第第頁(yè)2023年山東省菏澤市定陶區(qū)中考數(shù)學(xué)二模試卷（含解析）2023年山東省菏澤市定陶區(qū)中考數(shù)學(xué)二模試卷

一、選擇題（本大題共8小題，共24.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.下列運(yùn)算正確的是()

A.B.

C.D.

2.三根等高的木桿豎直立在平地上，其俯視圖如圖所示，在某一時(shí)刻三根木桿在太陽(yáng)光下的影子合理的是()

A.B.C.D.

3.芝麻被稱為“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一，它作為食品和藥物，得到廣泛的使用．經(jīng)測(cè)算，一粒芝麻的質(zhì)量約為，將粒芝麻的質(zhì)量用科學(xué)記數(shù)法表示約為()

A.B.C.D.

4.如圖，已知直線，直角三角形頂點(diǎn)在直線上，若，則的度數(shù)是()

A.

B.

C.

D.

5.下列函數(shù)中，函數(shù)值隨自變量的值增大而增大的是()

A.B.C.D.

6.如圖，在中，，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交于點(diǎn)和點(diǎn)，再分別以點(diǎn)，為圓心，大于長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)，作射線交于點(diǎn)，若，，則的長(zhǎng)度為()

A.B.C.D.

7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，與軸，軸分別交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，與交于點(diǎn)，，則圖中陰影部分的面積為()

A.

B.

C.

D.

8.已知二次函數(shù)為常數(shù)，，點(diǎn)是該函數(shù)圖象上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，則的取值范圍是()

A.或B.

C.或D.

二、填空題（本大題共6小題，共18.0分）

9.若一個(gè)角的補(bǔ)角等于它的余角倍，則這個(gè)角的度數(shù)是______度．

10.黑色袋子中裝有質(zhì)地均勻，大小相同的編號(hào)為號(hào)臺(tái)球共個(gè)，攪拌均勻后，從袋中隨機(jī)摸出個(gè)球，則摸出的球編號(hào)為偶數(shù)的概率是______．

11.方程的解是______．

12.李文跟朋友說(shuō)：“你隨便想一個(gè)數(shù)，按我說(shuō)的計(jì)算，我都知道計(jì)算結(jié)果”王婷說(shuō)：“別吹牛，我來(lái)試試”于是李文說(shuō)：“你想好一個(gè)數(shù)了嗎？開(kāi)始把你想的數(shù)加，再把和乘以，再用你得到的積減去你想的數(shù)的倍，最后用你得到的差除以你計(jì)算完了嗎？”請(qǐng)你也算一算，這個(gè)計(jì)算結(jié)果是______．

13.如圖，將沿邊上的中線平移到的位置，已知的面積為，陰影部分三角形的為若，則______．

14.如圖，四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，曲線是由多段的圓心角所對(duì)的弧組成的，其中，弧的圓心為，半徑為；弧的圓心為，半徑為；弧的圓心為，半徑為；弧的圓心為，半徑為，弧、弧、弧、弧的圓心依次按點(diǎn)、、、循環(huán)，則弧的長(zhǎng)是結(jié)果保留．

三、計(jì)算題（本大題共1小題，共8.0分）

15.解不等式組，并寫出它的所有整數(shù)解．

四、解答題（本大題共9小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）

16.本小題分

計(jì)算：．

17.本小題分

矩形和矩形有公共頂點(diǎn)和，、相交于點(diǎn)，、相交于點(diǎn)求證：≌．

18.本小題分

黔東南州某中學(xué)為了解本校學(xué)生平均每天的課外學(xué)習(xí)實(shí)踐情況，隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果分為，，，四個(gè)等級(jí)，設(shè)學(xué)習(xí)時(shí)間為小時(shí)，：，：，：，：，根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．請(qǐng)你根據(jù)圖中信息解答下列問(wèn)題：

本次抽樣調(diào)查共抽取了多少名學(xué)生？并將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；

