mm教育方式下常微分方程教學(xué)實(shí)驗(yàn)方案的設(shè)計(jì)與實(shí)施

常微分方程是高師數(shù)學(xué)專業(yè)的一門基礎(chǔ)課程，起著連接上、下、左、右基礎(chǔ)支持作用。廣泛應(yīng)用于物理、電子技術(shù)、自動控制、宇宙空間、遺產(chǎn)等學(xué)科和領(lǐng)域。因此，它已成為數(shù)學(xué)和科學(xué)實(shí)踐的主要途徑之一。當(dāng)前為了適應(yīng)高等教育快速發(fā)展的需要,如何提高數(shù)學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)課程的課堂教學(xué)效益、培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)思維和創(chuàng)新能力,是擺在廣大高校數(shù)學(xué)教師面前的重要課題,應(yīng)引起廣泛的關(guān)注。筆者兩年來在本科班開展常微分方程課堂教學(xué)改革實(shí)驗(yàn),運(yùn)用MM教育方式進(jìn)行創(chuàng)新教學(xué),創(chuàng)設(shè)和實(shí)施了MM教學(xué)實(shí)驗(yàn)方案,并獲得了許多有益的教學(xué)體驗(yàn)和初步效果、現(xiàn)作如下的回顧與總結(jié)。1自主發(fā)現(xiàn)算法思想根據(jù)常微分方程課程自身內(nèi)容結(jié)構(gòu)的特點(diǎn),設(shè)計(jì)教學(xué)方案的總體目標(biāo)是:通過常微分方程的MM教學(xué),教會高師學(xué)生掌握和運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法去“自主發(fā)現(xiàn)”新的數(shù)學(xué)問題,合情猜想和合理推證好的結(jié)論,從而達(dá)到善用數(shù)學(xué)方法論解決實(shí)際應(yīng)用問題和提高教學(xué)、科研的創(chuàng)新能力的目的。其方案貫徹以MM為“綱”,以“問題解決”為“目”,以創(chuàng)新運(yùn)用為“標(biāo)”,“綱”舉“目”張而達(dá)“標(biāo)”的教學(xué)為指導(dǎo)思想。具體地說,就是始終貫穿數(shù)學(xué)方法論這條紅線,圍繞“問題解決”為中心,“問題探究”為途徑去展開常微分方程內(nèi)容的教學(xué),簡稱為MM方式下的“問題探究”法實(shí)驗(yàn)。2以數(shù)學(xué)思想方法為核心,注重?cái)?shù)學(xué)建模和分章分類教學(xué)2.1實(shí)驗(yàn)前的鋪墊準(zhǔn)備:由于常微分方程既是數(shù)學(xué)分析的直接延拓,也是后繼課程復(fù)變和實(shí)變函數(shù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ),因此實(shí)驗(yàn)前教師認(rèn)真做好如下準(zhǔn)備工作是十分有益的。2.1.1前期先上選修課程《數(shù)學(xué)方法論》,可為教學(xué)實(shí)驗(yàn)奠定數(shù)學(xué)方法論的理論基礎(chǔ)。2.1.2理順基礎(chǔ)課程間相關(guān)內(nèi)容的銜接。教師首先應(yīng)吃透和理順數(shù)分、高代與常微方程間相關(guān)內(nèi)容的銜接,尤其在一些結(jié)合點(diǎn)上(基術(shù)運(yùn)算及技巧)要作前期鋪墊,如不定積分法與技巧函數(shù)序列的一致收斂,矩陣的特征值與特征向量,線性方程(組)解的相關(guān)理論及一、二階導(dǎo)數(shù)的幾何、物理意義等方面的內(nèi)容要強(qiáng)化復(fù)習(xí)。2.1.3認(rèn)真上好緒論課。遵循“有了良好的開端便等于成功了一半”的格言,花大力氣上好導(dǎo)言第一課是至關(guān)重要的。