是

，從而根據(jù)拉氏變換的

卷積性質(zhì)得到非齊次特解為這樣，方程（6.160）的通解為

（6.161）上式中的四個常數(shù)由兩端的邊界條件確定，將求出

的代入（6.159），即得到梁的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。已知的拉氏逆變換是11

例6.5如圖6-14所示，一簡支梁在其中點(diǎn)受到常力P作用而產(chǎn)生靜變形，求當(dāng)力P突然移去時梁的響應(yīng)。解：由材料力學(xué)得知初始條件為例6.5如圖6-14所示，一簡支梁在其中點(diǎn)受到常力P作12

其中

為梁中央的靜撓度。從例6.3已知兩端簡支梁的固有頻率及主振型為將主振型代入（6.140）的歸一化條件，得（6.140）從而得知正則振型

中的系數(shù)

。由式（6.150）算出正則坐標(biāo)的初始條件為（6.150）其中為梁中央的13

因沒有激振力，正則廣義力等于零，由式（6.151）得（6.151）

14

于是梁的自