知識復習+梳理解排列組合問題的常用方法知識復習+梳理解排列組合問題的1

完成一件事，有n類辦法，在第1類辦法中有m1種不同的方法，在第2類辦法中有m2

種不同的方法，…，在第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有：種不同的方法．復習鞏固1.分類計數(shù)原理(加法原理)

復習鞏固1.分類計數(shù)原理(加法原理)

2完成一件事，需要分成n個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，…，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有：種不同的方法．2.分步計數(shù)原理（乘法原理）分步計數(shù)原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一個階段，不能完成整個事件．3.分類計數(shù)原理分步計數(shù)原理區(qū)別分類計數(shù)原理方法相互獨立，任何一種方法都可以獨立地完成這件事。完成一件事，需要分成n個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做3復習回顧排列數(shù)

從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素,按照一定的順序排成一列,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.從nm個元素的排列數(shù)。n個不同元素中取出叫做從所有排列的個數(shù)，個元素的個不同元素中取出m(m≤n)排列排列數(shù)公式!mn-)!n=(我們規(guī)定:0!=1復習回顧排列數(shù)從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素,按照4復習回顧組合數(shù)

從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素,并成一組,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合.從nm個元素的組合數(shù)。n個不同元素中取出叫做從所有組合的個數(shù)，個元素的個不同元素中取出m(m≤n)組合組合數(shù)公式和兩個重要性質復習回顧組合數(shù)從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素,并成5

解決實際問題時首先要看是否與順序有關，從而確定是排列問題還是組合問題，必要時要利用分類和分步計數(shù)原理．強調：排列——次序性；組合——無序性．在處理問題時，一般可采用直接和間接兩種思維形式，從而尋求有效的解題途徑．強調：排列——次序性；在處理問題時，一般可采用直接和6解決排列組合綜合性問題的一般過程如下:1.認真審題弄清要做什么事2.怎樣做才能完成所要做的事,即采取分步還是分類,或是分步與分類同時進行,確定分多少步及多少類。3.確定每一步或每一類是排列問題(有序)還是組合(無序)問題,元素總數(shù)是多少及取出多少個元素.※解決排列組合綜合性問題，往往類與步交叉，因此必須掌握一些常用的解題策略，以下來講解這些常用策略解決排列組合綜合性問題的一般過程如下:1.認真審題弄清要做什7一.特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略（優(yōu)先法）例1.由0,1,2,3,4,5可以組成多少個沒有重復數(shù)字五位奇數(shù).

解:由于末位和首位有特殊要求,應該優(yōu)先安排,以免不合要求的元素占了這兩個位置先排末位共有___

然后排首位共有___最后排其它位置共有___由分步計數(shù)原理得=288位置分析法和元素分析法是解決排列組合問題最常用也是最基本的方法,若以元素分析為主,需先安排特殊元素,再處理其它元素.若以位置分析為主,需先滿足特殊位置的要求,再處理其它位置。若有多個約束條件，往往是考慮一個約束條件的同時還要兼顧其它條件一.特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略（優(yōu)先法）例1.由0,1,2,8二.相鄰元素捆綁策略（捆綁法）例2.7人站成一排,其中甲乙相鄰且丙丁相鄰,共有多少種不同的排法.甲乙丙丁由分步計數(shù)原理可得共有種不同的排法=480解：可先將甲乙兩元素捆綁成整體并看成一個復合元素，同時丙丁也看成一個復合元素，再與其它元素進行排列，同時對相鄰元素內(nèi)部進行自排。要求某幾個元素必須排在一起的問題,可以用捆綁法來解決問題.即將需要相鄰的元素合并為一個元素,再與其它元素一起作排列,同時要注意合并元素內(nèi)部也必須排列.二.相鄰元素捆綁策略（捆綁法）例2.7人站成一排,其中甲9三.不相鄰問題插空策略（插空法）例3.一個晚會的節(jié)目有4個舞蹈,2個相聲,3個獨唱,舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場,則節(jié)目的出場順序有多少種？解:分兩步進行第一步排2個相聲和3個獨唱共有

種，第二步將4舞蹈插入第一步排好的5個元素中間包含首尾兩個空位共有種

不同的方法

由分步計數(shù)原理,節(jié)目的不同順序共有

種相相獨獨獨元素相離問題可先把沒有位置要求的元素進行排隊再把不相鄰元素插入中間和兩端三.不相鄰問題插空策略（插空法）例3.一個晚會的節(jié)目有4個舞10四.重排問題求冪策略例4.把6名實習生分配到7個車間實習,共有多少種不同的分法解:完成此事共分六步:把第一名實習生分配到車間有

