冪級數冪級數主要內容：函數項級數。冪級數及其收斂性。冪級數的運算。函數展開為冪級數。主要內容：函數項級數。一、函數項級數在前面，我們曾討論過公比為q的無窮等比級數：當|q|<1時，級數是收斂的，其和為，因此我們也可以把q看作(-1，1)內變化的一個自變量，用x代替它，即可得到:由于上式對區(qū)間(-1，1)內的每一個q值都成立，它的每一項都是以x為自變量的函數。一、函數項級數在前面，我們曾討論過公比為q的無窮等比級數：當則稱點x0為函數項級數(8-3)的一個收斂點；收斂點的全體構成的集合，一般地，由定義在同一區(qū)間內的函數序列構成的無窮級數：u1(x)

+u2(x)+···+un(x)+···(8-3)稱為函數項級數，

記為。

在函數項級數(8-3)中,若令x取定義域中某一確定值x0，則得到一個數項級數u1(x0)

+u2(x0)+···+un(x0)+···稱為函數項級數的收斂域。若該數項級數收斂，反之，則稱點x0為函數項級數(8-3)的發(fā)散點。則稱點x0為函數項級數(8-3)的一個收斂點；收斂點的全體構且稱之為函數項級數的部分和函數，若x0是收斂域內的一個值，則必有一個和S(x0)與之對應，即S(x0)=u1(x0)

+u2(x0)+···+un(x0)+···這個函數S(x)就稱為函數項級數的和函數。當x0在收斂域內變化時，上述級數的和S(x0)也隨之變化，就得到一個定義在收斂域上的函數S(x)，即S(x)=u1(x)

+u2(x)+···+un(x)+···那么在函數項級數的收斂域內有將函數項級數的前n項和記為Sn(x)，即Sn(x)=u1(x)

+u2(x)+···+un(x)且稱之為函數項級數的部分和函數，若x0是收斂域內的一個值，則二、冪級數及其收斂性和=a0+a1(x-a)+a2(x-a)2+···+an(x-a)n+···(8-5)一般地，形如=a0+a1x+a2x2+···+anxn+···(8-4)的級數稱為冪級數。其中an

(n=0,1,2,···)

和a都是常數，an稱為冪級數的系數。對于級數(8-5)，只要令x-a=t,就可化為(8-4)的形式,因此下面我們主要討論級數(8-4)。二、冪級數及其收斂性和所以區(qū)間(-1,1)就是該冪級數的收斂域?；蛘哒f冪級數(8-4)在點x0處收斂；對于冪級數(8-4)，它的每一項在區(qū)間(-∞,+∞)內都有定義，因此對于每個給定的實數值x0，將其代入(8-4)式，就得到一個數項級數:如果(8-6)收斂，則稱點x0為冪級數(8-4)的收斂點，如果(8-6)發(fā)散，則稱點x0為冪級數(8-4)的發(fā)散點，或者說冪級數(8-4)在點x0處發(fā)散。所有收斂點的集合稱為冪級數的收斂域，所有發(fā)散點的集合稱為冪級數的發(fā)散域。例如冪級數，當x在區(qū)間(-1,1)內取任一個值x0時，級數都收斂，其和為。而(-∞,-1)及(1,+∞)就是該冪級數的發(fā)散域。所以區(qū)間(-1,1)就是該冪級數的收斂域。或者說冪級數(8-則稱冪級數為不缺項，設冪級數中an≠0(n=0,1,2,…)，否則稱為缺項冪級數。在級數(8-4)中，設，用比值判別法，得則(3)當ρ=0，即ρ|x|=0時，級數(8-4)對任何x值收斂。(1)當ρ|x|<1，即時，級數(8-4)收斂；(2)當ρ|x|>1，即時，級數(8-4)發(fā)散；因此，令，即

，就得到下面定理:則稱冪級數為不缺項，設冪級數中an≠0(n在x=±R處，可能收斂也可能發(fā)散(此時ρ=1)，而當|x|>R時冪級數發(fā)散；定理則有：(1)如果0<R<+∞,則當|x|<R時冪級數收斂，(2)如果R=+∞，則冪級數在(-∞，+∞)內收斂；(3)如果R=0，則冪級數僅在x=0處收斂。由定理知：設冪級數是不缺項的，冪級數在的收斂域是以坐標原點為中點，長度為2R的區(qū)間(特殊情況可能是整個數軸，也可能只是坐標原點)。它在(-R，R)內收斂；在(-R，R)外發(fā)散；通常稱R為冪級數的收斂半徑，區(qū)間(-R,R)稱為冪級數的收斂區(qū)間。在x=±R處，可能收斂也可能發(fā)散(此時ρ=1)，而當|x|>例1求冪級數的收斂半徑。解：收斂半徑：即級數收斂半徑R=+∞，冪級數在(-∞,+∞)內收斂。例2求冪級數1+2x+(3x)2+···+(nx)n-1+···的收斂半徑。解:收斂半徑:即級數僅在x=0處收斂。例1求冪級數例3求冪級數的收斂區(qū)間。解:收斂半徑:當|x|<1時，級數收斂；當|x|>1時，級數發(fā)散。當x=1和x=-1時，級數分別為和前者收斂，后者發(fā)散。所以冪級數的收斂區(qū)間為(-1，1]。例3求冪級數例4求冪級數的收斂區(qū)間。解:令x-2=t，得所以-2<t<2,即-2<x-2<2,得0<x<4。當x=0得，它是發(fā)散的;當x=4時，得，也發(fā)散。所以冪級數收斂域為(0,4)。例4求冪級數解:例5請求冪級數的收斂區(qū)間。當ρ<1，即x2<1時，級數收斂，即|x|<1時，所求冪級數絕對收斂；當x=±1時，代入級數得，級數收斂；所以冪級數的收斂區(qū)間為[-1，1]。解:例5請求冪級數三、冪級數的運算設冪級數與的收斂半徑分別為R1與R2(R1與R2與均不為零)，

