第一章數(shù)系1.1數(shù)的概念的擴(kuò)展一、數(shù)的概念發(fā)展小史從整體上看，數(shù)的概念的發(fā)展的歷史過(guò)程大致按以下順序：自然數(shù)集（添加正分?jǐn)?shù)）正有理數(shù)集(添加分?jǐn)?shù)和零）有理數(shù)集（添加無(wú)理數(shù)）實(shí)數(shù)集（添加虛數(shù)）復(fù)數(shù)集在中小學(xué)數(shù)學(xué)教科書(shū)里，數(shù)的概念的擴(kuò)展（或擴(kuò)張）的步驟同歷史過(guò)程的大致接近的，只是將零的引入提前了，即自然數(shù)集（添零）擴(kuò)大自然數(shù)集(添加正分?jǐn)?shù)）有算術(shù)數(shù)集（添加負(fù)數(shù)）有理數(shù)集（添加無(wú)理數(shù)）實(shí)數(shù)集（添加虛數(shù)）復(fù)數(shù)集

第一章數(shù)系1.1數(shù)的概念的擴(kuò)展1二、數(shù)系擴(kuò)展的方式與原則通常不是對(duì)某種遠(yuǎn)算是封閉的數(shù)集叫做數(shù)系1.數(shù)系的擴(kuò)展的方式數(shù)系擴(kuò)展的方式有兩種：（1）添加元素法（2）構(gòu)造法二、數(shù)系擴(kuò)展的方式與原則22、自然數(shù)的順序定義3設(shè)非空有限集合A和B的基數(shù)分別為a和b（1）若A~B’包含于B,則稱(chēng)a小于b，a<b;(2)A包含A’~B,則稱(chēng)a大于b，記作a>b定理2自然數(shù)的順序關(guān)系具有以下性質(zhì):2、自然數(shù)的順序32.數(shù)系擴(kuò)展的原則設(shè)數(shù)系A(chǔ)擴(kuò)展后得到新的數(shù)系B，不論采用哪種擴(kuò)展方法，都應(yīng)遵循以下的原則：（1）A包含于B（A是B的真子集）（2）A的元素間所定義的一些遠(yuǎn)算或基本關(guān)系，在B中被從新定義，而且對(duì)于A的元素來(lái)說(shuō)，從新定義的遠(yuǎn)算,而且對(duì)于A上的元素來(lái)說(shuō)，從新定義的遠(yuǎn)算和關(guān)系與A中原來(lái)的意義完全一致（3）在A中不是總能施行的某種遠(yuǎn)算，在B中總能施行2.數(shù)系擴(kuò)展的原則4（4）在同構(gòu)的意義下，B應(yīng)當(dāng)?shù)谹的滿(mǎn)足上述三原則的最小擴(kuò)展，而且由A唯一確定（4）在同構(gòu)的意義下，B應(yīng)當(dāng)?shù)谹的滿(mǎn)足上述三原則的最小擴(kuò)展，51.2自然數(shù)集一、基數(shù)理論1.自然數(shù)的概念自然數(shù)集的基數(shù)以集合論的基本概念為基礎(chǔ)，在集合論中，如果集合A和集合B的元素之間可以建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，就稱(chēng)集合A和集合B等價(jià)，記A~B，集合等價(jià)具有下面的性質(zhì)：設(shè)A、B、C是集合，則（1）A~B（反身性）；（2）若A~B，則B~A（對(duì)稱(chēng)性）；（3）若A~B,B~C則A~C（傳遞性）；1.2自然數(shù)集一、基數(shù)理論6定義1不能與自身的任一真子集等價(jià)的集合叫做有限集定義2彼此等價(jià)的所有集合的共同特征的標(biāo)志叫做基數(shù)。非空有限集合的基數(shù)叫做自然數(shù)，空集的基數(shù)叫做0，集合A的基數(shù)記著|A|定理1自然數(shù)的相等關(guān)系具有反身性、對(duì)稱(chēng)性與傳遞性.(1)對(duì)任何a∈N,有a=a(反身性）；（2）設(shè)a，b∈N，若a=b則b=a（對(duì)稱(chēng)性）（3）設(shè)abc∈N，若a=b，b=c則a=c（傳遞性）

