Chapter7StressStateandFailureCriteria第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論Chapter7StressStateand第1

§7-1應(yīng)力狀態(tài)概述(Conceptsofstress-state)

§7-2平面應(yīng)力狀態(tài)分析-解析法(Analysisofplanestress-state)§7-3平面應(yīng)力狀態(tài)分析-圖解法(Analysisofplanestress-state)§7-1應(yīng)力狀態(tài)概述§7-2平面應(yīng)力狀態(tài)分析-解析法2§7-4

廣義胡克定律(GeneralizedHook’slaw)§7-5復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的變形比能

(Strain-energydensityingeneral

stress-state)§7-6強(qiáng)度理論(Failurecriteria)§7-4廣義胡克定律§7-5復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的變形比能

(3§7-1應(yīng)力狀態(tài)概述一、應(yīng)力狀態(tài)的概念

(Conceptsofstresses-state)前面研究了桿件在軸向拉伸(壓縮)、扭轉(zhuǎn)和彎曲時(shí)的強(qiáng)度問(wèn)題。這些桿件的危險(xiǎn)點(diǎn)（發(fā)生最大應(yīng)力的點(diǎn))或處于單向受力狀態(tài)，或處于純剪切狀態(tài)，相應(yīng)的強(qiáng)度條件為例：承受彎曲和扭轉(zhuǎn)的圓軸，在其橫截面上的1、2兩點(diǎn)將同時(shí)產(chǎn)生最大彎曲正應(yīng)力和最大扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力。由于在危險(xiǎn)點(diǎn)同時(shí)存在著這兩種應(yīng)力，不能簡(jiǎn)單地按彎曲正應(yīng)力建立強(qiáng)度條件，也不能簡(jiǎn)單地按扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力建立強(qiáng)度條件，而必須考慮這兩種應(yīng)力對(duì)材料強(qiáng)度的綜合影響。需全面分析危險(xiǎn)點(diǎn)處各截面的應(yīng)力情況。

§7-1應(yīng)力狀態(tài)概述一、應(yīng)力狀態(tài)的概念(Concepts4低碳鋼（low-carbonsteel）?塑性材料拉伸時(shí)為什么會(huì)出現(xiàn)滑移線？低碳鋼的拉伸?為什么脆性材料扭轉(zhuǎn)時(shí)沿45°螺旋面斷開(kāi)？鑄鐵的扭轉(zhuǎn)鑄鐵（cast-iron）低碳鋼?塑性材料拉伸時(shí)為什么會(huì)出現(xiàn)滑移線？5（1）拉中有剪,剪中有拉;（2）不僅橫截面上存在應(yīng)力,斜截面上也存在應(yīng)力;

（3）同一面上不同點(diǎn)的應(yīng)力各不相同;（4）同一點(diǎn)不同方向面上的應(yīng)力也是各不相同.3.重要結(jié)論（Importantconclusions）哪一點(diǎn)？

哪個(gè)方向面？應(yīng)力哪一個(gè)面上？

哪一點(diǎn)？4.一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)（stateofstressesofagivenpoint）通過(guò)一個(gè)點(diǎn)的所有截面上的應(yīng)力情況的集合——一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。（1）拉中有剪,剪中有拉;3.重要結(jié)6二、應(yīng)力狀態(tài)的研究方法（Themethodforinvestigatingthestateofstress）

1.單元體（Elementbody）

研究一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)時(shí)，常常圍繞該點(diǎn)從受力構(gòu)件中截取任意的微小正六面體，這個(gè)微小正六面體稱為單元體。（2）任意一對(duì)平行平面上的應(yīng)力相等2.單元體特征（Elementcharacteristic）（1）單元體的尺寸無(wú)限小,每個(gè)面上應(yīng)力均勻分布二、應(yīng)力狀態(tài)的研究方法（Themethodforin7

3.主單元體（Principalbody）各側(cè)面上切應(yīng)力均為零的單元體3122314.主平面（Principalplane）切應(yīng)力為零的截面

5.主應(yīng)力（Principalstress）主平面上的正應(yīng)力

說(shuō)明:一點(diǎn)處必定存在這樣的一個(gè)單元體,三個(gè)相互垂直的面均為主平面,三個(gè)互相垂直的主應(yīng)力分別記為1,2,3且規(guī)定按代數(shù)值大小的順序來(lái)排列,即3.主單元體（Principalbody）38

三、應(yīng)力狀態(tài)的分類（Theclassificationofstresses-state）1.空間應(yīng)力狀態(tài)（Triaxialstress-stateorthree-dimensionalstress-state）

三個(gè)主應(yīng)力1,2,3

均不等于零2.平面應(yīng)力狀態(tài)（Biaxialstress-stateorplanestress-state）

三個(gè)主應(yīng)力1,2,3中有兩個(gè)不等于零3.單向應(yīng)力狀態(tài)（Uniaxialstress-stateor

simplestress-state）

三個(gè)主應(yīng)力1,2,3中只有一個(gè)不等于零312231221111三、應(yīng)力狀態(tài)的分類1.空間應(yīng)力狀態(tài)（Tri9例題1畫出如圖所示梁S截面的應(yīng)力狀態(tài)單元體.

