第四章圓與方程第二節(jié)直線、圓的位置關(guān)系直線與圓的方程的應(yīng)用第四章圓與方程11.掌握直線方程?圓的方程,進(jìn)一步提高知識運用能力.2.掌握用坐標(biāo)法研究幾何問題的基本思想及其解題過程.1.掌握直線方程?圓的方程,進(jìn)一步提高知識運用能力.2在掌握直線方程與圓方程的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步提高知識運用能力,領(lǐng)會將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題的過程,即由坐標(biāo)方法解決平面幾何問題.一般來說此類問題分為如下三步:第一步:______________________,用坐標(biāo)和方程表示問題中的幾何元素,將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題.第二步:通過__________,解決代數(shù)問題.第三步:把代數(shù)運算結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論. 注意:______________方法的靈活運用.

建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系代數(shù)運算數(shù)形結(jié)合思想在掌握直線方程與圓方程的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步提高知識運用能力,領(lǐng)會31.用坐標(biāo)法解決幾何問題的方法步驟:(俗稱“三步曲”)第一步:根據(jù)題目的特點,建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,一般坐標(biāo)原點選在線段的中點,幾何圖形的對稱中心等.建立坐標(biāo)系適當(dāng),可使問題簡化.用坐標(biāo)和方程表示幾何問題中的元素.將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題.第二步:用代數(shù)運算解決代數(shù)問題.第三步:把代數(shù)運算的結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論.2.要靈活運用數(shù)形結(jié)合的思想方法.對于一些代數(shù)問題,根據(jù)其幾何意義,可用幾何方法解決.1.用坐標(biāo)法解決幾何問題的方法步驟:(俗稱“三步曲”)4題型一數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用例1:(1)方程表示的曲線是什么?(2)若方程有解,求實數(shù)b的取值范圍.解:(1)等價于x2+y2=9(y≥0),∴表示半圓,即以原點為圓心,3為半徑的圓在x軸上方的半圓(包括兩個端點).題型一數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用5

(2)方程有解,即半圓與直線y=x+b有交點(如下圖).易求出,當(dāng)-3≤b≤3時,方程有解.(2)方程6變式訓(xùn)練1若直線與圓x2+y2=1有公共點,則()A.a2+b2≤1 B.a2+b2≥1變式訓(xùn)練1若直線與圓x2+7答案:D答案:D8題型二用坐標(biāo)法求圓的方程例2:如下圖所示,點M是弓形弧的中點,弦|OA|=8,弓形的高為2m,求此弧所在圓的方程.分析:只需要求圓心坐標(biāo)及半徑即可.題型二用坐標(biāo)法求圓的方程9解:設(shè)圓心坐標(biāo)為(4,b),圓的半徑為r,那么圓的方程是(x-4)2+(y-b)2=r2.由于原點O(0,0)和圓弧最高點M(4,2)也在圓上解得:b=-3,r2=25.所以圓的方程是(x-4)2+(y+3)2=25.解:設(shè)圓心坐標(biāo)為(4,b),圓的半徑為r,10

