第十一講Ⅰ.相干態(tài)

A.湮滅算符的本征態(tài)已證得北京大學量子力學ppt課件-第11講1這類態(tài)稱為相干態(tài)。

B.相干態(tài)性質：

1.

在該態(tài)中位置和動量滿足最小測不準關系北京大學量子力學ppt課件-第11講2于是有

3

2.相干態(tài)隨時間的演化

若處于諧振子勢的粒子，在

時，處于相干態(tài)，則

時，體系的波函數為2.相干態(tài)隨時間的演化4

于是有

這表明

的本征值在

為，而在時刻為

我們有平均值

于是有5

我們也有平均值

6

所以，

7其中

8

它隨的演化很接近經典諧振子的運動。北京大學量子力學ppt課件-第11講9

C.本征值為實的相干態(tài)正是受迫振動的基態(tài)

這時，體系的哈密頓量為于是，我們有其中

C.本征值為實的相干態(tài)正是受迫振動的基態(tài)10

如令

則

令

如令11北京大學量子力學ppt課件-第11講12它的基態(tài)滿足而北京大學量子力學ppt課件-第11講13

所以即

這表明

這時

14

所以，

是哈密頓量

的相干態(tài)。

北京大學量子力學ppt課件-第11講15Ⅱ.表示力學量算符的性質

（1）一般運算規(guī)則：一個力學量如以算符表示。它是一運算代表一個變換，是將空間分布的幾率振幅從

Ⅱ.表示力學量算符的性質16

例：，于是

17即將體系的幾率密度振幅沿x方向移動距離a.

A.力學量算符至少是線性算符；量子力學方程是線性齊次方程。由于態(tài)疊加原理，所以在量子力學中的算符應是線性算符。所謂線性算符，即

即將體系的幾率密度振幅沿x方向移動距離a.18

例如1.

19

例如2.對不顯含時間的薛定諤方程若

，，則

20

量子力學不僅要求力學量算符是線性算符，而且方程是線性齊次，

21

方程就不行。因

B.算符之和：

表示，對任意波函數進行變換所得的新波函數完全相等，即

方程就不行。因22

C.算符之積:表示，對任意波函數，有

，則

D.逆算符：算符

將任一波函數若有另一算符使則稱為的逆算符，并表為

，

C.算符之積:表示23顯然，

E.算符的函數：

設：在x=0處，有各級導數則定義算符的函數

顯然，24

例如:它有各級導數，。于是如果函數不能以冪級數表示，則還有算符函數的自然展開。

例如:它有各級導數，25北京大學量子力學ppt課件-第11講26（2）算符的對易性一般而言，兩算符的乘積和次序有關，不能彼此對易。若,，則北京大學量子力學ppt課件-第11講27

所以算符

所以28

引入對易子：和的對易子對易子有如下性質

29并有證：

成立設：n-1成立，即

并有30

例：

求

31

在算符的運算時，要特別小心。例：如和對易，可證明

所以在算符的運算時，要特別小心。32

下面是一些有用的對易關系稱為Levi-Civita符號。取值，為從123→ijk的對換數。如123→312的對換數2

下面是一些有用的對易關系33

例：用上述關系可證：例：例：34

對易關系是與坐標選擇無關

例：

35而另外，對易關系與表象選擇無關如

而36

（3）算符的厄密性（Hermiticity）

A.

算符復共軛：若對波函數（任意）有則稱為的復共軛算符，以表示

例

所以

（3）算符的厄密性（Hermiticity）37

算符的復共軛就是將算符所有復數量取復共軛。顯然，

B.算符的轉置

1.

標積定義：若體系有兩個波函數，其標積為

算符的復共軛就是將算符所有復數量取復38顯然，對于標積，有性質

☆

顯然，39

☆

☆

☆則稱這兩波函數正交。

40

2．轉置定義：算符

稱為算符

的轉置算符即通常以

算符表示算符的轉置算符。即

或

2．轉置定義：算符 稱為算符的轉置算符41

例：

C.算符的厄密共軛

定義：算符的厄密共軛是該算符取復共軛，再轉置，（以表示），例：42

例可證

43

D.厄密算符:若算符的厄密共軛就是它自身，則稱該算符為厄密算符。

E.厄密算符的性質

1.厄密算符相加，減仍是厄密算符；但厄密算符之積并不一定為厄密算符。

D.厄密算符:若算符的厄密共軛就是它自44

2.任何狀態(tài)下，厄密算符的平均值必為實數

3.在任何狀態(tài)下，平均值為實的線性算符必為厄密算符。令,()2.任何狀態(tài)下，厄密算符的平均值必為實45

線性

（1）實數（2）

46兩式相減得

47由于取任意值，該式都成立，因此該式成立僅當，即

由于是任意的，所以是厄密算符。易證：若是厄密算符，則。

北京大學量子力學ppt課件-第11講48§4.2厄密算符的本征值和本征函數（1）算符的本征方程如對大量完全相同的體系作完全相同的測量，可以發(fā)現，測得A1，A2，A3…等各有一定的幾率。而對有一定幾率分布（圍繞最大幾率測量值）的狀態(tài)，進行一次測量，其偏差大小可由一“漲落”來定義，即由方均根來定義。要使“漲落”為零，即測量值只取確定值，則北京大學量子力學ppt課件-第11講49

令這一特殊狀態(tài)為

我們稱上述方程為算符的本征方程。顯然，僅當體系處于本征態(tài)所描述的狀態(tài)時，測量值才是唯一的，即為相應的本征值（這時“漲落”為0）。北京大學量子力學ppt課件-第11講50就是體系的能量本征方程。

量子力學第三個基本假設：在量子力學中，一個直接可觀測的力學量，對應于一個線性厄密算符；當對體系進行該力學量的測量時，一切可能測得值，只能是算符

的本征方程的本征值。北京大學量子力學ppt課件-第11講51例1：求軌道角動量在z方向分量的本征值和本征函數。

有解由于例1：求軌道角動量在z方向分量的本征值和本52得

要求是厄密算符（保證本征值為實數）

北京大學量子力學ppt課件-第11講53例2求繞固定軸轉子的能量本征值和本征函數。繞固定軸轉子的能量本征方程