大連理工大學2005攻讀碩士研究生考試試題

數(shù)學分析試題解答

一、計算題

1>求極限：lim4+2生其中l(wèi)ima”=a

n—><x>">oo

解：

2、求極限：lime-，（1+1/

XTOOX

解：

3、證明區(qū)間（0,1）和（0,+8）具有相同的勢。

證明：構造一一對應y=arctanx。

4、計算積分[（一—dxdy,其中D是x=0,y=l,y=x圍成的區(qū)域

oy+x

解：

5、計算第二類曲線積分：/=]>-叫-苧,UV+22=1方向為逆

Jcx2+y2

時針。

解：

x=cos6

1.心力￡。2乃)

-4=sin20——Leos20

r-ydx-xdy換元)?2萬cos2。__

Jcx2+y2d0=-------------dO

011，c3+cos20

—+—cos-0

22

2

1-xT(2+尤2)—3(1+

x=tan6l+%2

darctanx=-4A/2f-----------二---dx

萬能公式代換2l—JJe(2+X2)(1+X2)

3+——v

l+x-

I—r+oo1r+86，

-4V2[—^rdx+\-----------2d-7=-+67r

J-=°l+XJ-8V2

1+

Q+l

6、設a>0,b>0,證明:

b+1)

證明：

二、設f(x)為為b］上的有界可測函數(shù),且J產(X)辦=0,證明:f(x)

M］

在［a,b］上幾乎處處為0。

證明:

反證法，假設A={x|f(x)70},那么mA>0。

三、設函數(shù)f(x)在開區(qū)間(0,+8)內連續(xù)且有界，是討論f(x)

在(0,+3)內的一致連續(xù)性。

討論：非一致連續(xù)，構造函數(shù):

討論函數(shù)的連續(xù)性和可微性。

四、設/(演y)=\yjx4+y2,(x,y-(0,0),

0,(x,y)=(0,0)

解:

1)連續(xù)性：連續(xù)

2)可微性：可微

五、設f(x)在(a,b〕內二次可微，求證：

證明：

六、f(x)在R上二次可導，VxGR,f"(x)>0,3x0eR,f(x0)<0

Hm/'(x)=a<0,limf\x)=p>Q,證明：f(x)在R上恰有兩個零點。

XT-CO^―>+<?

證明：

七、設函數(shù)f(x)和g(x)在［a,b］內可積,證明:對［a,b］內任意分割

證明：

八、求級數(shù)：名㈡

±3〃+1

解：

+00

九、討論函數(shù)項級數(shù)￡>(氏-//一(〃—0-?修)在(0,1)和(1,+8)的

n=l

一致收斂性

了00

討論：Tx(n2e-nV-(n-1)2e-(n-1)2)=xhm(n2e~"2x2)

nf8

n=\

1)0<x<l

2)x>l

十、vf*x2dydz+y2dzdx+z2dxdy,其中Z為圓錐曲面z?=x?+V被平

面z=0,z=2所截局部的外側。

解：

十一、設f(x)在［0,1］上單調增加，f(O)>=O,f⑴<=1,證明:

*€［0,1］,/4)=發(fā)

證明:

十二、設f（x）在［0,+8］上連續(xù)，J：9（x）小絕對收斂，證明:

證明：

十三、設4>0,證明：

當下極限liminf螞3>1時