規(guī)律技巧:本題也可以選取弦OA的中點為坐標(biāo)原點建立直角坐標(biāo),可求得此弧所在圓的方程為x2+(y+3)2=25.由此看來,建立的坐標(biāo)系不同,所求得的方程不同.規(guī)律技巧:本題也可以選取弦OA的中點為坐標(biāo)原點建立直角11變式訓(xùn)練2:如圖,圓O1和圓O2的半徑都等于1,O1O2=4,過動點P分別作圓O1,圓O2的切線PM?PN(M,N分別為切點),使得,建立平面直角坐標(biāo)系,并求動點P的軌跡方程.變式訓(xùn)練2:如圖,圓O1和圓O2的半徑都等于1,O1O2=412解:以O(shè)1O2的中點O為坐標(biāo)原點,O1O2所在直線為x軸,建立直角坐標(biāo)系如圖所示,則O1(-2,0),O2(2,0).解:以O(shè)1O2的中點O為坐標(biāo)原點,O1O2所在直線為x軸,建13由已知得PM2=2PN2,因為圓的半徑為1,所以:PO21-1=2(PO22-1),設(shè)P(x,y),則(x+2)2+y2-1=2[(x-2)2+y2-1],即(x-6)2+y2=33.故所求動點P的軌跡方程為(x-6)2+y2=33.由已知14題型三與圓有關(guān)的綜合問題例3:已知△AOB中,|OB|=3,|OA|=4,|AB|=5,點P是△ABO內(nèi)切圓上一點,求以|PA|?|PB|?|PO|為直徑的三個圓面積之和的最大值與最小值.分析:三個圓面積之和的最值問題實質(zhì)上是求|PA|2+|PB|2+|PO|2的最值.由于P是△ABO內(nèi)切圓上的點,若想找到P點坐標(biāo),必須先從△ABO內(nèi)切圓的方程入手.題型三與圓有關(guān)的綜合問題15解:如下圖,建立直角坐標(biāo)系,使A?B?O三點的坐標(biāo)分別為A(4,0)?B(0,3)?O(0,0).解:如下圖,建立直角坐標(biāo)系,使A?B?O三點的坐標(biāo)分別為16易求得△ABO的內(nèi)切點半徑r=1,圓心(1,1).故內(nèi)切圓的方程是(x-1)2+(y-1)2=1.化簡為x2+y2-2x-2y+1=0,①設(shè)P(x,y),則|PA|2+|PB|2+|PO|2=(x-4)2+y2+x2+(y-3)2+x2+y2=3x2+3y2-8x-6y+25.②易求得△ABO的內(nèi)切點半徑r=1,圓心(1,1).17由①可知x2+y2-2y=2x-1,將其代入②有|PA|2+|PB|2+|PO|2=3(2x-1)-8x+25=-2x+22.∵x∈[0,2],故|PA|2+|PB|2+|PO|2的最大值為22,最小值為18,三個圓面積之和為∴所求面積的最大值為最小值為由①可知x2+y2-2y=2x-1,18

規(guī)律技巧:選定原點,建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,可以簡化幾何問題,將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題.規(guī)律技巧:選定原點,建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,可以簡化幾何問19