本次抽樣調(diào)查中，學(xué)習(xí)時(shí)間的中位數(shù)落在哪個(gè)等級(jí)內(nèi)？

表示等級(jí)的扇形圓心角的度數(shù)是多少？

在此次問(wèn)卷調(diào)查中，甲班有人平均每天課外學(xué)習(xí)時(shí)間超過(guò)小時(shí)，乙班有人平均每天課外學(xué)習(xí)時(shí)間超過(guò)小時(shí)，若從這人中任選人去參加座談，試用列表或化樹(shù)狀圖的方法求選出的人來(lái)自不同班級(jí)的概率．

19.本小題分

如圖，某電影院的觀眾席成“階梯狀”，每一級(jí)臺(tái)階的水平寬度都為，垂直高度都為測(cè)得在點(diǎn)的仰角，測(cè)得在點(diǎn)的仰角求銀幕的高度參考數(shù)據(jù)：，，，，，

20.本小題分

如圖，是以為直徑的上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，垂足為點(diǎn)．

求證：；

若，，求的長(zhǎng)．

21.本小題分

某校計(jì)劃購(gòu)買，兩種型號(hào)的教學(xué)儀器，已知型儀器價(jià)格是型儀器價(jià)格的倍，用元購(gòu)買型儀器的數(shù)量比用元購(gòu)買型儀器的數(shù)量多臺(tái)．

求，型儀器單價(jià)分別是多少元；

該校需購(gòu)買兩種儀器共臺(tái)，且型儀器數(shù)量不少于型儀器數(shù)量的，那么型儀器最少需要購(gòu)買多少臺(tái)？求型儀器執(zhí)行最少購(gòu)買量時(shí)購(gòu)買兩種儀器的總費(fèi)用．

22.本小題分

如圖，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，點(diǎn)，一次函數(shù)與軸相交于點(diǎn)．

求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式；

連接，，求的面積；

如圖，點(diǎn)是反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)右側(cè)一點(diǎn)，連接，把線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好也落在這個(gè)反比例函數(shù)的圖象上，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

23.本小題分

如圖，和的頂點(diǎn)重合，，，，．

如圖，當(dāng)點(diǎn)，分別在，上時(shí)，可以得出結(jié)論：；直線與直線的位置關(guān)系是；

如圖，將圖中的繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中，連接、，其所在直線相交于點(diǎn)，

中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；

當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度最大時(shí)，求線段的長(zhǎng)度．

24.本小題分

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)．

求拋物線的表達(dá)式；

正比例函數(shù)的圖象分別與線段，直線交于點(diǎn)，，當(dāng)與相似時(shí)，求線段的長(zhǎng)度；

如圖，是拋物線上位于第一象限的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在線段和直線上是否分別存在點(diǎn)，，使，，，為頂點(diǎn)的四邊形是以為一邊的矩形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：，此選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選項(xiàng)A不符合題意；

，此選項(xiàng)正確，故選項(xiàng)B符合題意；

，此選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選項(xiàng)C不符合題意；

，此選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選項(xiàng)D不符合題意；

故選：．

根據(jù)運(yùn)算法則對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算，即可判斷哪個(gè)選項(xiàng)符合題意．

本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．

2.【答案】

【解析】解：在某一時(shí)刻三根等高木桿在太陽(yáng)光下的影子的方向應(yīng)該一致，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B.在某一時(shí)刻三根等高木桿在太陽(yáng)光下的影子的長(zhǎng)度應(yīng)該相同，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C.在某一時(shí)刻三根等高木桿在太陽(yáng)光下的影子合理，故本選項(xiàng)正確；

D.在某一時(shí)刻三根等高木桿在太陽(yáng)光下的影子的方向應(yīng)該互相平行，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．