它們的和函數分別為S1(x)與S2(x)，

記R=min(R1，R2)，

那么對于冪級數可進行以下運算：

1．加法和減法

±==S1(x)±S2(x)

此時所得冪級數的收斂半徑是R。2．乘法

=a0b0+(a0b1+a1b0)x+(a0b2+a1b1+a2b0)x2+···+(a0bn+a1bn-1+···+anb0)xn+···=S1(x)·S2(x)此時所得冪級數的收斂半徑是R。

三、冪級數的運算設冪級數與則和函數S(x)在(－R，R)內可積，則在(－R，R)內和函數S(x)可導，3．逐項求導數若冪級數的收斂半徑為R，且有所得冪級數的收斂半徑仍為R，但在收斂區(qū)間端點處的收斂性可能改變。

4．逐項積分

設冪級數的和函數S(x)收斂半徑為R，且有所得冪級數的收斂半徑仍為R，但在收斂區(qū)間端點處的收斂性可能改變。

則和函數S(x)在(－R，R)內可積，則在(－R，R)內例6討論冪級數逐項求積分所得冪級數的收斂區(qū)間。解：收斂半徑R=1，逐項求積分后得它的收斂半徑仍為R=1。當x=-1時，冪級數為交錯級數是收斂的。當x=1時，冪級數為調和級數，它是發(fā)散的。故冪級數的收斂區(qū)間為[-1,1)。例6討論冪級數逐項求積分所得冪級數例7求冪級數的和函數。解：所給冪級數的收斂半徑R=1，收斂區(qū)間為(-1,1)。注意到而在收斂區(qū)間(-1,1)內，所以例7求冪級數的和(8-7)式稱為f(x)的x的冪級數展開式。因此，把一個函數表示為冪級數，而且在它的收斂區(qū)間內還可以像多項式一樣地進行運算，四、函數展開為冪級數對于研究函數有著重要的意義。我們看到，冪級數不僅形式簡單，對于一個給定的函數f(x),如果能找到一個冪級數，使(-R<x<R)(8-7)成立，那么，我們就說函數f(x)可以展開為x的冪級數，在這里，有兩個問題需要我們去解決：(1)在式(8-7)中，系數a0,a1,a2,···,an,···如何確定？(2)f(x)滿足什么條件才能展開為x的冪級數？(8-7)式稱為f(x)的x的冪級數展開式。因此，把一個函數先解決問題(1):不妨假設(8-7)式成立，那么根據冪級數的逐項求導法，對式(8-7)依次求出各階導數：……………把x=0代入式(8-7)及上列的各等式，得a0=f(0),···,···把它們代入式(8-7),得先解決問題(1):不妨假設(8-7)式成立，那么根據冪級數的那么這個冪級數就是f(x)的麥克勞林級數。通常稱式(8-8)為f(x)的冪級數展開式，但要注意，按上述形式作出的麥克勞林級數，在收斂區(qū)間內是否一定收斂于函數本身呢？因此，還要解決問題(2)，研究f(x)滿足什么條件才能展開為x的冪級數，或著說麥克勞林級數滿足什么條件才能收斂于f(x)。在(-R,R)內，只要考察余項是否隨n的無限增大而趨于零。要使成立，那么這個冪級數就是f(x)的麥克勞林級數。通常稱式(8-8)當f(x)在(-R，R)內有任意階導數時，可以證明，(其中ξ在0和x之間；n=1,2,···)綜上所述可得：如果f(x)在包含點x=0的某一區(qū)間(-R,R)內有任意階導數，(ξ在0和x之間；-R<x<R)(7-9)且那么f(x)在區(qū)間(R，R)內可以展開為麥克勞林級數。當f(x)在(-R，R)內有任意階導數時，可以證明，(其中函數展開為麥克勞林級數的一般步驟為：1.求出f(x)的各階導數；2.計算f(0),；3.寫出f(x)的麥克勞林級數4.求出上述級數的收斂區(qū)間(-R，R)；5.在收斂區(qū)間內考察是否為零，若為零，則有：否則即使求出的麥克勞林級數收斂，其和函數也不一定為f(x)。函數展開為麥克勞林級數的一般步驟為：1.求出f(x)的各階例8求指數函數f(x)=ex的麥克勞林展開式。解：由于f(n)(x)=ex

，故得f(n)(0)=1(n=1,2,···)。于是，ex的麥克勞林級數為:它的收斂半徑為R=+∞。要證明這個級數在(-∞，+∞)內收斂于ex，就需驗證式(7-9)在(-∞，+∞)內成立，現在(ξ在0和x之間)，因eξ≤e|x|，故對任意給定的x，eξ有界。而是級數的一般項，所以根據級數收斂的必要條件，對任意的x，都有從而即得ex的麥克勞林展開式為:例8求指數函數f(x)=ex的麥克勞林展開式于是sinx的麥克勞林展開式為:例9求正弦函數f(x)=sinx的麥克勞林展開式。解：正弦函數的各階導數為：···，(n=0,1,2,···)f(n)(0)依次循環(huán)地取0,1,0,-1,···，于是得sinx麥克勞林級數為:其收斂區(qū)間為(-∞,+∞)。因為≤1,而(ξ在0和x之間)所以，對任意x