首先簡單介紹常微方程的發(fā)展史,讓學(xué)生明了數(shù)學(xué)方法有力地推動了數(shù)學(xué)新學(xué)科的發(fā)展的道理;接著闡釋數(shù)學(xué)分析中所使用過的主要數(shù)學(xué)思想方法如建構(gòu)、轉(zhuǎn)化、變換、特殊化、一般化、分類討論等思想及觀察、歸納、類比等合情推理方法的范例;然后逐一分類展現(xiàn)微分方程的實(shí)際背景材料及問題,從而導(dǎo)出各類微分方程及其解等相關(guān)概念。如列舉幾何問題,變速直線運(yùn)動問題,力學(xué)(擺)問題,電路問題,氣溫變化問題,物質(zhì)衰變問題,經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)問題,第二宇宙速度和海王星運(yùn)行軌道等問題,以問題為趣激發(fā)學(xué)生好奇學(xué)習(xí)的積極心態(tài)。2.1.4備課的關(guān)鍵是重點(diǎn)備好數(shù)學(xué)思想方法。要分章逐節(jié)確定教材運(yùn)用的主要數(shù)學(xué)思想方法,如第二章《一階微分方程的初等解法》主要運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想,具體采取恒等變形、變量變換和積分因子等方法。即一些一階非變量分離方程可經(jīng)適當(dāng)?shù)淖兞孔儞Q化為變量分離方程;一階非齊線性方程可經(jīng)常數(shù)變易化為變量分離方程;非恰當(dāng)方程可經(jīng)適宜的積分因子化為恰當(dāng)方程;一階隱方程可經(jīng)適當(dāng)?shù)膮?shù)法化為導(dǎo)數(shù)已解出的方程;伯努利方程可經(jīng)變換2.2教學(xué)實(shí)驗(yàn)的過程闡釋:實(shí)驗(yàn)分別在97級和98級(2)兩個(gè)本科班進(jìn)行,具體采取如下新穎做法。2.2.1注重教法創(chuàng)新。在具體教學(xué)中采用章(節(jié))為單元(位)進(jìn)行系統(tǒng)的MM下的“問題探究”法,實(shí)際的教學(xué)途徑是創(chuàng)設(shè)問題景(設(shè)疑激趣引新問題,挖掘與已知問題的異同及聯(lián)系,是否可轉(zhuǎn)化),巧用思想方法(針對問題新特點(diǎn),選準(zhǔn)用好思想方法),探究“自主發(fā)現(xiàn)”(運(yùn)用觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類比、聯(lián)想、猜測等合情推理探求與發(fā)現(xiàn)新思路),推證新知結(jié)論(嚴(yán)密而科學(xué)地論證新結(jié)論),獲得“問題解決”(歸納解決問題的理論與方法,反思各類問題的不同解法,檢驗(yàn)漏解情形,給出原問題的合理解答),開發(fā)實(shí)際應(yīng)用(聯(lián)系實(shí)際自編應(yīng)用題)。2.2.2注重學(xué)法指導(dǎo)。用數(shù)學(xué)思想方法論來指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)常微方程,會收到增“智”促”效”的學(xué)習(xí)效果。實(shí)質(zhì)上,采取徐利治教授倡導(dǎo)的“關(guān)系映射反演”原理是最高明的學(xué)法指導(dǎo)方法。即在學(xué)習(xí)和研究各類微分方程(組)問題時(shí),總是按如下RMI原理的圖示進(jìn)行思考是明智之舉。筆者抓住兩個(gè)主要環(huán)節(jié)進(jìn)行學(xué)法指導(dǎo)即2.2.2.1建模思想的指導(dǎo)。引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)際問題出發(fā),優(yōu)選自變量與未知函數(shù),尋找自變量、未知函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)之間的等量關(guān)系,建立相應(yīng)問題的微分方程(組)模型,完成實(shí)際問題模型化的過程。