54321Fl/2l/2Fl/2l/2S平面例題1畫出如圖所示梁S截面的應(yīng)力狀態(tài)單元體.10S平面254321543211x1x1x2x222333S平面254321543211x1x1x2x2211例題2：簡(jiǎn)支梁受力如圖。試定性地從梁中點(diǎn)5,4,3,2,1處取出應(yīng)力單元體，并繪應(yīng)力單元體圖。例題2：簡(jiǎn)支梁受力如圖。試定性地從梁中點(diǎn)5,4,3,2,1處12應(yīng)力強(qiáng)度理論ppt課件13例題3分析薄壁圓筒受內(nèi)壓時(shí)的應(yīng)力狀態(tài)pDyz薄壁圓筒的橫截面面積pD′nn（1）沿圓筒軸線作用于筒底的總壓力為Fmmnn例題3分析薄壁圓筒受內(nèi)壓時(shí)的應(yīng)力狀態(tài)pDyz14直徑平面（2）假想用一直徑平面將圓筒截分為二,并取下半環(huán)為研究對(duì)象p"yＯFNFNd直徑平面（2）假想用一直徑平面將圓筒截分為二,并取下半環(huán)為研15′

"

′

"

′"′"16平面應(yīng)力狀態(tài)的普遍形式如圖所示.單元體上有x,xy

和y,yx§7-2平面應(yīng)力狀態(tài)分析-解析法（Analysisofplanestress-state）xxyzyxyyxxyxyyx平面應(yīng)力狀態(tài)的普遍形式如圖所示.單元體上有x,xy17一、斜截面上的應(yīng)力（Stressesonanobliquesection）1.截面法（Sectionmethod）假想地沿斜截面e-f將單元體截開(kāi),留下左邊部分的單體元eaf作為研究對(duì)象xyaxxyxxyefnefaxxyyxyαααnα一、斜截面上的應(yīng)力（Stressesonanobliq18xyaxxyxxyefn（1）由x軸轉(zhuǎn)到外法線n,逆時(shí)針轉(zhuǎn)向時(shí)為正（2）正應(yīng)力仍規(guī)定拉應(yīng)力為正（3）切應(yīng)力對(duì)單元體內(nèi)任一點(diǎn)取矩,順時(shí)針轉(zhuǎn)為正2.符號(hào)的確定（Signconvention）efaxxyyxyαααnαtxyaxxyxxyefn（1）由x軸轉(zhuǎn)到外法線19設(shè)斜截面的面積為dA,a-e的面積為dAcos,a-f

的面積為dAsinefaxxyyxyαααnαefaαdAdAsindAcos3.任意斜截面上的應(yīng)力(Thestressactingonanyinclinedplane)

對(duì)研究對(duì)象列n和t方向的平衡方程得t設(shè)斜截面的面積為dA,a-e的面積為d20化簡(jiǎn)以上兩個(gè)平衡方程最后得不難看出即兩相互垂直面上的正應(yīng)力之和保持一個(gè)常數(shù)化簡(jiǎn)以上兩個(gè)平衡方程最后得不難看出即兩相互垂直面上的正應(yīng)力之21二、最大正應(yīng)力及方位（Maximumnormalstressandit’sdirection）1.最大正應(yīng)力的方位（Thedirectionofmaximumnormalstress

）令

0和0+90°確定兩個(gè)互相垂直的平面,一個(gè)是最大正應(yīng)力所在的平面,另一個(gè)是最小正應(yīng)力所在的平面.二、最大正應(yīng)力及方位1.最大正應(yīng)力的方位（Thedirec222.最大正應(yīng)力（Maximumnormalstress）將0和

0+90°代入公式得到max和min

(主應(yīng)力）下面還必須進(jìn)一步判斷0是x與哪一個(gè)主應(yīng)力間的夾角2.最大正應(yīng)力（Maximumnormalstress）23（1）當(dāng)x>y時(shí),0

