第四節(jié)隱函數(shù)和參數(shù)方程求導(dǎo)

相關(guān)變化率

一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)三、相關(guān)變化率第二章導(dǎo)數(shù)與微分第四節(jié)隱函數(shù)和參數(shù)方程求導(dǎo)

1一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)若由方程可確定y是x

的函數(shù),由表示的函數(shù),稱為顯函數(shù).例如,可確定顯函數(shù)可確定y是x

的函數(shù),但此隱函數(shù)不能顯化(即寫成y=f(x)的形式).函數(shù)為隱函數(shù).則稱此隱函數(shù)求導(dǎo)方法:兩邊對(duì)x求導(dǎo)(含導(dǎo)數(shù)的方程)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)若由方程可確定y是x的函數(shù),由表示2解:我們把方程兩邊分別對(duì)x求導(dǎo)數(shù),注意

y=y(x),即遇到y(tǒng)時(shí)要將它看作x的函數(shù)，得所以例1.

求由方程確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù).從而上式右端分式中的y=y(x)是由方程所確定的隱函數(shù).解:我們把方程兩邊分別對(duì)x求導(dǎo)數(shù),注意所以3例2.

求由方程在

x=0

處的導(dǎo)數(shù)解:

方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)得因x=0時(shí)y=0,故確定的隱函數(shù)例2.求由方程在x=0處的導(dǎo)數(shù)解:方程兩邊對(duì)4例3.

求橢圓在點(diǎn)處的切線方程.解:

橢圓方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)故切線方程為即另解：從橢圓方程解出y=f(x)，求在已知點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)。例3.求橢圓在點(diǎn)處的切線方程.解:橢圓方程兩邊對(duì)x5例4.解:應(yīng)用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法,得于是再對(duì)x求導(dǎo),得上式右端分式中的y=y(x)是由方程所確定的隱函數(shù).求由方程所確定的隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)例4.解:應(yīng)用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法,得于是再對(duì)x6例5.求的導(dǎo)數(shù).解:

兩邊取對(duì)數(shù),化為隱式兩邊對(duì)x求導(dǎo)對(duì)數(shù)求導(dǎo)法例5.求的導(dǎo)數(shù).解:兩邊取對(duì)數(shù),化為隱式兩邊7

1)對(duì)冪指函數(shù)可用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo):注意:或者將化為指數(shù)函數(shù)再求導(dǎo).

1)對(duì)冪指函數(shù)可用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo):注意:或者將82)有些顯函數(shù)用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)很方便.例如,兩邊取對(duì)數(shù)兩邊對(duì)x求導(dǎo)2)有些顯函數(shù)用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)很方便.例如,兩邊取對(duì)數(shù)兩9例6.

求對(duì)x求導(dǎo)先兩邊取對(duì)數(shù)的導(dǎo)數(shù).可以驗(yàn)證例6.求對(duì)x求導(dǎo)先兩邊取對(duì)數(shù)的導(dǎo)數(shù).可以驗(yàn)證10二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)若參數(shù)方程可確定一個(gè)y與x之間的函數(shù)可導(dǎo),且則時(shí),有時(shí),有(此時(shí)看成x是y的函數(shù))關(guān)系,二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)若參數(shù)方程可確定一個(gè)y與11若上述參數(shù)方程中二階可導(dǎo),且則由它確定的函數(shù)可求二階導(dǎo)數(shù).利用新的參數(shù)方程,可得若上述參數(shù)方程中二階可導(dǎo),且則由它確定的函數(shù)可求二階導(dǎo)數(shù).12例7.已知橢圓的參數(shù)方程為求橢圓在

相應(yīng)的點(diǎn)處的切線方程.解:當(dāng)時(shí),橢圓上的相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是:

