2023/8/6高等代數(shù)定義1：不可約多項(xiàng)式稱(chēng)為的k重因式如果而。當(dāng)k=1時(shí)，就稱(chēng)的單因式，當(dāng)k>1時(shí)，稱(chēng)為的重因式。如果的標(biāo)準(zhǔn)分解式為：則分別是的因式，且分別為重。2023/7/31高等代數(shù)定義1：不可約多項(xiàng)式稱(chēng)為的k重因式12023/8/6高等代數(shù)要求的重因式，只要把式寫(xiě)出即可。但我們還沒(méi)有一般的方法把一個(gè)多項(xiàng)的標(biāo)準(zhǔn)分解式分解為不可約因式的乘積。

因此我們應(yīng)該找一種直接判斷多項(xiàng)式是否有重因式的方法。為此目的要引入多項(xiàng)式導(dǎo)數(shù)的概念。定義2：的一階導(dǎo)數(shù)指的是多項(xiàng)式：（形式定義）多項(xiàng)式一階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱(chēng)為的二階導(dǎo)數(shù)，記為2023/7/31高等代數(shù)要求的重因式，只要把式寫(xiě)出即可。但22023/8/6高等代數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱(chēng)為的三階導(dǎo)數(shù)，記為…………的k階導(dǎo)數(shù)記為多項(xiàng)式的求導(dǎo)法則：1、2、3、4、2023/7/31高等代數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱(chēng)為的三階導(dǎo)數(shù)，記為……32023/8/6高等代數(shù)定理1.6.1：若不可約多項(xiàng)式是的k重因式（k>1），則是式，特別多項(xiàng)式的單因式不是式。證：的k-1重因的因2023/7/31高等代數(shù)定理1.6.1：若不可約多項(xiàng)式是42023/8/6高等代數(shù)從而于是是的k-1重因式。推論1：若不可約多項(xiàng)式是的k重因式不是的因式。證：是的k-1重因式，是的k-2重因式，……………（k>1），則是的因式，但2023/7/31高等代數(shù)從而于是是的k-1重因式。推論152023/8/6高等代數(shù)是的（k-(k-1)=1）單因式，因而不是的因式。推論2：不可約多項(xiàng)式是的重因式的充要條件是是與的公因式。證：必要性由推論1立得。充分性，若是與的公因式，則不是的單因式（否則，由推論1知的因式），故不是是的重因式。推論3：無(wú)重因式的充要條件是多項(xiàng)式與互素。2023/7/31高等代數(shù)是的（k-(k-1)=1）單因式62023/8/6高等代數(shù)

推論3表明，判別一個(gè)多項(xiàng)式有沒(méi)有重因式，可以利用輾轉(zhuǎn)相除法得到。

在討論與解方程有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，常常要求所討論多項(xiàng)式有沒(méi)有重因式。設(shè)多項(xiàng)式的標(biāo)準(zhǔn)分解式為：由定理1得：故2023/7/31高等代數(shù)推論3表明，判別一個(gè)72023/8/6高等代數(shù)于是：有沒(méi)有重因式，只要求1、判別的最大公因式的重因式的重?cái)?shù)恰好是中重因式的重?cái)?shù)加1。此法不能求的單因式。例1.6.1在中分解多項(xiàng)式2、分離重因式，即求的所有不可約的單因式：2023/7/31高等代數(shù)于是：有沒(méi)有重因式，只要求1、判別82023/8/6高等代數(shù)例1.6.2：求多項(xiàng)式有重因式的條件。2023/7/31高等代數(shù)例1.6.2：求多項(xiàng)式有重因式的條92023/8/6高等代數(shù)

當(dāng)時(shí)，即這時(shí)f有重因式

當(dāng)時(shí)，即時(shí)，欲有重因式，只需即重因式是例1.6.3：用分離因式法（單因式化法）求多項(xiàng)式在Q上的標(biāo)準(zhǔn)分解式。2023/7/31高等代數(shù)當(dāng)時(shí)，即這時(shí)f有重因式當(dāng)102023/8/6高等代數(shù)解：利用輾轉(zhuǎn)相除法求得：把單因式化，得由于故是的3重因式，是的單因式，故在Q上的標(biāo)準(zhǔn)分解式為2023/7/31高等代數(shù)解：利用輾轉(zhuǎn)相除法求得：把單因式112023/8/6高等代數(shù)多項(xiàng)式在中沒(méi)有重因式，問(wèn)題：在中是否也沒(méi)有重因式？由于多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)以及兩個(gè)多項(xiàng)式互素與否在由數(shù)域F過(guò)渡到含F(xiàn)的數(shù)域時(shí)并無(wú)改變，故有沒(méi)有重因式不因數(shù)域的擴(kuò)大而改變。2023/7/31高等代數(shù)多項(xiàng)式在中沒(méi)有重因式，問(wèn)題：在122023/8/6高等代數(shù)一、多項(xiàng)式函數(shù)