故選：．

三根等高的木桿豎直立在平地上，在某一時(shí)刻三根木桿在太陽(yáng)光下的影子應(yīng)該同方向、長(zhǎng)度相等且平行．

本題主要考查了平行投影，由平行光線形成的投影是平行投影，如物體在太陽(yáng)光的照射下形成的影子就是平行投影．

3.【答案】

【解析】解：．

故選：．

絕對(duì)值小于的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的的個(gè)數(shù)所決定．

此題主要考查了用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為，其中，為由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的的個(gè)數(shù)所決定．

4.【答案】

【解析】解：，

．

，

．

故選：．

根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，再由計(jì)算即可得出答案．

本題主要考查了平行線的性質(zhì)，熟知兩直線平行同位角相等是解題的關(guān)鍵．

5.【答案】

【解析】解：、為反比例函數(shù)，在內(nèi)，函數(shù)值隨自變量的值增大而增大，并且在內(nèi)，函數(shù)值隨自變量的值增大而增大，原說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；

：為一次函數(shù)，，函數(shù)值隨自變量的值增大而減小，原說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；

：為反比例函數(shù)，在內(nèi)，函數(shù)值隨自變量的值增大而減小，并且在內(nèi)，函數(shù)值隨自變量的值增大而減小，原說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；

D、為一次函數(shù)，，函數(shù)值隨自變量的值增大而增大，正確，符合題意．

故選：．

分別對(duì)各項(xiàng)的函數(shù)解析式進(jìn)行分析判斷即可．

本題主要考查了一次函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵．

6.【答案】

【解析】解：根據(jù)作圖可知，

，，

，

，

，

根據(jù)勾股定理，得．

故選：．

根據(jù)作圖可知，由已知條件可知，根據(jù)勾股定理，可得的長(zhǎng)．

本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

7.【答案】

【解析】解：如圖，連接，

，

是直徑

根據(jù)同弧對(duì)的圓周角相等得，

，

，，即圓的半徑為，

．

故選：．

連接，根據(jù)可知是直徑，再由圓周角定理求出，由銳角三角函數(shù)的定義得出及的長(zhǎng)，根據(jù)即可得出結(jié)論．

本題考查的是扇形面積的計(jì)算，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．

8.【答案】

【解析】解：二次函數(shù)，

對(duì)稱軸為，拋物線與軸的交點(diǎn)為，

點(diǎn)是該函數(shù)圖象上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸，

此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，即，

解得；

當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸，

當(dāng)時(shí)，隨增大而減小，

則當(dāng)時(shí)，恒成立；

綜上，的取值范圍是：或．

故選：．

先求出拋物線的對(duì)稱軸及拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再分兩種情況：或，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得的不同取值范圍便可．

本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是分情況討論．

9.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查了余角和補(bǔ)角，熟記概念并列出方程是解題的關(guān)鍵．設(shè)這個(gè)角的度數(shù)是度，根據(jù)互為余角的兩個(gè)角的和等于表示出它的余角，互為補(bǔ)角的兩個(gè)角的和等于表示出它的補(bǔ)角，然后列方程求解即可．

【解答】

解：設(shè)這個(gè)角的度數(shù)是，

由題意得，，

解得，

故答案為：．

10.【答案】

【解析】解：由題意可得，

從袋中隨機(jī)摸出個(gè)球，一共有種可能性，其中摸出編號(hào)是偶數(shù)的有種可能性，

故摸出的球編號(hào)為偶數(shù)的概率是，

故答案為：．

根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，可以得到一共有多少種可能性，其中摸出編號(hào)是偶數(shù)的有多少種可能性，從而可以求得摸出的球編號(hào)為偶數(shù)的概率．

本題考查概率公式，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出相應(yīng)的概率．

11.【答案】

【解析】解：兩邊平方得：，

解方程得：，，

檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，方程的左邊右邊，

為原方程的根

當(dāng)時(shí)，原方程無(wú)意義，故舍去．

故答案為：．

兩邊同時(shí)平方，然后解方程即可．

本題主要考查二次根式有意義的條件及一元二次方程的解法，熟練掌握各個(gè)運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．

