4.5.2用二分法求方程的近似解課后篇鞏固提升合格考達標練1.已知f(x)=3x+3x-8,用二分法求方程3x+3x-8=0在區(qū)間(1,2)內(nèi)的近似解的過程中得到f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,則方程的解落在區(qū)間()A.(1,1.25) B.(1.25,1.5)C.(1.5,2) D.不能確定答案B解析∵f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,∴f(1.25)f(1.5)<0,因此方程的解落在區(qū)間(1.25,1.5)內(nèi),故選B.2.(2021江西上高二中高二期末)若函數(shù)f(x)=x3+x2-2x-2的一個正數(shù)零點附近的函數(shù)值用二分法計算,其參考數(shù)據(jù)如下:f(1)=-2f(1.5)=0.625f(1.25)=-0.984f(1.375)=-0.260f(1.4375)=0.162f(1.40625)=-0.054那么方程x3+x2-2x-2=0的一個近似根(精確到0.1)為()A.1.4 B.1.3 C.1.2 D.1.5答案A解析由表格中參考數(shù)據(jù)可得f(1.43750)>0,f(1.40625)<0,又因為題中要求精確到0.1,所以近似根為1.4,故選A.3.(多選題)下列關于函數(shù)y=f(x),x∈[a,b]的說法錯誤的是()A.若x0∈[a,b]且滿足f(x0)=0,則x0是f(x)的一個零點B.若x0是f(x)在[a,b]上的零點,則可用二分法求x0的近似值C.函數(shù)f(x)的零點是方程f(x)=0的根,但f(x)=0的根不一定是函數(shù)f(x)的零點D.用二分法求方程的根時,得到的都是近似值答案BCD解析x0∈[a,b]且滿足f(x0)=0,則x0是f(x)的一個零點,所以A正確;例如f(x)=x2,不可以用二分法求零點,所以B錯誤;方程f(x)=0的根一定是函數(shù)f(x)的零點,所以C錯誤;用二分法求方程的根時,得到的根也可能是精確值,所以D錯誤.故選BCD.4.用二分法求方程x3-2x-5=0在區(qū)間[2,3]內(nèi)的實數(shù)解,取區(qū)間中點x0=2.5,那么下一個有解區(qū)間為.

答案[2,2.5]解析因為f(2)<0,f(2.5)>0,f(3)>0,所以f(2)f(2.5)<0,f(2.5)f(3)>0.所以下一個有解區(qū)間應為[2,2.5].5.下表是連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上一些點的函數(shù)值:x11.251.3751.40651.4381.51.6251.751.8752f(x)-2-0.984-0.260-0.0520.1650.6251.9822.6454.356由此可判斷,方程f(x)=0的一個近似解為.(精確到0.1)