定義1不能與自身的任一真子集等價(jià)的集合叫做有限集7（1）設(shè)ab∈N,當(dāng)且僅當(dāng)a<b時(shí)b>a（對(duì)性）（2）設(shè)任意a、b、c∈N，若a<b且b<c則a<c（傳遞性）（3）對(duì)于任意a、b∈N，在a<b,a=b,a>b中有且只有一個(gè)成立（三分立）3.自然數(shù)的加法和乘法遠(yuǎn)算定義4設(shè)A和B是有限集，且A∩B=空集，|A|=a，|B|=b，如果A∪B=C,則稱(chēng)|c|=c為a與b的和，記作a+b=c。其中a，b叫做加法，求和的遠(yuǎn)算叫做加法。（1）設(shè)ab∈N,當(dāng)且僅當(dāng)a<b時(shí)b>a（對(duì)性）8定理3自然數(shù)的加法滿(mǎn)足交換律和結(jié)合律。對(duì)任意a、b、c∈N，有（1）a+b=b+a（2）a+（b+c）=（a+b）+c定理4自然數(shù)的乘法滿(mǎn)足以下運(yùn)算律；對(duì)于任意a,b,c∈N.ab＝ba（交換律）;(a＋b)c＝ac＋bc（乘法對(duì)加法的分配律）；a(bc)＝(ab)c（結(jié)合律）定理3自然數(shù)的加法滿(mǎn)足交換律和結(jié)合律。對(duì)任意a、b、c∈N，9二．序數(shù)理論定義6:一個(gè)非空集合N的元素叫做自然數(shù)，如果N的元素間有一個(gè)基本關(guān)系“后繼”（用符號(hào)“·”表示），并滿(mǎn)足下列公理：（1）1∈N,對(duì)于任意a∈N,a’≠1。（2）對(duì)任何a∈N,有唯一的后繼元素a’（3）1以外的任何元素，只能是一個(gè)元素的后繼元素（4）（歸類(lèi)公理）若,且1,1∈M2.a∈M則M=N第一章-數(shù)系課件10定理5設(shè)p（n）是一個(gè)與自然數(shù)有關(guān)的命題，如果（1）p（1）成立（2）假設(shè)p（k）成立，則p（k+1）成立；那么對(duì)任何自然數(shù)，p（n)成立2.自然數(shù)加法與乘法的歸納定義定義7自然數(shù)加法遠(yuǎn)算的歸納定義：（1）設(shè)a∈N,則a+1=a‘定理5設(shè)p（n）是一個(gè)與自然數(shù)有關(guān)的命題，如果（1）p（1）11（2）設(shè)a，b∈N，則a+b’=（a+b）’，其中a和b叫做加數(shù)，而a+b叫做它們的和，定義7具有可操作性，它給出了加法遠(yuǎn)算步驟例1求3+7定義8自然數(shù)乘法遠(yuǎn)算的歸納定義：（1）設(shè)a∈N,則ab‘=ab’+a，其中a叫做被乘數(shù)，b叫做乘數(shù)，叫做積例23x7（2）設(shè)a，b∈N，則a+b’=（a+b）’，12定義9若a，b∈N，且存在k∈N使得a+k=b，則稱(chēng)為a＜b;也稱(chēng)b大于a記作b＞a

定理6(加法單調(diào)性）設(shè)a，b，c∈N，則（1）若a=b，則a+c=b+c；（2）若a＜b，則a+c＜b+c：（3）若a＞b，則a+c﹥b+c；定義7（加法消去律）設(shè)a，b，c∈N則定義9若a，b∈N，且存在k∈N使得a+k=b，則稱(chēng)為a＜b131）若a+c=b+c，則a=b；（2）若a+c＜b+c，則a＜b：（3）若a+c﹥b+c，則a＞b；4.自然數(shù)集的性質(zhì)性質(zhì)1自然數(shù)集是有序集性質(zhì)2自然數(shù)集具有阿基米德性質(zhì)性質(zhì)3自然數(shù)集具有離散性性質(zhì)4（最小數(shù)原理）自然數(shù)集的任意非空子集中必有一個(gè)最小數(shù)。1）若a+c=b+c，則a=b；14定義8設(shè)p（n）是一個(gè)與自然數(shù)n有關(guān)的命題，如果

（1）p（1）成立

（2）假設(shè)p（n）對(duì)于所有滿(mǎn)足l＜k的自然數(shù)l成立，則p（k）成立；

那么p（n）對(duì)所有自然數(shù)成立三．?dāng)U大的自然數(shù)集自然數(shù)的加乘遠(yuǎn)算規(guī)則和有關(guān)性質(zhì)在N中仍然有效，只要修改補(bǔ)充（1）對(duì)于任意的a∈N，都有a+0=0+a；a·0＝0·a=0（2）設(shè)a，b∈N，則a+b≥a（3）設(shè)a，b，c∈N，若a＞b，則ac≥bc定義8設(shè)p（n）是一個(gè)與自然數(shù)n有關(guān)的命題，如果

