(完整版)函數(shù)的極值與最值練習(xí)題及答案一、選擇題1.D.根據(jù)函數(shù)圖像可知，x=2是f(x)的極小值點(diǎn)。2.B.根據(jù)極值點(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù)為0可得方程組a-2b=0,6a+4b=0，解得a=2/3，b=4/9。3.A.可以通過(guò)求導(dǎo)數(shù)和二次函數(shù)最值公式計(jì)算得到最小值為-4/3。4.B.(x+1)f'(x)>0表示在x>-1和x<-1兩個(gè)區(qū)間內(nèi)f(x)的單調(diào)性不同，因此x=-1是極小值點(diǎn)。5.C.函數(shù)在[2,4]上單調(diào)遞減，因此f(2)和f(4)中的較小值為極值點(diǎn)，解得a∈[2,10/3)。6.D.可以通過(guò)求導(dǎo)數(shù)和二次函數(shù)最值公式計(jì)算得到a=-7/4，因此a∈(-∞,-7/4)。7.A.可以通過(guò)求導(dǎo)數(shù)和極值點(diǎn)的二次函數(shù)公式計(jì)算得到f(m)+f'(n)的最小值為-13。二、填空題8.39.a∈[-2,0]10.tanx=-4/311.a≤-3三、解答題12.(1)y=x-6x^2+9x-4，y'=1-12x+9=(3x-2)(3x-1)，因此極值點(diǎn)為x=1/3和x=2/3，最大值為y=25/9，最小值為y=-4/9。(2)y=-x+2x^2，y'=-1+4x=0，因此極值點(diǎn)為x=1/4，最大值為y=17/8。13.首先求導(dǎo)數(shù)f'(x)=6x^2-12x，令其為0可得極值點(diǎn)為x=0和x=2。由于f(-2)=f(2)=2m+3=3，解得m=0。因此函數(shù)在[-2,2]上的最小值為f(0)=-8。14.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+ax+b$在$x=-1$處的切線與$x$軸平行。(1)求$a$的值和函數(shù)$f(x)$的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)$y=f(x)$的圖象與拋物線$y=\frac{1}{2}x^2-15x+3$恰有三個(gè)不同交點(diǎn)，求$b$的取值范圍。(1)對(duì)于函數(shù)$f(x)$，其在$x=-1$處的導(dǎo)數(shù)為$f'(x)=3x^2-6x+a$，因?yàn)榍芯€與$x$軸平行，所以$f'(-1)=0$，解得$a=6$。又因?yàn)?f'(x)=3(x-1)(x-2)$，所以$f(x)$在區(qū)間$(-\infty,-1)$和$(2,+\infty)$上單調(diào)遞增，在區(qū)間$(-1,1)$上單調(diào)遞減，在區(qū)間$(1,2)$上單調(diào)遞增。(2)由于$f(x)$的導(dǎo)數(shù)為$f'(x)=3x^2-6x+6$，拋物線的導(dǎo)數(shù)為$f'(x)=x-15$，所以交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為三個(gè)，當(dāng)且僅當(dāng)$f'(x)$與$f'(x)=x-15$在區(qū)間$(a,b)$內(nèi)有兩個(gè)交點(diǎn)，其中$a$和$b$分別為兩個(gè)極值點(diǎn)。解得$a=1,b=3$，所以$f(x)$的極值點(diǎn)為$x=1$和$x=2$。當(dāng)$x=1$時(shí)，$f(x)$取得極小值，當(dāng)$x=2$時(shí)，$f(x)$取得極大值。因?yàn)?f(1)$和$f(2)$分別為兩個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，所以$b$的取值范圍為$f(1)<b<f(2)$，即$-2<b<18$。15.已知函數(shù)$f(x)=x\cosx-\sinx$，$x\in[0,\frac{\pi}{2}]$。(1)求證：$f(x)\leq\frac{1}{2}$；(2)若$\sinx<a<\cosx$對(duì)$x\in[\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}]$上恒成立，求$a$的最大值與最小值。(1)對(duì)于函數(shù)$f(x)$，其導(dǎo)數(shù)為$f'(x)=\cosx-x\sinx$，因?yàn)?f'(x)$在區(qū)間$[0,\frac{\pi}{2}]$內(nèi)單調(diào)遞減，所以$f(x)$的最大值為$f(0)=0$，最小值為$f(\frac{\pi}{2})=-1$。