答案1.4解析由題中表格對應的數(shù)值可得,函數(shù)零點一定在區(qū)間[1.4065,1.438]上,由精確度可知近似解可為1.4.6.已知函數(shù)f(x)=lnx+2x-6.(1)證明:f(x)有且只有一個零點;(2)求這個零點所在的一個區(qū)間,使這個區(qū)間的長度不大于14(1)證明令x1>x2>0,則f(x1)-f(x2)=lnx1x2+2(x1-x2),且x1x2>1,x∴f(x1)>f(x2),即f(x)=lnx+2x-6在(0,+∞)上是增函數(shù),∴f(x)至多有一個零點.又f(2)=ln2-2<0,f(3)=ln3>0,∴f(2)·f(3)<0,即f(x)在(2,3)內(nèi)有一個零點.∴f(x)在(0,+∞)上只有一個零點.(2)解∵f(2)<0,f(3)>0,取x1=2+32=52,f52=ln52∴f(3)f52<0,即f(x)零點x0∈52,3.取x2=52+32=114,則f114=∴f52f114<0.∴x0∈52,114.又114-5∴滿足題意的區(qū)間為52,11等級考提升練7.在用二分法求2的近似值的過程中,可以構(gòu)造函數(shù)f(x)=x2-2(x>0),我們知道f(1)·f(2)<0,所以2∈(1,2),要使2的近似值滿足精確度為0.1,則對區(qū)間(1,2)至少二等分的次數(shù)為()A.3 B.4 C.5 D.6答案B解析設要計算n次,則n滿足12n<0.1,即2n>10.故計算4所以將區(qū)間(1,2)等分的次數(shù)為4次.故選B.8.用二分法求方程lnx-1x=0在[1,2]上的根時,取中點c=1.5,則下一個有根區(qū)間為(A.(1,1.25) B.(1,1.5)C.(1,2) D.(1.5,2)答案D解析令f(x)=lnx-1x,因為f(1)=-1<0,f(2)=ln2-12=ln2-lne12>ln2-ln412f(1.5)=ln32-23=ln32-23lne=13ln(32)3-13lne2=13ln278-lne9.(多選題)若函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)的,且函數(shù)f(x)的唯一零點同時在區(qū)間(0,4),(0,2),1,32,54,32內(nèi),則與f(0)符號不同的是(A.f54 B.f(2) C.f(1) D.f32答案BD解析由二分法的步驟可知:①零點在區(qū)間(0,4)內(nèi),則有f(0)·f(4)<0,不妨設f(0)>0,f(4)<0,取中點2;②零點在區(qū)間(0,2)內(nèi),則有f(0)·f(2)<0,則f(0)>0,f(2)<0,取中點1;③零點在區(qū)間(1,2)內(nèi),則有f(1)·f(2)<0,則f(1)>0,f(2)<0,取中點32;④零點在區(qū)間1,32內(nèi),則有f(1)·f32<0,則f(1)>0,f32<0,則取中點54;⑤零點在區(qū)間54,32內(nèi),則有f54·f32<0,則f54>0,f32<0,所以與f(0)符號不同的是f(4),f(2),f32.10.已知函數(shù)f(x)=ln(x+1)+2x-m(m∈R)的一個零點附近的函數(shù)值的參考數(shù)據(jù)如下表:x00.50.531250.56250.6250.751f(x)-1.307-0.084-0.0090.0660.2150.5121.099由二分法求得方程ln(x+1)+2x-m=0的近似解(精確度0.05)可能是()A.0.625 B.-0.009 C.0.5625 D.0.066答案C解析設近似解為x0,因為f(0.53125)<0,f(0.5625)>0,所以x0∈(0.53125,0.5625).因為0.5625-0.53125=0.03125<0.05,所以方程的近似解可取為0.5625,故選C.11.(2020湖北黃石高一期中)用二分法求函數(shù)f(x)=3x-x-4的一個零點,其參考數(shù)據(jù)如下:f(1.6000)≈0.200f(1.5875)≈0.133f(1.5750)≈0.067f(1.5625)≈0.003f(1.5562)≈-0.029f(1.5500)≈-0.060據(jù)此數(shù)據(jù),可得方程3x-x-4=0的一個近似解為(精確到0.01).

答案1.56解析由表知,f(1.5562)=-0.029,f(1.5625)=0.003,則f(1.5562)f(1.5625)<0,故區(qū)間的端點四舍五入可得1.56.12.證明函數(shù)f(x)=x3-x2+5,x∈[-2,-1]有零點,并指出用二分法求零點的近似值(精確度小于0.1)時,至少需要進行多少次函數(shù)值的計算.解因為f(-2)=-8-4+5=-7<0,f(-1)=-1-1+5=3>0,所以f(-2)·f(-1)<0,所以函數(shù)f(x)=x3-x2+5在區(qū)間[-2,-1]上有零點x0.至少需要進行3次函數(shù)值的計算,理由如下:取區(qū)間[-2,-1]的中點x1=-2-12=-32,且f-32=-278-所以x0∈-32,-1.取區(qū)間-32,-1的中點x2=-32-1且f-54=(-54)3所以x0∈-32,-54.取區(qū)間-32,-54的中點x3=-54-322=-118,且f-118所以x0∈-32,-118.因為-118--32<0.2,所以區(qū)間-32,-118的中點x4=-32-1182=-2316即為零點的近似值,即x0≈新情境創(chuàng)新練13.(2020云南曲靖高一期中)已知函數(shù)f(x)=x.(1)判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)上的單調(diào)性,并用定義證明;(2)函數(shù)g(x)=f(x)+log2x-2在區(qū)間(1,3)內(nèi)是否有零點?若有零點,用“二分法”求零點的近似值(精確度0.3);若沒有零點,說明理由.(參考數(shù)據(jù):1.25≈1.18,1.5≈1.225,1.75≈1.323,log21.25≈0.32,log21.5≈0.585,log21解(1)函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)上是增函數(shù).理由如下:令0≤x1<x2,由于f(x1)-f(x2)=x1-即f(x1)<f(x2),故函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)上是增函數(shù).(2)g(x)=x+log2x-2是增函數(shù).∵g(1)=1+log21-2=-1<0,g(3)=3+log23-2>0,g(2)=2+log22-2=2-1>0,∴函數(shù)