基于非線性原-對偶內(nèi)點法的無功優(yōu)化模型

0avc的無功優(yōu)化技術(shù)隨著能源系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)規(guī)模的不斷擴大，無源壓縮的系統(tǒng)電壓控制的難度和復(fù)雜性逐漸增加。實現(xiàn)統(tǒng)一性自動電壓控制（avc）不僅是一個容易學(xué)的問題，也是一個熱點。在AVC實現(xiàn)過程中，全網(wǎng)無功優(yōu)化是核心和基礎(chǔ)，因此對無功優(yōu)化的計算速度、魯棒性等提出了更高的要求。無功優(yōu)化問題的研究歷史較長，但由于該問題本身的復(fù)雜性、控制手段的多樣性和系統(tǒng)規(guī)模的不斷擴大，找到一種成熟、實用的無功優(yōu)化方法仍是電力系統(tǒng)研究的焦點之一自1984年Karmarkar提出求解線性規(guī)劃的多項式時間概念及算法以來，內(nèi)點優(yōu)化方法引起了廣泛關(guān)注并掀起了研究熱潮高維線性修正方程組經(jīng)過簡化可以縮減，如采用文獻本文在有功調(diào)度方式給定的前提下構(gòu)建以各節(jié)點的電壓相角、幅值和可調(diào)變壓器變比為變量的無功優(yōu)化模型，采用非線性原–對偶內(nèi)點算法1拉格朗日函數(shù)在有功調(diào)度方式給定的基礎(chǔ)上，以各節(jié)點的電壓幅值、相角和可調(diào)變壓器的變比為決策變量，其余所有變量均表示為該決策變量的函數(shù)，具體模型如下：式中：x給定有功調(diào)度方式后，系統(tǒng)各節(jié)點電壓幅值、相角和可調(diào)變壓器變比決定無功優(yōu)化的狀態(tài)，即對系統(tǒng)狀態(tài)的修正，該修正通過無功電源配合變壓器變比調(diào)整在一定約束條件下均衡電壓水平，抑制無功的流動，使損耗降到最小狀態(tài)。引入松弛變量將上述模型中的各不等式約束轉(zhuǎn)化為等式約束，并通過對數(shù)壁壘函數(shù)及壁壘因子將非負(fù)變量約束疊加于目標(biāo)函數(shù)中，得到如下增廣拉格朗日函數(shù)：式中：s對應(yīng)增廣拉格朗日函數(shù)的一階K-K-T條件為此外，引入中間變量z=μ(X式中：e為各元素均為1的列向量；I為單位陣；Y至此，應(yīng)用直接非線性原–對偶內(nèi)點法求解無功優(yōu)化問題基本完成內(nèi)點法通過引入對數(shù)壁壘參數(shù)μ來牽制互補松弛條件，這意味著在計算過程中μ不可能為0，只有這樣才能保證相關(guān)松弛變量不為0，以使其構(gòu)成的對角陣可逆，且在迭代過程中提供確保松弛變量和對偶變量滿足非負(fù)條件的規(guī)則?？梢妰?nèi)點法是通過μ實現(xiàn)對不等式約束與目標(biāo)函數(shù)間的牽制，該牽制相比傳統(tǒng)的罰函數(shù)法有較好的連續(xù)性，但要實現(xiàn)很高的計算精度，μ要減小到工程上能接受的程度，因此視優(yōu)化問題性質(zhì)的不同，在計算過程中難免會遇到計算機帶來的數(shù)值計算精度問題，有時甚至?xí)褂嬎汶y以進行。雖然可以直接采用稀疏技術(shù)對上述線性方程組進行整體求解，但難以尋求協(xié)調(diào)一致的規(guī)律。若直接采用稀疏技術(shù)，由于主元的選擇可能在迭代中需要變動非零元的存儲位置，消去過程中新增非零元的規(guī)律就更難確定，這樣不僅會失去計算效率，而且稀疏處理往往和消去過程中的選主元相矛盾，而針對內(nèi)點法的特點往往需要二者兼顧。