定義：設(shè)對(duì)數(shù)稱(chēng)為當(dāng)F中的根或零點(diǎn)。

定義（多項(xiàng)式函數(shù)）：設(shè)對(duì)作映射f：為F上的多項(xiàng)式函數(shù)。時(shí)的值，若則稱(chēng)c為在映射f確定了數(shù)域F上的一個(gè)函數(shù)被稱(chēng)2023/7/31高等代數(shù)一、多項(xiàng)式函數(shù)定義：設(shè)對(duì)數(shù)132023/8/6高等代數(shù)當(dāng)F=R時(shí)，就是數(shù)學(xué)分析中所討論的多項(xiàng)式函數(shù)。若則二、余式定理和綜合除法所得的余式是。用一次多項(xiàng)式x-c去定理1.7.1（余式定理）：除多項(xiàng)式證：由帶余除法：設(shè)則。2023/7/31高等代數(shù)當(dāng)F=R時(shí)，就是數(shù)學(xué)分析中所討論的142023/8/6高等代數(shù)問(wèn)題1、有沒(méi)有確定帶余除法：的簡(jiǎn)單方法？中和設(shè)把代入中展開(kāi)后比較方程兩邊的系數(shù)得：2023/7/31高等代數(shù)問(wèn)題1、有沒(méi)有確定帶余除法：的簡(jiǎn)單152023/8/6高等代數(shù)因此，利用與之間的系數(shù)關(guān)系可以方便和r，這就是下面的綜合除法：2023/7/31高等代數(shù)因此，利用與之間的系數(shù)關(guān)系可以方162023/8/6高等代數(shù)于是得去除例1.7.1：求用的商式和余式。解：由綜合除法因此2023/7/31高等代數(shù)于是得去除例1.7.1：求用的商式172023/8/6高等代數(shù)利用綜合除法求與r時(shí)應(yīng)注意：1、多項(xiàng)式系數(shù)按降冪排列，有缺項(xiàng)必須補(bǔ)上零；2、除式要變?yōu)槔?.7.2：把表成的方冪和。2023/7/31高等代數(shù)利用綜合除法求與r時(shí)應(yīng)注意：1、多182023/8/6高等代數(shù)定理1.7.2（因式定理）：因式的充要條件是。證明：設(shè)若即故是的一個(gè)因式。若有一個(gè)因式即故此即。由此定理可知，要判斷一個(gè)數(shù)c是不是的根，可以直接代入多項(xiàng)式函數(shù)，看是否等于零；也可以利用綜合除法來(lái)判斷其余數(shù)是否為零。多項(xiàng)式有一個(gè)2023/7/31高等代數(shù)定理1.7.2（因式定理）：因式的192023/8/6高等代數(shù)三、多項(xiàng)式的根定義3：若是的一個(gè)k重因式，即有但則是的一個(gè)k重根。問(wèn)題2、若多項(xiàng)式有重根，能否推出有重因式，反之，若有重因式，能否說(shuō)有重根？由于多項(xiàng)式有無(wú)重因式與系數(shù)域無(wú)關(guān)，而有無(wú)重根與系數(shù)域有關(guān)，故有重根有重因式，但反之不對(duì)。2023/7/31高等代數(shù)三、多項(xiàng)式的根定義3：若是的一個(gè)202023/8/6高等代數(shù)定理1.7.3（根的個(gè)數(shù)定理）：數(shù)域F上次多項(xiàng)式至多有n個(gè)根（重根按重?cái)?shù)計(jì)算）。證明（用歸納法）：當(dāng)時(shí)結(jié)論顯然成立，假設(shè)當(dāng)是次多項(xiàng)式時(shí)結(jié)論成立，則當(dāng)是n次多項(xiàng)式時(shí)，設(shè)是的一個(gè)根，則有是n-1次多項(xiàng)式，由歸納知至多只有個(gè)根，故至多只有n個(gè)根。2023/7/31高等代數(shù)定理1.7.3（根的個(gè)數(shù)定理）：數(shù)212023/8/6高等代數(shù)證二：對(duì)零次多項(xiàng)式結(jié)論顯然成立，數(shù)等于分解式中一次因式的個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)目當(dāng)然不定理1.7.4：超過(guò)n，若在F中有n+1個(gè)不同的數(shù)使與的值相等，則。證明：令設(shè)它們的次數(shù)都不若又把若是一次數(shù)>0的多項(xiàng)式，分解成不可約多項(xiàng)式的乘積，這時(shí)在數(shù)域F中根的個(gè)超過(guò)n。2023/7/31高等代數(shù)證二：對(duì)零次多項(xiàng)式結(jié)論顯然成立，數(shù)222023/8/6高等代數(shù)由于F中有n+1個(gè)不同的數(shù)，使與的值相等，故有n+1個(gè)不同的根，這與定理1.7.3矛盾，故即問(wèn)題3、設(shè)是F中n個(gè)不同的數(shù)，是F中任意n個(gè)數(shù)，能否確定一個(gè)n-1次多項(xiàng)式，使利用定理1.7.4可求一個(gè)n-1次多項(xiàng)式使2023/7/31高等代數(shù)由于F中有n+1個(gè)不同的數(shù)，使與232023/8/6高等代數(shù)作函數(shù)則這個(gè)公式也稱(chēng)為L(zhǎng)agrange插值公式。例1.7.3：求一個(gè)次數(shù)小于3的多項(xiàng)式使。解一（待定系數(shù)法）：設(shè)所求的多項(xiàng)式2023/7/31高等代數(shù)作函數(shù)則這個(gè)公式也稱(chēng)為L(zhǎng)agr242023/8/6高等代數(shù)由已知條件得線(xiàn)性方程組：解之得解二（利用Lagrange公式）：2023/7/31高等代數(shù)由已知條件得線(xiàn)性方程組：解之得解二252023/8/6高等代數(shù)利用Lagrange插值公式可得：

問(wèn)題4、用形式定義的多項(xiàng)式與用函數(shù)觀(guān)定義的多項(xiàng)式是否一致？2023/7/31高等代數(shù)利用Lagrange插值公式可得：262023/8/6高等代數(shù)四、多項(xiàng)式相等與多項(xiàng)式函數(shù)相等的關(guān)系

多項(xiàng)式相等：即對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相同；

多項(xiàng)式函數(shù)相等：即對(duì)有定理1