（1）15

1．3整數(shù)環(huán)

一．整數(shù)概念

1.負(fù)整數(shù)的引入

定義10設(shè)A是一個(gè)非空數(shù)集，a，b∈A，如果存在x∈A使得b+x=a，則稱(chēng)x為a減去b的差，記作a-b。其中a叫做被減數(shù)，b叫做減數(shù)。求兩數(shù)差的運(yùn)算叫做減法。

16定義11

對(duì)于任意自然數(shù)有一個(gè)新數(shù)和它對(duì)應(yīng)滿(mǎn)足新數(shù)叫做負(fù)整數(shù)有時(shí)也寫(xiě)成這里的號(hào)和號(hào)分別叫做正號(hào)和負(fù)號(hào)這時(shí)與作為運(yùn)算符號(hào)的加減號(hào)不同它們是性質(zhì)符號(hào)負(fù)號(hào)在使用時(shí)依循下面的符號(hào)法則

定義12

一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值是一個(gè)由唯一確定的非負(fù)數(shù)定義12不僅適用于整數(shù)也適用于有理數(shù)和實(shí)數(shù)

定義11對(duì)于任意自然數(shù)有一個(gè)新數(shù)和它對(duì)應(yīng)滿(mǎn)足新數(shù)叫做17二、整數(shù)運(yùn)算與整數(shù)環(huán)1.整數(shù)的加法和減法定義13（加法法則)設(shè)m,n∈N,(1)同號(hào)兩數(shù)相加，絕對(duì)值相加，并取原來(lái)的符號(hào)。即

(±m(xù))+(±n)=(±n)+(±m(xù)）=±（m+n).

（2）異號(hào)兩數(shù)相加，當(dāng)絕對(duì)值相等時(shí)（即互為相反數(shù)),其和為零；當(dāng)絕對(duì)值不等時(shí)，絕對(duì)值相減，并取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)。二、整數(shù)運(yùn)算與整數(shù)環(huán)1.整數(shù)的加法和減法18（3）一個(gè)數(shù)同零相加，仍得這個(gè)數(shù)。即（±m(xù))+0=0+（±m(xù))=±m(xù).定義14（乘法法則）（1）同號(hào)兩數(shù)相乘，絕對(duì)值相乘，積取正號(hào)。（2）異號(hào)兩數(shù)相乘，絕對(duì)值相乘，積取負(fù)號(hào)。（3）零同任何數(shù)相乘，積為零。（3）一個(gè)數(shù)同零相加，仍得這個(gè)數(shù)。即192.整數(shù)的減法因?yàn)樵谡麛?shù)集里，m-n=m+(-n),所以整數(shù)的減法可以化做加法來(lái)做。定理9在整數(shù)集中，兩個(gè)數(shù)的差是唯一存在的。2.整數(shù)的減法203.整數(shù)集構(gòu)成一個(gè)交換環(huán)由于整數(shù)集上定義了加法和乘法兩種運(yùn)算。整數(shù)加法滿(mǎn)足結(jié)合律和交換律，且整數(shù)集中每一元素都有負(fù)元；整數(shù)乘法滿(mǎn)足結(jié)合律，且乘法對(duì)加法滿(mǎn)足分配律。因此，根據(jù)環(huán)的定義，整數(shù)集Z對(duì)加法和乘法構(gòu)成一個(gè)環(huán)。又因整數(shù)乘法還滿(mǎn)足交換律，所以整數(shù)環(huán)是一個(gè)交換環(huán)。3.整數(shù)集構(gòu)成一個(gè)交換環(huán)21

三．整數(shù)集的性質(zhì)

性質(zhì)1.整數(shù)集是有序集。

性質(zhì)2.整數(shù)集Z具有離散性。性質(zhì)3.整數(shù)集Z和它的子集N之間可以建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，即Z是可列集。

三．整數(shù)集的性質(zhì)

性質(zhì)1.整數(shù)集是有序集。

性質(zhì)222四．帶余除法和整除概念

在整數(shù)集中，除法運(yùn)算時(shí)不封閉的。但在整數(shù)集中可進(jìn)行帶余除法，并定義整除概念。定理10（帶余除法）設(shè)a∈Z,b∈Z*,則存在兩個(gè)整數(shù)q和r使a=bq+r(0≦r﹤|b|)成立，并且這樣的q和r是唯一的。四．帶余除法和整除概念