是x與max之間的夾角

（2）當(dāng)x<y

時(shí),0

是x與min之間的夾角（3）當(dāng)x=y

時(shí),0

=45°,主應(yīng)力的方向可由單元體上切應(yīng)力情況直觀判斷出來(lái)則確定主應(yīng)力方向的具體規(guī)則如下若約定|0|<45°即0

取值在±45°范圍內(nèi)（1）當(dāng)x>y時(shí),0是x與max之間24二、最大切應(yīng)力及方位(Maximumshearingstressandit’sdirection)

1.最大切應(yīng)力的方位（Thedirectionofmaximumshearingstress

）令

1和1+90°確定兩個(gè)互相垂直的平面,一個(gè)是最大切應(yīng)力所在的平面,另一個(gè)是最小切應(yīng)力所在的平面.二、最大切應(yīng)力及方位1.最大切應(yīng)力的方位（Thedirec252.最大切應(yīng)力（Maximumshearingstress

）將1和

1+90°代入公式得到max和min

比較和可見(jiàn)2.最大切應(yīng)力（Maximumshearingstres26例題簡(jiǎn)支梁如圖所示.已知m-m

截面上A點(diǎn)的彎曲正應(yīng)力和切應(yīng)力分別為=-70MPa,=50MPa.確定A點(diǎn)的主應(yīng)力及主平面的方位.AmmalA解：把從A點(diǎn)處截取的單元體放大如圖例題簡(jiǎn)支梁如圖所示.已知m-m截面上A點(diǎn)的彎曲正應(yīng)力27因?yàn)閤

<y

，所以0=27.5°與min對(duì)應(yīng)xAA01313因?yàn)閤<y，所以0=27.5°與min對(duì)28xyxy例題

圖示單元體,已知x

=-40MPa,y

=60MPa,xy=-50MPa.試求e-f截面上的應(yīng)力情況及主應(yīng)力和主單元體的方位.n30°ef解:（1）求e-f截面上的應(yīng)力xyxy例題圖示單元體,已知x=-40M29（2）求主應(yīng)力和主單元體的方位因?yàn)閤

<y,所以0=-22.5°與min對(duì)應(yīng)xyxy22.5°13（2）求主應(yīng)力和主單元體的方位因?yàn)閤<y,所以030解:（1）求主平面方位因?yàn)閤

=y,且xy>0例題6求平面純剪切應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力及主平面方位.xy所以0=-45°與max

對(duì)應(yīng)45°（2）求主應(yīng)力1=,2=0,3=-13解:（1）求主平面方位因?yàn)閤=31§7-3平面應(yīng)力狀態(tài)分析-圖解法(Analysisofplanestress-statewithgraphicalmeans)一、莫爾圓（Mohr’scircle）將斜截面應(yīng)力計(jì)算公式改寫為把上面兩式等號(hào)兩邊平方,然后相加便可消去,得§7-3平面應(yīng)力狀態(tài)分析-圖解法一、莫爾圓（Mohr32因?yàn)閤,y,xy皆為已知量,所以上式是一個(gè)以,為變量的圓周方程.當(dāng)斜截面隨方位角變化時(shí),其上的應(yīng)力

,

在-直角坐標(biāo)系內(nèi)的軌跡是一個(gè)圓.1.圓心的坐標(biāo)（Coordinateofcirclecenter）2.圓的半徑（Radiusofcircle）此圓習(xí)慣上稱為應(yīng)力圓（planestresscircle）,或稱為莫爾圓（Mohr’scircle）因?yàn)閤,y,xy皆為已知量,所以33（1）建-坐標(biāo)系,選定比例尺Ｏ二、應(yīng)力圓作法（Themethodfordrawingastresscircle）1.步驟（Steps）xyxxyxxyyy（1）建-坐標(biāo)系,選定比例尺Ｏ二、應(yīng)34DxyO（2）量取OA=xAD

=xy得D點(diǎn)xyxxyxxyxAOB=y（3）量取BD′=yx得D′點(diǎn)yByxD′（4）連接DD′兩點(diǎn)的直線與軸相交于C點(diǎn)（5）以C為圓心,CD為半徑作圓,該圓就是相應(yīng)于該單元體的應(yīng)力圓CDxyO（2）量取OA=xAD=35（1）該圓的圓心C點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為（2）該圓半徑為DxyOxAyByxD′C2.證明(Prove)（1）該圓的圓心C點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為36三、應(yīng)力圓的應(yīng)用（Applicationofstress-circle）