種分法.7把第二名實習生分配到車間也有7種分法，依此類推,由分步計數(shù)原理共有種不同的排法允許重復的排列問題的特點是以元素為研究對象，元素不受位置的約束，可以逐一安排各個元素的位置，一般地n不同的元素沒有限制地安排在m個位置上的排列數(shù)為種nm四.重排問題求冪策略例4.把6名實習生分配到7個車間實習,共11五.多排問題直排策略例5.8人排成前后兩排,每排4人,其中甲乙在前排,丁在后排,共有多少排法解:8人排前后兩排,相當于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.先在前4個位置排甲乙兩個特殊元素有____種,再排后4個位置上的特殊元素有_____種,其余的5人在5個位置上任意排列有____種,則共有_________種.前排后排一般地,元素分成多排的排列問題,可歸結為一排考慮,再分段研究.五.多排問題直排策略例5.8人排成前后兩排,每排4人,其中甲12六.排列組合混合問題先選后排策略例6.有5個不同的小球,裝入4個不同的盒內(nèi),每盒至少裝一個球,共有多少不同的裝法.解:第一步從5個球中選出2個組成復合元共有__種方法.再把5個元素(包含一個復合元素)裝入4個不同的盒內(nèi)有_____種方法.根據(jù)分步計數(shù)原理裝球的方法共有_____解決排列組合混合問題,先選后排是最基本的指導思想.此法與相鄰元素捆綁策略相似嗎?六.排列組合混合問題先選后排策略例6.有5個不同的小球,裝入13練習題一個班有6名戰(zhàn)士,其中正副班長各1人現(xiàn)從中選4人完成四種不同的任務,每人完成一種任務,且正副班長有且只有1人參加,則不同的選法有________種192練習題一個班有6名戰(zhàn)士,其中正副班長各1人19214七.小集團問題先整體局部策略例7.用1,2,3,4,5組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)

其中恰有兩個偶數(shù)夾在1,５兩個奇數(shù)之間,這樣的五位數(shù)有多少個？解：把１,５,２,４當作一個小集團與３排隊共有____種排法，再排小集團內(nèi)部共有_______種排法，由分步計數(shù)原理共有_______種排法.31524小集團小集團排列問題中，先整體后局部，再結合其它策略進行處理。七.小集團問題先整體局部策略例7.用1,2,3,4,5組成沒15基本原理組合排列排列數(shù)公式組合數(shù)公式組合數(shù)性質應用問題基組合排列排列數(shù)公式組合數(shù)公式組合數(shù)性質應16１.計劃展出10幅不同的畫,其中1幅水彩畫,４幅油畫,５幅國畫,排成一行陳列,要求同一

品種的必須連在一起，并且水彩畫不在兩端，那么共有陳列方式的種數(shù)為_______2.5男生和５女生站成一排照像,男生相鄰,女

生也相鄰的排法有_______種變式：小集團問題和捆綁法類似嗎？１.計劃展出10幅不同的畫,其中1幅水彩畫,４2.5男生和17八.元素相同問題隔板策略例8.有10個運動員名額，在分給7個班，每

班至少一個,有多少種分配方案？

解：因為10個名額沒有差別，把它們排成一排。相鄰名額之間形成９個空隙。在９個空檔中選６個位置插個隔板，可把名額分成７份，對應地分給７個班級，每一種插板方法對應一種分法共有___________種分法。一班二班三班四班五班六班七班將n個相同的元素分成m份（n，m為正整數(shù)）,每份至少一個元素,可以用m-1塊隔板，插入n個元素排成一排的n-1個空隙中，所有分法數(shù)為八.元素相同問題隔板策略例8.有10個運動員名額，在分給7個18練習題１.將8個學生干部的培訓指標分配給5個不同的班級，每班至少分到1個名額，共有多少種不同的分配方法？２.從6個學校中選出30名學生參加數(shù)學競賽,每校至少有1人,這樣有幾種選法?練習題１.將8個學生干部的培訓指標分配給5個不同的２.從619九.正難則反總體淘汰策略例9.我們班里有62位同學,從中任抽5人,正、副班長、團支部書記至少有一人在內(nèi)的抽法有多少種?有些排列組合問題,正面直接考慮比較復雜,而它的反面往往比較簡捷,可以先求出它的反面,再從整體中淘汰.九.正難則反總體淘汰策略例9.我們班里有62位同學,從中任抽20十.平均分組問題除法策略例10.6本不同的書平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？解:分三步取書得種方法,但這里出現(xiàn)重復計數(shù)的現(xiàn)象,不妨記6本書為ABCDEF