12.【答案】

【解析】解：設(shè)王婷想好的數(shù)是，由題意得，

．

故答案為：．

根據(jù)題意列出代數(shù)式，然后進(jìn)行化簡(jiǎn)即可．

本題主要考查了列代數(shù)式和整式的化簡(jiǎn)，正確理解題意列出代數(shù)式是解題的關(guān)鍵．

13.【答案】

【解析】解：如圖，

、，且為邊的中線，

，，

將沿邊上的中線平移得到，

，

∽，

則，即，

解得或舍，

故答案為：．

由，且為邊的中線知，，根據(jù)∽，利用相似三角形面積的比等于相似比的平方列式求解可得．

本題主要考查了平移的性質(zhì)，三角形中線平分三角形的面積，相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是證明∽，利用相似三角形的性質(zhì)列方程．

14.【答案】

【解析】

【分析】

本題主要考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算及圖形變化的規(guī)律，根據(jù)題意得出圖形的變化規(guī)律應(yīng)用弧長(zhǎng)的計(jì)算方法進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．根據(jù)題意可得后一段弧的半徑總比前一段弧的半徑長(zhǎng)，又因?yàn)榈陌霃綖椋芍魏我欢位〉幕￠L(zhǎng)都是的倍數(shù)，根據(jù)圓心以，，，四次一個(gè)循環(huán)，可得弧的半徑為，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算即可得出答案．

【解答】

解：弧的半徑是，

弧的半徑是，

弧的半徑是，

弧的半徑是；

弧的半徑是，

弧的半徑是，

弧的半徑是，

弧的半徑是，

弧的半徑是．

即弧的半徑為，

弧的長(zhǎng)是．

故答案為．

15.【答案】解：，

由得，

由得，

不等式組的解集為：，

不等式組的整數(shù)解為、、．

【解析】分別求出每一個(gè)不等式的解集，然后確定不等式組的解集，在解集內(nèi)找到整數(shù)即可．

本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．

16.【答案】解：

．

【解析】根據(jù)化簡(jiǎn)絕對(duì)值，特殊角的三角函數(shù)值，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，零指數(shù)冪進(jìn)行計(jì)算即可求解．

本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握化簡(jiǎn)絕對(duì)值，特殊角的三角函數(shù)值，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，零指數(shù)冪是解題的關(guān)鍵．

17.【答案】證明：四邊形與四邊形都是矩形，

，，

四邊形是平行四邊形，

，

四邊形與四邊形都是矩形，

，，，

，，

，

在與中，

，

≌．

【解析】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，通過(guò)推理得出是解題的關(guān)鍵．

先證得四邊形是平行四邊形，然后利用即可證明≌．

18.【答案】解：共調(diào)查的中學(xué)生數(shù)是：人，

類的人數(shù)是：人，

如圖：

本次抽樣調(diào)查中，學(xué)習(xí)時(shí)間的中位數(shù)落在等級(jí)內(nèi)；

根據(jù)題意得：；

設(shè)甲班學(xué)生為，，乙班學(xué)生為，，，

一共有種等可能結(jié)果，其中人來(lái)自不同班級(jí)共有種，

人來(lái)自不同班級(jí)．

【解析】本題考查的是條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖的綜合運(yùn)用，讀懂統(tǒng)計(jì)圖，從不同的統(tǒng)計(jì)圖中得到必要的信息是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．條形統(tǒng)計(jì)圖能清楚地表示出每個(gè)項(xiàng)目的數(shù)據(jù)；扇形統(tǒng)計(jì)圖直接反映部分占總體的百分比大小．根據(jù)類的人數(shù)和所占的百分比即可求出總數(shù)；求出的人數(shù)從而補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖；