1.求單元體上任一截面上的應(yīng)力（Determinethestressesonanyinclinedplanebyusingstress-circle）從應(yīng)力圓的半徑CD按方位角的轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)動(dòng)2得到半徑CE.圓周上E點(diǎn)的坐標(biāo)就依次為斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力.DxyOxAyByxD′C20FE2xyaxxyxxyefn三、應(yīng)力圓的應(yīng)用（Applicationofstress37證明：證明：38（1）點(diǎn)面之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系:單元體某一面上的應(yīng)力,必對(duì)應(yīng)于應(yīng)力圓上某一點(diǎn)的坐標(biāo).說(shuō)明AB（2）夾角關(guān)系:圓周上任意兩點(diǎn)所引半徑的夾角等于單元體上對(duì)應(yīng)兩截面夾角的兩倍.兩者的轉(zhuǎn)向一致.2OCBA（1）點(diǎn)面之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系:單元體某一面上的應(yīng)392.求主應(yīng)力數(shù)值和主平面位置

（Determineprinciplestressandthedirectionofprincipleplanebyusingstresscircle）（1）主應(yīng)力數(shù)值A(chǔ)1和B1兩點(diǎn)為與主平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn),其橫坐標(biāo)為主應(yīng)力1,212DxyOxAyByxD′C20FE2B1A12.求主應(yīng)力數(shù)值和主平面位置（1）主應(yīng)力數(shù)值4020DxyOxAyByxD′C12A1B1（2）主平面方位由CD順時(shí)針轉(zhuǎn)20到CA1所以單元體上從x軸順時(shí)針轉(zhuǎn)0（負(fù)值）即到1對(duì)應(yīng)的主平面的外法線0確定后,1對(duì)應(yīng)的主平面方位即確定20DxyOxAyByxD′C12A1B1413.求最大切應(yīng)力（Determinemaximumshearing

stressbyusingstresscircle）G1和G2兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別代表最大和最小切應(yīng)力20DxyOxAyByxD′C12A1B1G1G2因?yàn)樽畲?、最小切?yīng)力等于應(yīng)力圓的半徑3.求最大切應(yīng)力（Determinemaximumshe42O例題從水壩體內(nèi)某點(diǎn)處取出的單元體如圖所示,

x

=-1MPa,y

=-0.4MPa,xy=-0.2MPa,yx

=0.2MPa,（1）繪出相應(yīng)的應(yīng)力圓（2）確定此單元體在=30°和=-40°兩斜面上的應(yīng)力.xyxy解:（1）畫應(yīng)力圓量取OA=x=-1,AD

=xy=-0.2,定出D點(diǎn);ACBOB

=y=-0.4和，BD′

=yx=0.2,定出D′點(diǎn).(-1,-0.2)DD′(-0.4,0.2)以DD′為直徑繪出的圓即為應(yīng)力圓.O例題從水壩體內(nèi)某點(diǎn)處取出的單元體如圖所示,x43將半徑CD

逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)2=60°到半徑CE,E點(diǎn)的坐標(biāo)就代表=30°斜截面上的應(yīng)力。（2）確定=30°斜截面上的應(yīng)力E60°（3）確定=-40°斜截面上的應(yīng)力將半徑CD順時(shí)針轉(zhuǎn)2=80°到半徑CF,F點(diǎn)的坐標(biāo)就代表=-40°斜截面上的應(yīng)力.F80°AD′CBOD

30°40°

40°30°30°=-0.36MPa30°=-0.68MPa40°=-0.26MPa-40°=-0.95MPa將半徑CD逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)2=60°到44例題兩端簡(jiǎn)支的焊接工字鋼梁及其荷載如圖所示,梁的橫截面尺寸示于圖中.試?yán)L出截面C上a,b兩點(diǎn)處的應(yīng)力圓,并用應(yīng)力圓求出這兩點(diǎn)處的主應(yīng)力.12015152709zab250kN1.6m2mABC例題兩端簡(jiǎn)支的焊接工字鋼梁及其荷載如圖所示,梁的橫截45+200kN50kN+80kN·m解:（1）首先計(jì)算支反力,并作出梁的剪力圖和彎矩圖Mmax=MC

=80kN·mFSmax=FC左=200kN250KN1.6m2mABC+200kN50kN+80kN·m解:（1）首先計(jì)算支反力,4612015152709zab（2）橫截面C上a點(diǎn)的應(yīng)力為a點(diǎn)的單元體如圖所示axxxyyx12015152709zab（2）橫截面C上a點(diǎn)的應(yīng)力為47由x,xy