變式訓(xùn)練3:一艘輪船沿直線返回港口的途中,接到氣象臺的臺風(fēng)預(yù)報,臺風(fēng)中心位于輪船正西70km處,受影響的范圍是半徑為30km的圓形區(qū)域,已知港口位于臺風(fēng)中心的正北40km處,如果這艘船不改變航線,那么它是否會受到臺風(fēng)的影響?變式訓(xùn)練3:一艘輪船沿直線返回港口的途中,接到氣象臺的20解:如圖所示:解:如圖所示:21以臺風(fēng)中心為坐標(biāo)原點,以正東方向為x軸正方向建立直角坐標(biāo)系,其中取10km為單位長度,則受臺風(fēng)影響的圓形區(qū)域所對應(yīng)的方程為x2+y2=9,港口所在位置的坐標(biāo)(0,4),輪船的位置坐標(biāo)(7,0),則輪船航線所在直線方程為即4x+7y-28=0,圓心到直線的距離而r=3,∴d>r,∴直線與圓相離,所以輪船不會受到臺風(fēng)影響.以臺風(fēng)中心為坐標(biāo)原點,以正東方向為x軸正方向建立直角坐22易錯探究例4:已知圓x2+y2+2x+2y+1=0,x2+y2-6x+8y+9=0,求兩圓的位置關(guān)系.得4x-3y-4=0,即代入x2+y2+2x+2y+1=0,并整理得25x2+10x+1=0.∵Δ=100-4×25=0,∴兩圓只有一個公共點,故兩圓相切.易錯探究23錯因分析:兩圓方程聯(lián)立,Δ=0說明兩圓只有一個公共點,此時兩圓有可能外切,也有可能內(nèi)切.正解:把兩圓的方程分別配方,化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+(y+1)2=1,(x-3)2+(y+4)2=16,∴兩圓心坐標(biāo)C1(-1,-1),C2(3,-4),半徑r1=1,r2=4.∴圓心距|C1C2|==5=r1+r2.∴兩圓相外切.錯因分析:兩圓方程聯(lián)立,Δ=0說明兩圓只有一個公共點,此時兩24技能演練基礎(chǔ)強(qiáng)化1.已知直線ax-by+c=0(abc≠0),與圓x2+y2=1相切,則三條邊長分別為|a|,|b|,|c|的三角形()A.是銳角三角形 B.是直角三角形C.是鈍角三角形 D.不存在解析:直線與圓相切,則∴a2+b2=c2.答案:B技能演練基礎(chǔ)強(qiáng)化252.已知點A?B分別在兩圓x2+(y-1)2=1與(x-2)2+(y-5)2=9上,則A?B兩點之間的最短距離為()解析:兩圓心之間的距離為∴兩圓相離,∴A、B兩點之間的最短距離為答案:C2.已知點A?B分別在兩圓x2+(y-1)2=1與(x-2)263.方程x(x2+y2-1)=0和x2-(x2+y2-1)2=0表示的圖形是()A.都是兩個點B.一條直線和一個圓C.前者是一條直線和一個圓,后者是兩個圓D.前者為兩個點,后者是一條直線和一個圓3.方程x(x2+y2-1)=0和x2-(x2+y2-1)227解析:x(x2+y2-1)=0x=0或x2+y2-1=0,則它表示一條直線x=0和一個圓x2+y2=1;x2-(x2+y2-1)2=0(x+x2+y2-1)(x-x2-y2+1)=0,∴x+x2+y2-1=0或x-x2-y2+1=0,即它表示兩個圓.因此,選C.答案:C解析:x(x2+y2-1)=0x=0或x2+y284.過原點的直線與圓x2+y2+4x+3=0相切,若切點在第三象限,則該直線的方程是()解析:設(shè)切線方程為y=kx,圓的方程化為(x+2)2+y2=1,而圓心(-2,0)到直線y=kx的距離為1,∴又∵切點在第三象限,∴答案:C4.過原點的直線與圓x2+y2+4x+3=0相切,若切點在第295.若直線y=kx+1與圓x2+y2=1相交于P?Q兩點,且∠POQ=120°(其中O為原點),則k的值為()解析:∵∠POQ=120°,∴點O到直線y=kx+1的距離又答案:A5.若直線y=kx+1與圓x2+y2=1相交于P?Q兩點306.圓心為(1,1)且與直線x+y=4相切的圓的方程是___________________.解析:半徑則圓的方程為(x-1)2+(y-1)2=2.(x-1)2+(y-1)2=26.圓心為(1,1)且與直線x+y=4相切的圓的方程是__317.兩圓x2+y2=1和(x+4)2+(y-a)2=25相切,則實數(shù)a的值為_____________________.解析:當(dāng)兩圓內(nèi)切時有=4,∴a=0.當(dāng)兩圓外切時,有∴a=±7.兩圓x2+y2=1和(x+4)2+(y-a)2=25相切328.與圓x2+y2=4切于點的切線方程為__________.解析:圓心(0,0),∴切線的斜率又切點為∴切線方程為即8.與圓x2+y2=4切于點的切33能力提升9.已知圓C:(x-2)2+y2=2.(1)求與圓C相切,且在x軸?y軸上截距相等的直線方程;(2)從圓C外一點P作圓C的一條切線,切點為M,O為坐標(biāo)原點,且|PM|=|PO|,求使|PM|最小時點P的坐標(biāo).能力提升34解:(1)設(shè)橫?縱截距相等的切線方程為kx-y=0,與x+y+c=0,則與解得k=±1,c=-4或c=0.故切線方程為x+y=0,x-y=0,x+y-4=0.(2)設(shè)P(x,y),由|PM|=|PO|,得化簡得點P的軌跡為直線要使|PM|最小,即要使|PO|最小,過O作直線的垂線.∴垂足是所要求的點.解:(1)設(shè)橫?縱截距相等的切線方程為3510.已知實數(shù)x,y滿足方程x2+y2-4x+1=0,(1)求的最值;(2)求y-x的最值;(3)求x2+y2的最值.解:(1)∵圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+y2=3,其圓心為(2,0),半徑為 設(shè)即y=kx.當(dāng)直線y=kx與圓相切時,斜率k取最大值和最小值.此時解得k=±∴的最大值為最小值為10.已知實數(shù)x,y滿足方程x2+y2-4x+1=0,36

(2)設(shè)y-x=b,即y=x+