數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)貝塞爾函數(shù)3數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)貝塞爾函數(shù)31本節(jié)內(nèi)容貝塞爾函數(shù)第二次課內(nèi)容總結(jié)貝塞爾函數(shù)的遞推公式函數(shù)展成貝塞爾函數(shù)的級數(shù)貝塞爾函數(shù)應(yīng)用舉例本節(jié)內(nèi)容貝塞爾函數(shù)第二次課內(nèi)容總結(jié)2上面兩式左邊的導數(shù)求出來,并經(jīng)過化簡貝塞爾函數(shù)的遞推公式上面兩式左邊的導數(shù)求出來,并經(jīng)過化簡貝塞爾函數(shù)的遞推公式3兩式相加減分別消去和兩式相加減分別消去和4這里微分算子表示算子連續(xù)作用m

次的縮寫.

半奇數(shù)級貝塞爾函數(shù)的表達式可見，半奇數(shù)階的貝塞爾函數(shù)都是初等函數(shù)。這里微分算子表示算子5方程的通解為令方程轉(zhuǎn)化為從而由于,由條件知,方程的通解為令方程轉(zhuǎn)化為從而由于,由6由

可得:

求特征問題因此，必須判明的零點是否存在；如果存在，則需要研究其分布情形。貝塞爾函數(shù)的零點由可得:求特7關(guān)于貝塞爾函數(shù)零點的結(jié)論：

有無窮多個單重實零點,這些零點在x軸上關(guān)于原點對稱分布,因而有無窮多個正的零點；24681012o1.00.5-0.5關(guān)于貝塞爾函數(shù)零點的結(jié)論：有無窮多個單重實零點,8

的零點和的零點是彼此相間分布，即的任意兩個相鄰零點之間有且僅有一個的零點，反之亦然；24681012o1.00.5-0.5的零點和924681012o1.00.5-0.5以表示的非負零點,則函數(shù)以p為周期振蕩24681012o1.00.5-0.5以10與這些特征值相應(yīng)的特征函數(shù)為

方程的解為：即貝塞爾方程相應(yīng)定解問題的特征值為與這些特征值相應(yīng)的特征函數(shù)為方程11貝塞爾函數(shù)的正交性結(jié)論１：n

階貝塞爾特征函數(shù)系在區(qū)間(0,R)上帶權(quán)r

正交，模值的平方即貝塞爾函數(shù)的正交性結(jié)論１：n階貝塞爾特征函數(shù)系在區(qū)間(12結(jié)論2：在區(qū)間［0,R］上具有一階連續(xù)導數(shù)以及分段連續(xù)的二階導數(shù)的函數(shù)f(r)如果在r=0處有界,在r=R

處等于零,則它必可以展開為如下形式的絕對且一致收斂的級數(shù)：其中模的平方權(quán)函數(shù)貝塞爾函數(shù)結(jié)論2：在區(qū)間［0,R］上具有一階連續(xù)導數(shù)以及其中模的平方13§5.6貝塞爾函數(shù)應(yīng)用舉例例設(shè)有半徑為1的薄均勻圓盤，其側(cè)面絕緣，邊界上的溫度始終保持為零度，初始圓盤內(nèi)溫度分布為其中r為圓盤內(nèi)任一點的極半徑，求圓盤的溫度分布規(guī)律。分析:

由于是在圓域內(nèi)求解問題,故采用極坐標.

考慮到定解條件和

無關(guān),所以溫度u

只能是t

和r

的函數(shù).

§5.6貝塞爾函數(shù)應(yīng)用舉例例設(shè)有半徑為1的薄均14解根據(jù)問題的要求,即可歸結(jié)為求下列方程的定解問題：由于u

和無關(guān),可以化簡為問題解根據(jù)問題的要求,即可歸結(jié)為求下列方程的定解問題：由于15此外,由問題的物理意義,還有條件且時，令代入到上述方程,有由此得解(1)得：∵時，∴此外,由問題的物理意義,還有條件且16(2)為零階非標準的貝塞爾方程,由u(r,t)的有界性,可以知道再由條件知：即是的零點.用(n=1,2…)表示的正零點,綜合以上結(jié)果可得:方程(1)的解為令則它的通解為：(2)為零階非標準的貝塞爾方程,由u(r,t)的有界17

方程的特征值為：相應(yīng)的特征函數(shù)為：這時方程的解為：從而方程18由疊加原理,可得原問題的解為

由初始條件得其中由疊加原理,可得原問題的解為由初始條件得其中19因為令所以因為令所以20貝塞爾函數(shù)3課件21從而所求定解問題的解為：其中是的正零點。從而所求定解問題的解為：其中是22例例23解一、建立方程解一、建立方程24“翻譯”邊界條件一、建立方程U為常數(shù)，為上底的電勢。“翻譯”邊界條件一、建立方程U為常數(shù)，為上底的電勢。25一、建立方程我們知道一、建立方程我們知道26一、建立方程一、建立方程27一、建立方程一、建立方程28二、求本征值、本征函數(shù)二、求本征值、本征函數(shù)29二、求本征值、本征函數(shù)二、求本征值、本征函數(shù)30三、由疊加原理寫出解。三、由疊加原理寫出解。31四、確定常數(shù)四、確定常數(shù)32四、確定常數(shù)四、確定常數(shù)33四、確定常數(shù)四、確定常數(shù)34總結(jié)：貝塞爾函數(shù)重點：貝塞爾方程的標準形式貝塞爾方程的通解第一類貝塞爾函數(shù)的形式貝塞爾函數(shù)的奇偶性及有界性貝塞爾函數(shù)的遞