定出D

點(diǎn)由y,yx

定出D′點(diǎn)以DD′為直徑作應(yīng)力圓OC（3）作應(yīng)力圓

x=122.5MPa,xy

=64.6MPa

y=0,xy

=-64.6MPaAB(122.5,64.6)D(0,-64.6)D′A113A2A1,A2

兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別代表a點(diǎn)的兩個(gè)主應(yīng)力1和3A1點(diǎn)對(duì)應(yīng)于單元體上1所在的主平面由x,xy定出D點(diǎn)由y,48

axxxyyx01312015152709zab（4）橫截面C上b點(diǎn)的應(yīng)力b點(diǎn)的單元體如圖所示bxxaxxxyyx0131201515270949b點(diǎn)的三個(gè)主應(yīng)力為1所在的主平面就是x平面,即梁的橫截面Cbxx(136.5,0)D(0,0)D′1b點(diǎn)的三個(gè)主應(yīng)力為150已知受力物體內(nèi)某一點(diǎn)處三個(gè)主應(yīng)力1,2,3利用應(yīng)力圓確定該點(diǎn)的最大正應(yīng)力和最大切應(yīng)力.一、空間應(yīng)力狀態(tài)下的最大正應(yīng)力和最大切應(yīng)力(themaximumnormalstressandshearstressinthree-dimensionalstress-state)***三向應(yīng)力狀態(tài)分析（analysisofthree-dimensionalstress-state）312231已知受力物體內(nèi)某一點(diǎn)處三個(gè)主應(yīng)力1,2,35113首先研究與其中一個(gè)主平面（例如主應(yīng)力3所在的平面）垂直的斜截面上的應(yīng)力122用截面法,沿求應(yīng)力的截面將單元體截為兩部分,取左下部分為研究對(duì)象2113首先研究與其中一個(gè)主平面（例如主應(yīng)52主應(yīng)力3所在的兩平面上是一對(duì)自相平衡的力,因而該斜面上的應(yīng)力,與3無(wú)關(guān),只由主應(yīng)力1,2決定與3垂直的斜截面上的應(yīng)力可由

1,2作出的應(yīng)力圓上的點(diǎn)來(lái)表示123321主應(yīng)力3所在的兩平面上是一對(duì)自相平衡的53該應(yīng)力圓上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)于與3垂直的所有斜截面上的應(yīng)力A1O2B與主應(yīng)力2所在主平面垂直的斜截面上的應(yīng)力,可用由1,3作出的應(yīng)力圓上的點(diǎn)來(lái)表示C3與主應(yīng)力１所在主平面垂直的斜截面上的應(yīng)力,

可用由2,3作出的應(yīng)力圓上的點(diǎn)來(lái)表示該應(yīng)力圓上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)于與3垂直的所有斜截面54該截面上應(yīng)力和對(duì)應(yīng)的D點(diǎn)必位于上述三個(gè)應(yīng)力圓所圍成的陰影內(nèi)abc截面表示與三個(gè)主平面斜交的任意斜截面abc12123該截面上應(yīng)力和對(duì)應(yīng)的D點(diǎn)必位于上述三55A1O2BC3結(jié)論三個(gè)應(yīng)力圓圓周上的點(diǎn)及由它們圍成的陰影部分上的點(diǎn)的坐標(biāo)代表了空間應(yīng)力狀態(tài)下所有截面上的應(yīng)力該點(diǎn)處的最大正應(yīng)力（指代數(shù)值）應(yīng)等于最大應(yīng)力圓上A點(diǎn)的橫坐標(biāo)1A1O2BC3結(jié)論三個(gè)應(yīng)力圓圓周上56A1O2BC3最大切應(yīng)力則等于最大的應(yīng)力圓的半徑最大切應(yīng)力所在的截面與2所在的主平面垂直,并與1和3所在的主平面成45°角.A1O2BC3最大切應(yīng)力則等于最大57例題單元體的應(yīng)力如圖所示,作應(yīng)力圓,并求出主應(yīng)力和最大切應(yīng)力值及其作用面方位.解:

該單元體有一個(gè)已知主應(yīng)力因此與該主平面正交的各截面上的應(yīng)力與主應(yīng)力z

無(wú)關(guān),依據(jù)x截面和y截面上的應(yīng)力畫出應(yīng)力圓.