筆者在教學(xué)中有目的地將社會經(jīng)濟(jì)生活和現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的熱點(diǎn)問題引申進(jìn)課堂,建立以下典型模型:(A)最速下降模型;(B)確定性貯存模型;(C)人口增長的馬爾薩斯模型;(D)捕食者與被捕食者的伏特拉模型;(E)傳染病的SIS模型等。2.2.2.2解模方法的指導(dǎo)。指導(dǎo)學(xué)生對各章內(nèi)容作歸納總結(jié)和系統(tǒng)梳理工作,匯編成知識網(wǎng)絡(luò)。教會學(xué)生在熟悉各類方程(組)的常規(guī)解法的基礎(chǔ)上,對具體問題作具體分析,分別不同情況采用不同方法,還要根據(jù)方程的特點(diǎn),引進(jìn)適當(dāng)?shù)淖儞Q或分類方法,進(jìn)行一題多解和變式的發(fā)散訓(xùn)練。在解模策略上我歸納出如下口訣讓學(xué)生掌握:判類型,選方法;抓一般,轉(zhuǎn)特殊;查網(wǎng)絡(luò),尋聯(lián)系;先基礎(chǔ),后綜合;重常規(guī),變奇異:非線性找變換,非齊線用變易。2.2.3注重合情推理。充分運(yùn)用歸納法將一階五種基本方程(變量分離、齊次方程、線性方程、伯努利方程及恰當(dāng)方程)歸納為變量分離和恰當(dāng)方程兩類基礎(chǔ)方程求解,常糸數(shù)非齊線性方程(組)特解求法歸納為常數(shù)變易、待定系數(shù)和拉普拉斯變換三種方法;充分運(yùn)用類比法將線性方程與線性方程組解的結(jié)構(gòu)理論相類比,將一階微分方程與線性微分方程組解的存在唯一性定理及逐步逼近法相類比進(jìn)行合情推理教學(xué)。2.2.4注重人文教育。緊扣教材內(nèi)容,講評伯努利、黎卡提、歐拉、拉普拉斯和貝塞耳等數(shù)學(xué)家生平事績和發(fā)明創(chuàng)造的史料,追尋他們當(dāng)年探索相應(yīng)方程解法的思維軌跡和發(fā)現(xiàn)過程,學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家獨(dú)特的數(shù)學(xué)思維方式,用數(shù)學(xué)家勇于創(chuàng)新、勤于求索的數(shù)學(xué)精神去點(diǎn)燃學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的熊熊烈火,激勵(lì)學(xué)生以他們?yōu)榘駱?開創(chuàng)今后的創(chuàng)新學(xué)習(xí)和自主發(fā)現(xiàn)。2.2.5注重合作交流?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)教育理論認(rèn)為,當(dāng)今的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)應(yīng)成為師生、學(xué)生之間交互合作交流的活動過程,在這種充分合作的環(huán)境下,教師是合作的主持人和啟用數(shù)學(xué)思想方法的主導(dǎo)者,學(xué)生是合作的主要群體和運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法的自主者,而數(shù)學(xué)方法論就是他們進(jìn)行相互交流的最好的理論武器和合作軟件。在教學(xué)中我充分創(chuàng)設(shè)和提供這種合作交流的條件與機(jī)會,分別采取專題討論、師生答疑、板書演講、作業(yè)互評、說課評教、建模講座和寫作輔導(dǎo)等多種形式進(jìn)行多向交流。在講完伯努利方程的換元解法后,我有意識地組織同學(xué)進(jìn)行《如何推廣伯努利方程解法》的專題討論,利用變式問題引導(dǎo)學(xué)生參予研究。首先列四道題讓四組同學(xué)分別練習(xí)各組選派代表上臺講答,并誘導(dǎo)學(xué)生歸納出共同的解法規(guī)律即通過不同的變換得出結(jié)構(gòu)相似的通解形式;接著再給出如下更一般化形式⑤dy/dx=Q(x)y⑥dy/dx=Q(x)f(x)+P(x)f(y)·∫[1/f(y)]dy[其中1/f(y)可積]。