在整數(shù)集中，除法運(yùn)算時(shí)不封閉的。但在23定義15設(shè)a∈Z,b∈Z*,若有q∈Z,使得a=bq，就稱(chēng)b整除a（或a被b整除）。記作b|a。這時(shí)稱(chēng)b是a的因數(shù)或約數(shù),a是b的倍數(shù)。如果不存在這樣的整數(shù)q,就說(shuō)b不整除a.整數(shù)整除的基本性質(zhì)（1）若a|b,b|a,則|a|=|b|。(2)若a|b,b|c,則a|c.(3)若a|b,c≠0,則ac|bc.(4)若m|a,m|b,則m|(ka+lb).定義15設(shè)a∈Z,b∈Z*,若有q∈Z,241.4有理數(shù)域

一．有理數(shù)概念定義16對(duì)于任意非零算術(shù)數(shù)a，有一個(gè)新數(shù)-a和它對(duì)應(yīng)，滿(mǎn)足a+（-a）=（-a）+a=0,

新數(shù)-a叫做負(fù)有理數(shù)；a叫做正有理數(shù)，有時(shí)也寫(xiě)成+a.

定義17設(shè)a∈Z,b∈Z*,一切可寫(xiě)成（或a/b）形式的數(shù)叫做有理數(shù)1.4有理數(shù)域

一．有理數(shù)概念25二．有理數(shù)的順序

有理數(shù)的大小順序，以算術(shù)數(shù)集中的有關(guān)概念和絕對(duì)值概念為基礎(chǔ)。定義18兩個(gè)正有理數(shù)a,b相等，其意義和算術(shù)數(shù)集中兩數(shù)相等的意義相同；對(duì)于兩個(gè)負(fù)有理數(shù)-a和-b,如果|-a|=|-b|,就稱(chēng)它們相等。

任意兩個(gè)不相等的有理數(shù)都可比較大小。

二．有理數(shù)的順序

有理數(shù)的大小順序，以算術(shù)數(shù)集中的有關(guān)概念和26定義19

（1）任一正有理數(shù)大于零，正有理數(shù)和零大于任一負(fù)有理數(shù)；反過(guò)來(lái)說(shuō)，任一負(fù)有理數(shù)都小于零，也小于一切正有理數(shù)。（2）兩個(gè)正有理數(shù)之間的大小比較，仍按照算術(shù)數(shù)集中的規(guī)定。（3）兩個(gè)負(fù)有理數(shù)之間，絕對(duì)值大的那個(gè)數(shù)較小。定義1927三．有理數(shù)運(yùn)算與有理數(shù)域

1.有理數(shù)的加法和乘法2.有理數(shù)的減法3.有理數(shù)的除法定義20設(shè)a,b∈Q,且b≠0，如果存在x∈Q滿(mǎn)足bx=a,則稱(chēng)x為a除以b的商，記作x=。4.有理數(shù)域

三．有理數(shù)運(yùn)算與有理數(shù)域

1.有理數(shù)的加法和乘法285.有理數(shù)運(yùn)算比較性質(zhì)定理11設(shè)a,b∈Q,則有（1）a＞b?a-b＞0;

（2）a=b?a–b=0;

（3）a﹤b?a-b﹤0.5.有理數(shù)運(yùn)算比較性質(zhì)29四．有理數(shù)集的性質(zhì)性質(zhì)1有理數(shù)集Q是一個(gè)有序域。性質(zhì)2有理數(shù)域具有阿基米德性質(zhì)。即對(duì)于任意a,b∈Q+,存在一個(gè)自然數(shù)n，使得na＞b.

性質(zhì)3有理數(shù)集具有稠密性。即在任意兩個(gè)不相等的有理數(shù)a和b之間，總存在無(wú)限多個(gè)有理數(shù)。性質(zhì)4有理數(shù)集是一個(gè)可列集。四．有理數(shù)集的性質(zhì)性質(zhì)1有理數(shù)集Q是一個(gè)有序域。30性質(zhì)1有理數(shù)集Q是一個(gè)有序域2.進(jìn)一法3.四舍五入法第一章-數(shù)系課件311.5近似計(jì)算

一．近似值的幾種截取方法1、去尾法，2、進(jìn)一法定義23近似值a的相對(duì)誤差a與a的絕對(duì)值之比叫做近似值a的相對(duì)誤差，記作a‘，即a’=1.5近似計(jì)算