求另外兩個(gè)主應(yīng)力40MPaxyz20MPa20MPa20MPa例題單元體的應(yīng)力如圖所示,作應(yīng)力圓,并求出主應(yīng)力和最大58由x,xy

定出D

點(diǎn)由y,yx

定出D′

點(diǎn)以DD′為直徑作應(yīng)力圓A1,A2

兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別代表另外兩個(gè)主應(yīng)力

1和

3A1A2D′ODC13

1=46MPa

3=-26MPa該單元體的三個(gè)主應(yīng)力

1=46MPa

2=20MPa

3=-26MPa根據(jù)上述主應(yīng)力，作出三個(gè)應(yīng)力圓由x,xy定出D點(diǎn)由y59一、各向同性材料的廣義胡克定律（GeneralizedHooke’slawforisotropicmaterials）（1）正應(yīng)力:拉應(yīng)力為正,壓應(yīng)力為負(fù);1.符號(hào)規(guī)定(Signconvention)（2）切應(yīng)力:對(duì)單元體內(nèi)任一點(diǎn)取矩,若產(chǎn)生的矩為順時(shí)針,則τ為正;反之為負(fù);（3）線應(yīng)變:以伸長(zhǎng)為正,縮短為負(fù);（4）切應(yīng)變:使直角減者為正,增大者為負(fù).xx

§7-4

廣義胡克定律(GeneralizedHooke’slaw)yzyxyyxz一、各向同性材料的廣義胡克定律（1）正應(yīng)力60yyx方向的線應(yīng)變用疊加原理,分別計(jì)算出x,y,z

分別單獨(dú)存在時(shí),x,y,z方向的線應(yīng)變x,y,z,然后代數(shù)相加.2.各向同性材料的廣義胡克定律（GeneralizedHooke’slawforisotropicmaterials）單獨(dú)存在時(shí)單獨(dú)存在時(shí)

單獨(dú)存在時(shí)xyyzzzxxyyx方向的線應(yīng)變用疊61在x

,y

,z同時(shí)存在時(shí),x

方向的線應(yīng)變x為同理,在x,y

,z同時(shí)存在時(shí),y,z方向的線應(yīng)變?yōu)樵趚y,yz,zx三個(gè)面內(nèi)的切應(yīng)變?yōu)樵趚,y,z同時(shí)存在時(shí),x方62上式稱為廣義胡克定律（GeneralizedHooke’slaw）——沿x,y,z軸的線應(yīng)變——在xy,yz,zx面上的角應(yīng)變上式稱為廣義胡克定律（GeneralizedHooke’s63

對(duì)于平面應(yīng)力狀態(tài)（inplanestress-state）（假設(shè)z

=0,xz=0,yz=0）xyzxyxyyxxyxyyx對(duì)于平面應(yīng)力狀態(tài)（inplanestress-s643.主應(yīng)力-主應(yīng)變的關(guān)系（Principalstress-principalstrainrelation）二向應(yīng)力狀態(tài)下(inplanestress-state)設(shè)3=0已知1,2,3;1,2,3為主應(yīng)變3.主應(yīng)力-主應(yīng)變的關(guān)系（Principalstress-65二、各向同性材料的體積應(yīng)變（Thevolumetricstrain

forisotropicmaterials）123dxdydz構(gòu)件每單位體積的體積變化(體積的相對(duì)變化),稱為體積應(yīng)變用q表示.各向同性材料在三向應(yīng)力狀態(tài)下的體應(yīng)變?nèi)鐖D所示的單元體,三個(gè)邊長(zhǎng)為dx

,dy

,dz變形后的邊長(zhǎng)分別為變形后單元體的體積為dx(1+,dy(1+2,dz(1+3V1=dx(1+·dy(1+2·dz(1+3二、各向同性材料的體積應(yīng)變（Thevolumetrics66體積應(yīng)變（volumetricstrain）為體積應(yīng)變（volumetricstrain671.純剪切應(yīng)力狀態(tài)下的體積應(yīng)變（Volumetricstrainforpureshearingstress-state）即在小變形下,切應(yīng)力不引起各向同性材料的體積改變.2.三向等值應(yīng)力單元體的體積應(yīng)變（Thevolumetricstrain

oftriaxial-equalstresselementbody）三個(gè)主應(yīng)力為單元體的體積應(yīng)變mmm1.純剪切應(yīng)力狀態(tài)下的體積應(yīng)變（Volumetricst68這兩個(gè)單元體的體積應(yīng)變相同mmm單元體的三個(gè)主應(yīng)變?yōu)?23dxdydz1這兩個(gè)單元體的體積應(yīng)變相同mmm69如果變形前單元體的三個(gè)棱邊成某種比例,由于三個(gè)棱邊應(yīng)變相同,則變形后的三個(gè)棱邊的長(zhǎng)度仍保持這種比例.所以在三向等值應(yīng)力m的作用下,單元體變形后的形狀和變形前的相似,稱這樣的單元體是形狀不變的.在最一般的空間應(yīng)力狀態(tài)下，材料的體積應(yīng)變只與三個(gè)線應(yīng)變x