從優(yōu)化的角度看，對應(yīng)一定目標(biāo)函數(shù)的等式約束是一定要滿足的，且在充分的優(yōu)化空間下(即松弛變量均不為0時)其對應(yīng)的對偶變量必為0。在實際優(yōu)化問題中，上述現(xiàn)象占大多數(shù)，對偶變量不為0(松弛變量為0)而通過μ的牽制引導(dǎo)目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)移的現(xiàn)象是少數(shù)。實踐表明，將這些少數(shù)不為0的對偶變量的影響轉(zhuǎn)移反映到主要的優(yōu)化上對計算是有益的。此外，針對無功優(yōu)化問題，在計算中應(yīng)將數(shù)值計算規(guī)律與無功優(yōu)化的特點相結(jié)合，為此，本文在前人研究的基礎(chǔ)上開展對線性修正方程組(3)求解規(guī)律的研究。2求解式的數(shù)值化表達按本文變量的排列順序，修正方程組(3)的系數(shù)矩陣為對稱矩陣，而且除了其右下角5行5列的子塊外，其余非零子塊均為對角陣。這樣，方程組(3)中的變量?z、?s其中：為直觀起見，將方程組(4)中的變量?y分析可以發(fā)現(xiàn)，線性方程組(5)與圍繞變量?y雖然線性修正方程組(5)已經(jīng)反映出無功優(yōu)化決策變量和無功電源輸出功率不等式約束對應(yīng)的乘子關(guān)系，但決策量中變壓器可調(diào)變比和無功電源輸出功率不等式約束乘子的存在使線性修正方程組(5)與電力系統(tǒng)無功優(yōu)化規(guī)律尚未得到最充分的體現(xiàn)，有必要對數(shù)值計算規(guī)律進行再挖掘。在式(7)中，海森矩陣H在線性修正方程組(5)中，Z(X式中：S′為對角矩陣，在對應(yīng)無功電源節(jié)點的位置由原矩陣S的相應(yīng)元素構(gòu)成，其余位置為零；?y在求解式(6)的線性修正方程組時，通常采用文獻將其代入其余4個方程中得到數(shù)矩陣除對角元素外，僅在各可調(diào)變壓器支路對應(yīng)的位置產(chǎn)生非零元素，并未改變海森矩陣和雅可比矩陣的結(jié)構(gòu)，且消去變量b后系數(shù)矩陣仍為對稱陣，因此有很好的數(shù)值規(guī)律，算法容易實現(xiàn)。至此，對于一定的系統(tǒng)來說，方程組(7)的系數(shù)矩陣中各非零元素的位置固定，因此在求解過程中初次迭代記錄下各非零元素的位置后，每次迭代只需對非零元素的數(shù)值進行更新，以提高形成系數(shù)矩陣的速度。此外，方程組(7)中的修正量僅包括各節(jié)點的電壓相角、幅值以及有功、無功平衡方程對應(yīng)的拉格朗日乘子，求解規(guī)模只與系統(tǒng)節(jié)點數(shù)目有關(guān)。因此，該縮減修正方程組可以看成原問題的修正方程組(3)的最小求解結(jié)構(gòu)。實現(xiàn)這一結(jié)構(gòu)有很好的數(shù)值規(guī)律：一是不等式約束的影響(經(jīng)過松弛與對偶變量的消去及無功電源不等式約束與無功平衡方程的合并)轉(zhuǎn)移到等式約束中；二是將變壓器可調(diào)變比的效應(yīng)轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)各節(jié)點電壓相角、幅值及對應(yīng)有功、無功方程的拉格朗日乘子的線性表達。這樣，在求解過程中或收斂時通過上述轉(zhuǎn)移過程的表達可以量化目標(biāo)函數(shù)、等式約束及不等式約束間的制約關(guān)系，是無功優(yōu)化的副產(chǎn)品，為分析研究更深層次的機理問題提供了依據(jù)。