曲線在點(diǎn)的切線斜率為:例7.已知橢圓的參數(shù)方程為求橢圓在相13由直線的點(diǎn)斜式公式，得橢圓在點(diǎn)處的切線方程化簡后得由直線的點(diǎn)斜式公式，得橢圓在點(diǎn)處的切線方程化簡14例如，,且求已知解:解:注意:再例，求例如，,且求已知解:解:注意:再例，求15例8.拋射體運(yùn)動(dòng)軌跡的參數(shù)方程為求拋射體在時(shí)刻t的運(yùn)動(dòng)速度的大小和方向.解:先求速度大小.速度的水平分量為垂直分量為故拋射體速度大小再求速度方向(即軌跡的切線方向):設(shè)

為切線傾角,則例8.拋射體運(yùn)動(dòng)軌跡的參數(shù)方程為求拋射體在時(shí)刻t的運(yùn)16拋射體軌跡的參數(shù)方程速度的水平分量垂直分量在剛射出(即t=0)時(shí),傾角為達(dá)到最高點(diǎn)的時(shí)刻高度落地時(shí)刻拋射最遠(yuǎn)距離速度的方向拋射體軌跡的參數(shù)方程速度的水平分量垂直分量在剛射出(即t17例9.計(jì)算由擺線的參數(shù)方程所確定的函數(shù)y=y(x)的二階導(dǎo)數(shù).解:例9.計(jì)算由擺線的參數(shù)方程所確定的函數(shù)y=y(x)的二18三、相關(guān)變化率為兩可導(dǎo)函數(shù)之間有聯(lián)系之間也有聯(lián)系稱為相關(guān)變化率相關(guān)變化率問題解法:找出相關(guān)變量的關(guān)系式對(duì)t求導(dǎo)得相關(guān)變化率之間的關(guān)系式求出未知的相關(guān)變化率三、相關(guān)變化率為兩可導(dǎo)函數(shù)之間有聯(lián)系之間也有聯(lián)系稱為相關(guān)變化19例10.當(dāng)氣球高度為500m

時(shí),其速率為求此時(shí)觀察員視線的仰角增加率是多少?

解:設(shè)氣球上升t分后其高度為h,仰角為,則兩邊對(duì)t求導(dǎo)已知且h=500時(shí),一氣球從離開觀察員500m處離地面鉛直上升,例10.當(dāng)氣球高度為500m時(shí),其速率為求此時(shí)觀20小結(jié)1.隱函數(shù)求導(dǎo)法則直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo)2.對(duì)數(shù)求導(dǎo)法:適用于冪指函數(shù)及某些用連乘、連除表示的函數(shù)3.參數(shù)方程求導(dǎo)法4.相關(guān)變化率問題列出依賴于t的相關(guān)變量關(guān)系式對(duì)t求導(dǎo)相關(guān)變化率之間的關(guān)系式求高階導(dǎo)數(shù)時(shí),從低到高每次都用參數(shù)方程求導(dǎo)公式小結(jié)1.隱函數(shù)求導(dǎo)法則直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo)2.對(duì)數(shù)求導(dǎo)法21課堂練習(xí)求提示：

分別用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求答案:1.設(shè)課堂練習(xí)求提示：分別用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求答案:1.設(shè)222.設(shè)由方程確定,解:方程兩邊對(duì)x求導(dǎo),得再求導(dǎo),得②當(dāng)時(shí),故由①得再代入②得求①2.設(shè)由方程確定,解:方程兩邊對(duì)x求導(dǎo),得再求導(dǎo),23,求解：3.設(shè)方程組兩邊同時(shí)對(duì)t求導(dǎo),得,求解：3.設(shè)方程組兩邊同時(shí)對(duì)t求導(dǎo),得24作業(yè)P111-112

1/(2)(4)

2

3/(2)4/(3)

5/(2)8/(3)9/(2)

作業(yè)P111-11225*設(shè)由方程確定函數(shù)求解:方程組兩邊對(duì)t

求導(dǎo),得故*設(shè)由方程確定函數(shù)求解:方程組兩邊對(duì)t求導(dǎo),26試求當(dāng)容器內(nèi)水*有一底半徑為R