,y,z有關(guān),仿照上述推導(dǎo)有在任意形式的應(yīng)力狀態(tài)下,各向同性材料內(nèi)一點(diǎn)處的體積應(yīng)變與通過(guò)該點(diǎn)的任意三個(gè)相互垂直的平面上的正應(yīng)力之和成正比,而與切應(yīng)力無(wú)關(guān).如果變形前單元體的三個(gè)棱邊成某種比例,由于三70

例題:邊長(zhǎng)a=0.1m的銅質(zhì)立方體置于剛性很大的鋼塊中的凹坑內(nèi)(圖a)，鋼塊與凹坑之間無(wú)間隙。試求當(dāng)銅塊受均勻分布于頂面的豎向外加荷載F=300kN時(shí)，銅塊內(nèi)的主應(yīng)力，最大切應(yīng)力，以及銅塊的體應(yīng)變。已知銅的彈性模量E=100GPa，泊松比n＝0.34。銅塊與鋼塊上凹坑之間的摩擦忽略不計(jì)。aaaF例題:邊長(zhǎng)a=0.1m的銅質(zhì)立方體置于剛性很71解：1.銅塊水平截面上的壓應(yīng)力為

2.銅塊在sy作用下不能橫向膨脹，即ex=0，ez＝0，可見(jiàn)銅塊的x截面和z截面上必有sx和sz存在(圖b)。第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論zyxzxy解：1.銅塊水平截面上的壓應(yīng)力為2.銅塊在sy72按照廣義胡克定律及ex＝0和ey＝0的條件有方程：從以上二個(gè)方程可見(jiàn)，當(dāng)它們都得到滿足時(shí)顯然sx＝sz。于是解得第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論按照廣義胡克定律及ex＝0和ey＝0的條件有方程：從以上二個(gè)73由于忽略銅塊與鋼塊上凹坑之間的摩擦，所以sx，sy，sz都是主應(yīng)力，且第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論3.銅塊內(nèi)的最大切應(yīng)力為zyxzxy由于忽略銅塊與鋼塊上凹坑之間的摩擦，所以sx，sy，sz都是74第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論4.銅塊的體應(yīng)變?yōu)閦yxzxy第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論4.銅塊的體應(yīng)變?yōu)閦yxz75例題一直徑d=20mm的實(shí)心圓軸,在軸的的兩端加扭矩Me=126N·m.在軸的表面上某一點(diǎn)A處用變形儀測(cè)出與軸線成-45°方向的應(yīng)變=5.010-4,試求此圓軸材料的剪切彈性模量G.MeMeA45°x例題一直徑d=20mm的實(shí)心圓軸,在軸的的兩端加76解:圍繞A點(diǎn)取一單元體A13

-45°A解:圍繞A點(diǎn)取一單元體A13-45°A77bhzb=50mmh=100mm例題已知矩形外伸梁受力F1,F2作用.彈性模量E=200GPa,泊松比=0.3,F1=100KN,F2=100KN.求:（1）A點(diǎn)處的主應(yīng)變1,2,3（2）A點(diǎn)處的線應(yīng)變x,

y,zaAF1F2F2lbhzb=50mmh=100mm例題已知矩形外伸梁受78解:梁為拉伸與彎曲的組合變形.A點(diǎn)有拉伸引起的正應(yīng)力和彎曲引起的切應(yīng)力.（拉伸）（負(fù)）Ax=20x=30（1）A點(diǎn)處的主應(yīng)變1，

2，3解:梁為拉伸與彎曲的組合變形.A點(diǎn)有拉伸引起的正應(yīng)力和彎79（2）A點(diǎn)處的線應(yīng)變x,

y,z（2）A點(diǎn)處的線應(yīng)變x,y,80例題簡(jiǎn)支梁由18號(hào)工字鋼制成.其上作用有力F=15kN,已知E=200GPa,=0.3.0.50.50.25FA0°45°90°求：A點(diǎn)沿0°

,45°,90°方向的線應(yīng)變h/4例題簡(jiǎn)支梁由18號(hào)工字鋼制成.其上作用有力F=1581解:yA

,Iz,d查表得出為圖示面積對(duì)中性軸z的靜矩zAh/4AA

=50.8A

=68.8解:yA,Iz,d查820.5F13500.50.25A0°45°90°h/4AA

=50.8A

=68.80.5F13500.50.25A0°45°90°h/4AA83一、強(qiáng)度理論的概念（Conceptsoffailurecriteria)1.引言(introduction)§7-5強(qiáng)度理論(Thefailurecriteria)軸向拉壓彎曲剪切扭轉(zhuǎn)彎曲