若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF

該分法記為(AB,CD,EF),則中還有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有種取法,而這些分法僅是(AB,CD,EF)一種分法,故共

有種分法。平均分成的組,不管它們的順序如何,都是一種情況,所以分組后要一定要除以(n為均分的組數(shù))避免重復計數(shù)。十.平均分組問題除法策略例10.6本不同的書平均分成3堆,211將13個球隊分成3組,一組5個隊,其它兩組4

個隊,有多少分法？

1將13個球隊分成3組,一組5個隊,其它兩組422“全能型”沒有被選上的選法共有____種,“全能型”若被選上，則又可以分兩類：

①他唱歌的選法共有______種，

②他跳舞的選法共有

種,由分類計數(shù)原理共有__________種。十一.合理分類與分步策略例11.在一次演唱會上共10名演員,其中7人能能唱歌,4人會跳舞,現(xiàn)要演出一個2人唱歌2人伴舞的節(jié)目,有多少選派方法?解：10演員中有6人只會唱歌，3人只會跳舞

1人為“全能型”。以“全能型”是否被選上為標準進行研究：

++解含有約束條件的排列組合問題，可按元素的性質進行分類，按事件發(fā)生的連續(xù)過程分步，做到標準明確。分步層次清楚，不重不漏，分類標準一旦確定要貫穿于解題過程的始終?！叭苄汀睕]有被選上的選法共有____種,十一.合理分類與23十二.構造模型策略例12.馬路上有編號為1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路燈,現(xiàn)要關掉其中的3盞,但不能關

掉相鄰的2盞,也不能關掉兩端的2盞,求滿足條件的關燈方法有多少種？解：把此問題當作一個排隊模型在6盞亮燈的5個空隙中插入3個不亮的燈有________種一些不易理解的排列組合題如果能轉化為非常熟悉的模型，如插空法，排隊模型，裝盒模型等，可使問題直觀解決十二.構造模型策略例12.馬路上有編號為1,2,3,4,524練習題某排共有10個座位，若4人就坐，每人左右兩邊都有空位，那么不同的坐法有多少種？練習題某排共有10個座位，若4人就坐，每人左右25十三.實際操作窮舉策略例13.設有編號1,2,3,4,5的五個球和編號1,2,3,4,5的五個盒子,現(xiàn)將5個球投入這五盒子內(nèi),要求每個盒子放一個球，并且恰好有兩個球的編號與盒子的編號相同,有多少投法?利用實際操作法，如果剩下3,4,5號球和3,4,5號盒,3號球裝4號盒時，則4,5號球有只有1種裝法.3號盒4號盒5號盒345解：從5個球中取出2個與盒子對號有_____種,還剩下3球3盒序號不能對應，同理3號球裝5號盒時,4,5號球有也只有1種裝法,由分步計數(shù)原理有2種.類似列舉法十三.實際操作窮舉策略例13.設有編號1,2,3,4,5的五26課堂小結：

排列、組合問題解題方法比較靈活，問題思考的角度不同，就會得到不同的解法.

若選擇的切入角度得當，則問題求解簡便，否則會變得復雜難解.

學習中既要注意比較不同解法的優(yōu)劣，更要注意體會如何對一個問題進行認識思考，才能得到最優(yōu)方法.課堂小結：27小結：1．對有約束條件問題，注意如下類型最常見：

⑴特殊位置；⑵必須相鄰；⑶不能相鄰；2．基本的解題方法：⑴優(yōu)先法；⑵

捆綁法；⑶插空法；3.在處理問題時，一般可采用直接和間接兩種思維形式，從而尋求有效的解題途徑．4.借助一題多解檢驗答案的正確性．

小結：1．對有約束條件問題，注意如下類型最常見：2．基本的28排列組合高考匯編1．(07全國Ⅰ)從班委會5名成員中選出3名，分別擔任班級學習委員、文娛委員與體育委員，其中甲、乙二人不能擔任文娛委員，則不同的選法共有

種．（用數(shù)字作答）解：先從其余3人中選出1人擔任文娛委員，再從4人中選2人擔任學習委員和體育委員，不同的選法共有

種。間接法排列組合高考匯編1．(0