根據(jù)中位數(shù)定義可得答案；

用的人數(shù)除以總?cè)藬?shù)再乘以，即可得到圓心角的度數(shù)；

先設(shè)甲班學(xué)生為，，乙班學(xué)生為，，根據(jù)題意畫(huà)出樹(shù)形圖，再根據(jù)概率公式列式計(jì)算即可．

19.【答案】解：延長(zhǎng)、交于、，

由題意知，，

在中，，

，

即，

在中，，

，

即，

，，

，

，

，

解得：，

．

答：銀幕的高度約為．

【解析】延長(zhǎng)、交于、，在中，由三角函數(shù)的定義用表示出即，在中，由三角函數(shù)的定義用表示出即，根據(jù)得到關(guān)于的方程，解方程求出即可求出．

本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，仰角的定義，以及三角函數(shù)，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．

20.【答案】證明：連接，

切于，

，

，

，

，

，

，

，

；

解：連接，

是圓的直徑，

，

，

，，

，

，

，

，

，

，

，

．

【解析】連接，由切線的性質(zhì)得到，而，推出，得到，由，得到，因此，即可證明；

連接，由圓周角定理得到，由銳角的正弦求出的長(zhǎng)，由余角的性質(zhì)得到，因此，即可求出的長(zhǎng)．

本題考查切線的性質(zhì)，圓周角定理，解直角三角形，關(guān)鍵是通過(guò)作輔助線綜合應(yīng)用以上知識(shí)點(diǎn)．

21.【答案】解：設(shè)型儀器的單價(jià)是元，則型儀器的單價(jià)是元，

根據(jù)題意得：，

解得：，

經(jīng)檢驗(yàn)，是所列方程的解，且符合題意，

．

答：型儀器的單價(jià)是元，型儀器的單價(jià)是元；

設(shè)購(gòu)買臺(tái)型儀器，則購(gòu)買臺(tái)型儀器，

根據(jù)題意得：，

解得：，

的最小值為，

當(dāng)時(shí)，

元．

答：型儀器最少需要購(gòu)買臺(tái)，型儀器執(zhí)行最少購(gòu)買量時(shí)購(gòu)買兩種儀器的總費(fèi)用為元．

【解析】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．

設(shè)型儀器的單價(jià)是元，則型儀器的單價(jià)是元，利用數(shù)量總價(jià)單價(jià)，結(jié)合用元購(gòu)買型儀器的數(shù)量比用元購(gòu)買型儀器的數(shù)量多臺(tái)，可得出關(guān)于的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后，可得出型儀器的單價(jià)，再將其代入中，即可求出型儀器的單價(jià)；

設(shè)購(gòu)買臺(tái)型儀器，則購(gòu)買臺(tái)型儀器，根據(jù)購(gòu)買型儀器數(shù)量不少于型儀器數(shù)量的，可得出關(guān)于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范圍，將其中的最小值代入中，即可求出結(jié)論．

22.【答案】解：點(diǎn)，點(diǎn)在反比例函數(shù)上，

，

，，

反比例函數(shù)為，點(diǎn)，

把、的坐標(biāo)代入得，

解得，

一次函數(shù)為：；

令，則，

，

；

如圖，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線，作于，于，

設(shè)，

，

，，

把線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，恰好也落在這個(gè)反比例函數(shù)的圖象上，

，，

，

，

，

在和中，

，

≌，

，，

，

恰好也落在這個(gè)反比例函數(shù)的圖象上，

，

解得或舍去，

【解析】用待定系數(shù)法即可求解；

求得點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)求得即可；

過(guò)點(diǎn)作軸的平行線，作于，于，設(shè)，通過(guò)證得≌，得到，代入，即可求得的值，從而求得點(diǎn)的坐標(biāo)．

本題是反比例函數(shù)和一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，三角形面積，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，利用數(shù)形結(jié)合解決此類問(wèn)題，是非常有效的方法．

23.【答案】解：；垂直；

結(jié)論成立．