切應(yīng)力強(qiáng)度條件（strengthconditionforshearstress）

正應(yīng)力強(qiáng)度條件（strengthconditionfornormalstress）一、強(qiáng)度理論的概念（Conceptsoffailure84（2）材料的許用應(yīng)力,是通過(guò)拉（壓）試驗(yàn)或純剪試驗(yàn)測(cè)定試件在破壞時(shí)其橫截面上的極限應(yīng)力,以此極限應(yīng)力作為強(qiáng)度指標(biāo),除以適當(dāng)?shù)陌踩驍?shù)而得,即根據(jù)相應(yīng)的試驗(yàn)結(jié)果建立的強(qiáng)度條件.上述強(qiáng)度條件具有如下特點(diǎn)（1）危險(xiǎn)點(diǎn)處于單向應(yīng)力狀態(tài)或純剪切應(yīng)力狀態(tài);2.強(qiáng)度理論的概念(Conceptsforfailurecriteria)是關(guān)于“構(gòu)件發(fā)生強(qiáng)度失效起因”的假說(shuō).（2）材料的許用應(yīng)力,是通過(guò)拉（壓）試驗(yàn)或純剪試驗(yàn)測(cè)85基本觀點(diǎn)

構(gòu)件受外力作用而發(fā)生破壞時(shí),不論破壞的表面現(xiàn)象如何復(fù)雜,其破壞形式總不外乎幾種類型,而同一類型的破壞則可能是某一個(gè)共同因素所引起的.根據(jù)材料在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下破壞時(shí)的一些現(xiàn)象與形式,進(jìn)行分析,提出破壞原因的假說(shuō).在這些假說(shuō)的基礎(chǔ)上,可利用材料在單向應(yīng)力狀態(tài)時(shí)的試驗(yàn)結(jié)果,來(lái)建立材料在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度條件.基本觀點(diǎn)構(gòu)件受86（1）脆性斷裂:無(wú)明顯的變形下突然斷裂.二、材料破壞的兩種類型（常溫、靜載荷）(Twofailuretypesformaterialsinnormaltemperatureandstaticloads)屈服失效（Yieldingfailure）

材料出現(xiàn)顯著的塑性變形而喪失其正常的工作能力.2.斷裂失效（Fracturefailure）（2）韌性斷裂:產(chǎn)生大量塑性變形后斷裂.（1）脆性斷裂:無(wú)明顯的變形下突然斷裂.二87引起破壞的某一共同因素形狀改變比能最大切應(yīng)力最大線應(yīng)變最大正應(yīng)力引起破壞形狀改變最大切應(yīng)力最大線應(yīng)變最大正應(yīng)力88根據(jù):當(dāng)作用在構(gòu)件上的外力過(guò)大時(shí)，其危險(xiǎn)點(diǎn)處的材料就會(huì)沿最大拉應(yīng)力所在截面發(fā)生脆斷破壞.

1.最大拉應(yīng)力理論（第一強(qiáng)度理論）（Maximum-normal-stresscriterion）基本假說(shuō):最大拉應(yīng)力1是引起材料脆斷破壞的因素.脆斷破壞的條件:1=b三、四個(gè)強(qiáng)度理論（Fourfailurecriteria）強(qiáng)度條件:1[根據(jù):當(dāng)作用在構(gòu)件上的外力過(guò)大時(shí)，其危險(xiǎn)點(diǎn)處892.最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變理論（第二強(qiáng)度理論）

（Maximum-normal-straincriterion）根據(jù):當(dāng)作用在構(gòu)件上的外力過(guò)大時(shí),其危險(xiǎn)點(diǎn)處的材料就會(huì)沿垂直于最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變方向的平面發(fā)生破壞.基本假說(shuō):最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變1是引起材料脆斷破壞的因素.脆斷破壞的條件:最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變:強(qiáng)度條件:2.最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變理論（第二強(qiáng)度理論）根據(jù):903.最大切應(yīng)力理論（第三強(qiáng)度理論）

（Maximum-shear-stresscriterion）基本假說(shuō):最大切應(yīng)力max是引起材料屈服的因素.根據(jù):當(dāng)作用在構(gòu)件上的外力過(guò)大時(shí)，其危險(xiǎn)點(diǎn)處的材料就會(huì)沿最大切應(yīng)力所在截面滑移而發(fā)生屈服失效.屈服條件在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下一點(diǎn)處的最大切應(yīng)力為強(qiáng)度條件3.最大切應(yīng)力理論（第三強(qiáng)度理論）914.畸變能密度理論（第四強(qiáng)度理論）（Maximum-distortion-energycriterion）