全微分的概念與計算一、全微分的定義二、全微分存在的條件三、全微分的幾何意義四、全微分在近似計算中的應(yīng)用全微分的概念與計算一、全微分的定義二、全微分存在的條件三、全1復(fù)習(xí):一元函數(shù)y=f(x)的微分

可微可導(dǎo)復(fù)習(xí):一元函數(shù)y=f(x)的微分

可微可導(dǎo)2一、全微分的定義一、全微分的定義3定義:

如果函數(shù)z=f(x,y)在定義域D的內(nèi)點(x,y)可表示成其中A,B不依賴于

x,

y,僅與x,y有關(guān)，稱為函數(shù)在點(x,y)的全微分,記作若函數(shù)在域D內(nèi)各點都可微,則稱函數(shù)

f(x,y)在點(x,y)可微，機動目錄上頁下頁返回結(jié)束處全增量則稱此函數(shù)在D內(nèi)可微.定義:如果函數(shù)z=f(x,y)在定義域D4(2)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)下面兩個定理給出了可微與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系:(1)函數(shù)可微函數(shù)z=f(x,y)在點(x,y)可微由微分定義:得函數(shù)在該點連續(xù)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)可微

即(2)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)下面兩個定理給出了可微與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系:(15二、全微分存在的條件

1.必要條件2.充分條件3.二、全微分存在的條件

1.必要條件6定理1(必要條件)若函數(shù)z=f(x,y)在點(x,y)可微,則該函數(shù)在該點偏導(dǎo)數(shù)同樣可證證:

由全增量公式必存在,且有得到對x

的偏增量因此有

機動目錄上頁下頁返回結(jié)束定理1(必要條件)若函數(shù)z=f(x,y)在點(x7反例:函數(shù)易知但因此,函數(shù)在點(0,0)不可微.注意:

定理1的逆定理不成立.偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)不一定可微!即:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束反例:函數(shù)易知但因此,函數(shù)在點(0,0)不可微.8定理2(充分條件)證：若函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)則函數(shù)在該點可微分.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束定理2(充分條件)證：若函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)則函數(shù)在該點可微分.機9所以函數(shù)在點可微.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束注意到,故有所以函數(shù)在點可微.機動目錄上頁下頁返10重要關(guān)系:函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可微偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束重要關(guān)系:函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可微偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)機動目錄11回頭看全微分公式這與物理中的疊加原理相符.回頭看全微分公式這與物理中的疊加原理相符.12推廣:

類似可討論三元及三元以上函數(shù)的可微性問題.例如,三元函數(shù)的全微分為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束推廣:類似可討論三元及三元以上函數(shù)的可微性問題.例如,三13例1解例2解例1解例2解14例3解例3解15xyoMN.f(x)dyx微分是函數(shù)的局部線性化.用切線增量近似曲線增量dydy=在圖上是哪條線段？=tanx復(fù)習(xí)一元函數(shù)微分即：.y微分的幾何意義xyoMN.f(x)dyx微分是函數(shù)的局部線性化.用切16三、全微分的幾何意義三、全微分的幾何意義17空間中的平面方程幾何意義空間中的平面方程幾何意義18xz

y0

PQMNxyABdz=AB:

切面立標(biāo)的增量z=f(x,y)z=AN：曲面立標(biāo)的增量過點M的切平面：即：dzz=AB+BN.dz=AB用切面立標(biāo)的增量近似曲面立標(biāo)的增量dz全微分的幾何意義xzy0PQMNxyABdz=AB:切面立19四、全微分在近似計算中的應(yīng)用四、全微分在近似計算中的應(yīng)用20

有一圓柱體,受壓后發(fā)生形變,它的半徑有20cm增大到20.05cm,高度由100cm減少到99cm.求此圓柱體體積變化的近似值.設(shè)圓柱體的半徑、高和體積依次為r,h

和V,則有例4解有一圓柱體,受壓后發(fā)生形變,它的半徑有20cm增大到2021例5解例5解22例6解例6解23第三節(jié)、全微分ppt課件24從而g的相對誤差約為從而g的相對誤差約為25例7解例7解26第三節(jié)、全微分ppt課件27第三節(jié)、全微分ppt課件28第三節(jié)、全微分ppt課件29例8證例8證30內(nèi)容小結(jié)1.微分定義:2.重要關(guān)系:函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可微偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)1.微分定義:2.重要關(guān)系:函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可微偏導(dǎo)313.微分應(yīng)用?近似計算?估計誤差絕對誤差相對誤差機動目錄上頁下頁返回結(jié)束3.微分應(yīng)用?近似計算?估計誤差絕對誤差相對誤差機動32思考與練習(xí)1.P130題1(總習(xí)題9)函數(shù)在可微的充分條件是()的某鄰域內(nèi)存在;時是無窮小量;時是無窮小量.2.選擇題機動目錄上頁下頁返回結(jié)束思考與練習(xí)1.P130題1(總習(xí)題9)函數(shù)在可微33

答案:也可寫作:當(dāng)x=2,y=1,△x=0.01,△y=0.03

時△z=0.02,dz=0.03

3.P130題7機動目錄上頁下頁返回結(jié)束答案:也可寫作:當(dāng)x=2,y=1,△x=344