一．近似值的幾種截取方法32定義24近似值a（a≠0）的絕對(duì)誤差界⊿與a的絕對(duì)值的比，叫做近似值a的相對(duì)誤差界，記作δ，即

Δ=3.有效數(shù)字和可靠數(shù)字定義25如果近似數(shù)a的絕對(duì)誤差界是某一數(shù)位的半個(gè)單位，那么從左邊第一位非零數(shù)字起直到這個(gè)數(shù)位為止，所有的數(shù)字叫做a的有效數(shù)定義26如果近似數(shù)a的絕對(duì)誤差界是某一數(shù)位的一個(gè)單位，那么a的從左邊第一位非零數(shù)字起直到這個(gè)數(shù)位為止，所有的數(shù)字叫做a的可靠數(shù)定義24近似值a（a≠0）的絕對(duì)誤差界⊿與a的絕對(duì)值的33一個(gè)近似數(shù)有n個(gè)有效數(shù)（或可靠數(shù)）數(shù)字，以稱(chēng)這個(gè)近似數(shù)有n個(gè)有效數(shù)（或可靠數(shù)）定義12，具有n個(gè)有效（或可靠）數(shù)位的近似數(shù)，其相對(duì)誤差界不受小數(shù)點(diǎn)所在位置的影響一個(gè)近似數(shù)有n個(gè)有效數(shù)（或可靠數(shù)）數(shù)字，以稱(chēng)這個(gè)近似34三．近似數(shù)四則運(yùn)算的經(jīng)驗(yàn)法則法則1近似數(shù)相加減，計(jì)算結(jié)果所保留的小數(shù)位數(shù)，應(yīng)先四舍五入到比的結(jié)果應(yīng)保留的多一位，在行計(jì)算例1求近似數(shù)2.478，53.6，34.6342的和法則2近似數(shù)相乘除，計(jì)算結(jié)果所保留的有效數(shù)位個(gè)數(shù)，應(yīng)和已知數(shù)中有效數(shù)位最少的一個(gè)相同。其它已知數(shù)中過(guò)多的有效數(shù)數(shù)字，可先四舍五入到比的結(jié)果應(yīng)保留的多一位，在行計(jì)算例如2計(jì)算(2.58x三．近似數(shù)四則運(yùn)算的經(jīng)驗(yàn)法則35法則3近似數(shù)平方或開(kāi)方，計(jì)算結(jié)果所保留的有效數(shù)數(shù)位個(gè)數(shù)，應(yīng)和底數(shù)或被開(kāi)方數(shù)的個(gè)數(shù)相同法則4近似數(shù)的混合計(jì)算，仍按照通常順序進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算過(guò)程中得出的中間結(jié)果，一般要比計(jì)算結(jié)果應(yīng)保留的數(shù)位多一位例3計(jì)算8.61547+43.2x1.6483-法則3近似數(shù)平方或開(kāi)方，計(jì)算結(jié)果所保留的有效數(shù)數(shù)位個(gè)數(shù)，應(yīng)和36四．預(yù)定精確度的計(jì)算方法

法則1在約定精確度的近似數(shù)加法中，如果要求和具有n個(gè)可靠（有效）數(shù)字，其余各個(gè)近似數(shù)截取到與最大數(shù)的末位有效數(shù)相同的數(shù)位上例4例7四．預(yù)定精確度的計(jì)算方法

法則1在約定精確度的近似數(shù)加法中371.6、實(shí)數(shù)域一．無(wú)理數(shù)的引入定義27：無(wú)限不循環(huán)小數(shù)叫做無(wú)理數(shù).二，實(shí)數(shù)概念及其順序1、實(shí)數(shù)概念定義28：正的十進(jìn)制叫做正實(shí)數(shù).對(duì)于每一個(gè)正實(shí)數(shù)α，有一個(gè)新元素-α與之對(duì)應(yīng)，滿(mǎn)足：α+（-α）=（-α）+α=0，這些新元素就叫做負(fù)實(shí)數(shù)1.6、實(shí)數(shù)域一．無(wú)理數(shù)的引入382、實(shí)數(shù)的順序兩個(gè)正實(shí)數(shù)α，β比較大小，可先將它們化成小數(shù)，如果整數(shù)部分不同，整數(shù)部分大的那個(gè)數(shù)大；如果整數(shù)部分相同，而小數(shù)第一位不同，則小數(shù)第一位大的數(shù)較大；如果第一位也相同，則小數(shù)第二位大的數(shù)較大，以下依次類(lèi)推.如果它們的所有對(duì)應(yīng)