師生共同歸結(jié)得出⑥的通解為dy/dx=Q(x)f[g(y)]/gΦ[g(y)]=∫d[g(y)]/f[g(y)]=e∫3重視數(shù)學(xué)方法論在常微方程學(xué)習(xí)中的應(yīng)用3.1培養(yǎng)高師生學(xué)會“自我發(fā)現(xiàn)”的本領(lǐng)。日本筑波大學(xué)校長江崎:“學(xué)生在大學(xué)時(shí)代要學(xué)習(xí)‘自我發(fā)現(xiàn)’的本領(lǐng)”。徐利治先生又說“教育過程能有助于自我發(fā)現(xiàn)和自我志趣的實(shí)現(xiàn)”。由此可見,高師數(shù)學(xué)教育的根本任務(wù)就是培養(yǎng)師范生學(xué)會‘自我發(fā)現(xiàn)’的本領(lǐng),從而“教師的主要任務(wù)是要把自學(xué)方法和研究興趣傳授給學(xué)生,‘講課即講學(xué)’主要是啟發(fā)、鼓舞學(xué)生的鉆研興趣”,教學(xué)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果證實(shí)了這個(gè)道理。實(shí)驗(yàn)班同學(xué)普遍對數(shù)學(xué)方法論情有獨(dú)鐘,認(rèn)識到掌握用活數(shù)學(xué)思想方法不僅是提高常微分方程教學(xué)質(zhì)量的一把金鑰匙,而且對其它數(shù)學(xué)課程的教學(xué)也起到“點(diǎn)金術(shù)”的作用,對師范生一輩子做人處世理事都有深遠(yuǎn)的指導(dǎo)意義。他們在評教評學(xué)中都深有感觸地寫到“通過運(yùn)用數(shù)學(xué)方法論指導(dǎo)常微方程的學(xué)習(xí),不僅讓我們饒有興趣地學(xué)到了科學(xué)文化知識,而且更可貴的是自覺地學(xué)會了終身受益的數(shù)學(xué)思想方法——這是指導(dǎo)我們今后開拓教學(xué)與科研創(chuàng)新工作的無價(jià)之寶”。教學(xué)實(shí)驗(yàn)集教學(xué)、學(xué)習(xí)和研究三位一體協(xié)調(diào)發(fā)展。這體現(xiàn)在:一節(jié)省了教學(xué)時(shí)數(shù),收到事半功倍的教學(xué)效果;二實(shí)驗(yàn)班同學(xué)學(xué)會了自主學(xué)習(xí)的方法,主動到圖書館廣泛查閱學(xué)習(xí)資料,大幅度提高了學(xué)習(xí)效率和學(xué)習(xí)成績,98(2)班期考合格率100%,優(yōu)秀率達(dá)32%,不少同學(xué)還做對了附加題;三他們通過論文寫作講座的輔導(dǎo)后,初步形成愛鉆研講發(fā)現(xiàn)的良好氛圍,初步學(xué)會“自我發(fā)現(xiàn)”新知識的本領(lǐng),寫出了一批頗有新見的處女作,并在數(shù)學(xué)系第四屆畢業(yè)論文報(bào)告會上宣讀獲獎?wù)撐娜纭度惙蔷€性微分方程及其初等解法》、《變量變換法解幾類微分方程》、《一道微分方程的多種解法》、《微分方程的積分因子法》、《一道習(xí)題的改編與延拓》和《轉(zhuǎn)化思想在解微分方程中的運(yùn)用》等。3.2提高高師生的能力與素質(zhì)。根據(jù)師范性的特點(diǎn),有意識讓學(xué)生自行改造和編制微分方程的應(yīng)用題和例(習(xí))題,教會學(xué)生掌握一般改變條件,結(jié)論、背景材料或特殊化、一般化等方法去構(gòu)編新命題,有效地進(jìn)行文理結(jié)合,提高了師范生今后出好試題的能力;在97級教學(xué)實(shí)習(xí)中大部分同學(xué)均能自覺運(yùn)用MM教育方式備好課上課,受到實(shí)習(xí)學(xué)校師生的一致好評;對后繼課程也能運(yùn)用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行有效學(xué)習(xí),大部分同學(xué)通過了大學(xué)四級英語和計(jì)算機(jī)等級考試,起到正遷移學(xué)習(xí)的作用;參加課外興趣小組學(xué)習(xí)的同學(xué)組隊(duì)參加全國大學(xué)生建模競賽榮獲三等獎,97級有30%同學(xué)積極參加考