此外，該求解結(jié)構(gòu)與牛頓法潮流計算的修正方程類似，因此結(jié)合潮流問題的求解技術(shù)，根據(jù)電力系統(tǒng)物理規(guī)律及運行規(guī)律的特點對該結(jié)構(gòu)做進一步的常數(shù)化和解耦處理等都很方便。在具體算法中，對方程組(7)的系數(shù)矩陣進行分塊。若同一節(jié)點4個變量的排列順序為[?θ,?y式中：k只在可調(diào)變壓器支路兩端節(jié)點的主對角矩陣及該支路對應(yīng)的非對角矩陣處為非零元；s′只在無功電源所在節(jié)點對應(yīng)的主對角矩陣處為非零元。由于在平衡節(jié)點處沒有θ和y上述4×4階分塊矩陣構(gòu)成的系數(shù)矩陣具有與節(jié)點導(dǎo)納矩陣相同的結(jié)構(gòu)，且結(jié)構(gòu)對稱，因此可以直接應(yīng)用電力系統(tǒng)計算中成熟的技術(shù)，特別是在大規(guī)模系統(tǒng)的計算中，可結(jié)合節(jié)點優(yōu)化編號盡可能減少內(nèi)存需求，利用數(shù)值計算規(guī)律，提高計算性能。3計算與分析3.1計算系統(tǒng)采用本文算法對IEEE14、30、118、300節(jié)點系統(tǒng)進行無功優(yōu)化計算。各系統(tǒng)均采用標(biāo)幺值，基準(zhǔn)功率為S3.2變量和約束數(shù)目本文采用最少變量組建立的無功優(yōu)化模型，模型中的變量和約束數(shù)目明顯減少。表2對本文模型與以平衡節(jié)點的有功注入為目標(biāo)、以節(jié)點電壓的幅值和相角、無功電源出力和可調(diào)變壓器變比為變量的常規(guī)模型3.3求解規(guī)模的影響在本文采用的非線性原–對偶內(nèi)點算法中，直接用于求解K-K-T條件的修正方程組的維數(shù)較多，而經(jīng)過一系列簡化處理后得到的最小求解結(jié)構(gòu)的維數(shù)僅與系統(tǒng)的節(jié)點數(shù)有關(guān)，從而使求解規(guī)模大大減小，使算法更適用于大規(guī)模系統(tǒng)的無功優(yōu)化。表3給出了本文算法求解各測試系統(tǒng)時的全修正方程組和最終縮減修正方程組的維數(shù)。3.4聯(lián)合網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化算法用C語言實現(xiàn)，并用VisualC++6.0編譯，計算所用微機為PentiumIV2.4GHz，內(nèi)存256MB。表4分別列出了各系統(tǒng)的優(yōu)化前網(wǎng)損、優(yōu)化后網(wǎng)損、迭代次數(shù)、計算時間和優(yōu)化后電壓達到上限或下限的節(jié)點數(shù)。根據(jù)優(yōu)化前系統(tǒng)初始狀態(tài)的電壓水平，節(jié)點電壓的上下限取0.95～1.05或0.95～1.10，以使優(yōu)化前后的系統(tǒng)網(wǎng)損具有可比性。為與常規(guī)模型的計算進行比較，表4同時給出了本文算法在文獻本文方法已成功應(yīng)用于山東電網(wǎng)AVC主站的無功優(yōu)化中，在實際運行中，基于狀態(tài)估計，每5min執(zhí)行一次，能滿足在線計算要求。4電力系統(tǒng)無功優(yōu)化的結(jié)構(gòu)特點(1）在有功調(diào)度方式給定的前提下，本文在無功優(yōu)化的模型表達上力求最小化，以表征系統(tǒng)潮流的最小狀態(tài)作為變量，減少了模型中變量和約束條件的數(shù)量。(2)K-K-T條件的非線性方程組最終的核心求解結(jié)構(gòu)具有與潮流求解的相似性，利用稀疏技術(shù)使求解更為方便、快