因?yàn)?\frac{1}{2}>-1$，所以$f(x)\leq\frac{1}{2}$。(2)因?yàn)?\sinx<a<\cosx$對(duì)$x\in[\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}]$上恒成立，所以$\cosx-a<\sinx$，即$\cosx-a<\sqrt{1-\cos^2x}$。兩邊平方得到$a^2-2a\cosx+\cos^2x<1-\cos^2x$，整理得到$a^2-2a\cosx+2\cos^2x-1<0$。因?yàn)?x\in[\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}]$，所以$\cosx\in[\frac{\sqrt{2}}{2},1]$，所以$a$的取值范圍為$\sqrt{2}-1<a<\sqrt{2}+1$。當(dāng)$a=\sqrt{2}-1$時(shí)，不等式恰好成立，當(dāng)$a=\sqrt{2}+1$時(shí)，不等式不成立，所以$a$的最大值為$\sqrt{2}-1$，最小值為$-\sqrt{2}-1$。求導(dǎo)得$f'(x)=-3x^2+2ax$，由函數(shù)$f(x)$在$x=2$處取得極值知$f'(2)=-3\times4+2a\times2=0$，$\thereforea=3$。由此可得$f(x)=-x^3+3x^2-4$，$f'(x)=-3x^2+6x$，易知$f(x)$在$(-1,0)$上單調(diào)遞減，在$(0,1)$上單調(diào)遞增，$\therefore$當(dāng)$m\in[-1,1]$時(shí)，$f(m)_{min}=f(0)=-4$。又$f'(x)=-3x^2+6x$的圖象開(kāi)口向下，且對(duì)稱(chēng)軸為$x=1$，$\therefore$當(dāng)$n\in[-1,1]$時(shí)，$f'(n)_{min}=f'(-1)=-9$。故$f(m)+f'(n)$的最小值為$-13$。2.$\becausey'=1-2\sinx$，由$y'=0$得$x=\dfrac{\pi}{6}$，當(dāng)$x\in\left[0,\dfrac{\pi}{6}\right)$時(shí)，$y'<0$，當(dāng)$x\in\left(\dfrac{\pi}{6},\dfrac{\pi}{2}\right]$時(shí)，$y'>0$，$\therefore$當(dāng)$x=\dfrac{\pi}{6}$時(shí)，$y_{max}=\dfrac{\pi}{6}+3$。9.$f'(x)=3x+6ax+3(a+2)$，$\becausef(x)$既有極大值又有極小值，$3x+6ax+3(a+2)$有兩個(gè)不同的解，$\therefore$$9a^2+24a-27>0$或$9a^2+24a-27<0$，即$a>2$或$a<-1$。11.若$x=0$，則不論$a$取何值，$f(x)\geq0$顯然成立；當(dāng)$x>\sqrt{3}$，且$x\in[-1,1]$，即$x\in\left(\sqrt{3},1\right]$時(shí)，$f(x)=ax^3-3x+1\geq\dfrac{2\sqrt{3}}{9}+1>1$，$\therefore$此時(shí)$f(x)$無(wú)極值。當(dāng)$x\in[-\sqrt{3},\sqrt{3}]$時(shí)，$f(x)=ax^3-3x+1$可化為$a\geq\dfrac{3x-1}{x^3}$，設(shè)$g(x)=\dfrac{3x-1}{x^3}$，則$g'(x)=-\dfrac{6x^2-3}{x^4}$，$g(x)$在區(qū)間$\left(0,\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)$上單調(diào)遞減，在區(qū)間$\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}},\sqrt{3}\right]$上單調(diào)遞增。因此，$g(x)_{max}=g\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=4\sqrt{2}$，從而$a\geq4\sqrt{2}$。綜上可知，$a\geq4\sqrt{2}$。12.（1）$y_{max}=f(1)=5$，$y_{min}=f(3)=-4$；（2）令$y'=0$，得$x_1=-1$，$x_2=0$，$x_3=1$，當(dāng)$x$變化時(shí)，$y'$，$y$的變化情況如下表：\begin{tabular}{|c|c|c|c|}\hline$x$&$(-\infty,-1)$&$(-1,0)$&$(0,1)$\\\hline$y'$&