2022年遼寧省大連市經(jīng)貿(mào)高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.“x≥1”是“l(fā)gx≥1”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：B【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【專題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；不等式的解法及應(yīng)用；簡(jiǎn)易邏輯．【分析】lgx≥1，解得x≥10．即可判斷出．【解答】解：lgx≥1，解得x≥10．∴“x≥1”是“l(fā)gx≥1”的必要不充分條件．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了不等式的性質(zhì)、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．2.在△ABC中，若tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，則cosC的值是()參考答案：B略3.為了普及環(huán)保知識(shí)，增強(qiáng)環(huán)保意識(shí)，某大學(xué)隨機(jī)抽取30名學(xué)生參加環(huán)保知識(shí)測(cè)試，得分（十分制）如圖所示，假設(shè)得分的中位數(shù)為me，眾數(shù)為m0，平均值為，則（）A．me=m0= B．me=m0＜ C．me＜m0＜ D．m0＜me＜參考答案：D【考點(diǎn)】眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)．【分析】根據(jù)題意，由統(tǒng)計(jì)圖依次計(jì)算數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)，比較即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，由題目所給的統(tǒng)計(jì)圖可知：30個(gè)得分中，按大小排序，中間的兩個(gè)得分為5、6，故中位數(shù)me=5.5，得分為5的最多，故眾數(shù)m0=5，其平均數(shù)=≈5.97；則有m0＜me＜，故選：D．4.用反證法證明命題：“已知為實(shí)數(shù)，則方程至少有一個(gè)實(shí)根”時(shí)，要做的假設(shè)是（A）方程沒(méi)有實(shí)根（B）方程至多有一個(gè)實(shí)根（C）方程至多有兩個(gè)實(shí)根（D）方程恰好有兩個(gè)實(shí)根參考答案：A5.在的展開(kāi)式中，只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是(

)(A)－7

(B)7

(C)－28

(D)28參考答案：B6.函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，要得到函數(shù)的圖象，只需將的圖象（

）A.向左平移個(gè)單位 B.向右平移個(gè)單位C.向左平移個(gè)單位 D.向右平移個(gè)單位參考答案：A依題意有的周期為.而，故應(yīng)左移.7.如圖，正五邊形ABCDE中，若把頂點(diǎn)A、B、C、D、E染上

紅、黃、綠、三種顏色中的一種，使得相鄰頂點(diǎn)所染顏色不

相同，則不同的染色方法共有

（

）

A．30種

B．27種

C．24種

D．21種

參考答案：答案：A8.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋绻麑?duì)于任意的，存在唯一的，使得

成立（其中為常數(shù)），則稱函數(shù)在上的均值為，現(xiàn)在給出下列4個(gè)函數(shù)：①

②

③

④

，則在其定義域上的均值為2的所有函數(shù)是下面的

（

）A

①②

B

③④

C

①

③④

D

①③參考答案：D略9.哈市某公司有五個(gè)不同部門，現(xiàn)有4名在校大學(xué)生來(lái)該公司實(shí)習(xí)，要求安排到該公司的兩個(gè)部門，且每部門安排兩名，則不同的安排方案種數(shù)為（）A．40 B．60 C．120 D．240參考答案：B【考點(diǎn)】排列、組合的實(shí)際應(yīng)用．【分析】本題是一個(gè)計(jì)數(shù)問(wèn)題，由題意可知，可分兩步完成計(jì)數(shù)，先對(duì)四名大學(xué)生分組，分法有種，然后再排到5個(gè)部門的兩個(gè)部門中，排列方法有A52，計(jì)算此兩數(shù)的乘積即可得到不同的安排方案種數(shù)，再選出正確選項(xiàng)【解答】解：此問(wèn)題可分為兩步求解，第一步將四名大學(xué)生分為兩組，由于分法為2，2，考慮到重復(fù)一半，故分組方案應(yīng)為種，第二步將此兩組大學(xué)生分到5個(gè)部門中的兩個(gè)部門中，不同的安排方式有A52，故不同的安排方案有A52=60種，故選：B．10.為計(jì)算，設(shè)計(jì)了如圖的程序框圖，則在空白框中應(yīng)填入A．i=i+1

B．i=i+2

C．i=i+3

D．i=i+4參考答案：B由得程序框圖先對(duì)奇數(shù)項(xiàng)累加，偶數(shù)項(xiàng)累加，最后再相減.因此在空白框中應(yīng)填入，選B.點(diǎn)睛：算法與流程圖的考查，側(cè)重于對(duì)流程圖循環(huán)結(jié)構(gòu)的考查.先明晰算法及流程圖的相關(guān)概念，包括選擇結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)、偽代碼，其次要重視循環(huán)起點(diǎn)條件、循環(huán)次數(shù)、循環(huán)終止條件，更要通過(guò)循環(huán)規(guī)律，明確流程圖研究的數(shù)學(xué)問(wèn)題，是求和還是求項(xiàng).

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若二項(xiàng)式展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)是7，則=

▲

．參考答案：二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令得，，所以，所以的系數(shù)為，所以。所以。12.已知為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則曲線在處的切線方程式為_(kāi)_____________.參考答案：考點(diǎn)：1、函數(shù)的奇偶性及分段函數(shù)的解析式；2、利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線切線以及數(shù)列的通項(xiàng)問(wèn)題，屬于難題.求曲線切線的一般步驟是：（1）求出在處的導(dǎo)數(shù)，即在點(diǎn)出的切線斜率（當(dāng)曲線在處的切線與軸平行時(shí)，在處導(dǎo)數(shù)不存在，切線方程為）；（2）由點(diǎn)斜式求得切線方程.13.在中，，是邊上一點(diǎn)，，則____________.參考答案：略14.兩個(gè)向量,滿足，，,的夾角為60°，若向量與向量的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

.參考答案：15.已知集合A={3,a2},B={0,b,1-a},且A∩B={1}，則A∪B=

.參考答案：{0,1,2,3}16.已知集合,其中表示和中所有不同值的個(gè)數(shù).（Ⅰ）若集合,則；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，的最小值為_(kāi)___________.參考答案：（Ⅰ）6（Ⅱ）213.17.從某小區(qū)抽取100戶居民進(jìn)行月用電量調(diào)查，發(fā)現(xiàn)其用電量都在50到350度之間，頻率分布直方圖所示。（I）直方圖中的值為

；（II）在這些用戶中，用電量落在區(qū)間內(nèi)的戶數(shù)為

。

第11題圖

參考答案：，【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】頻率分布直方圖三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（14分）如圖，已知橢圓的上頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，直線與圓相切．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）若不過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，且求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．參考答案：解析:（Ⅰ）將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，圓的圓心為,半徑.--------------------1分由,得直線,即,--------------------2分由直線與圓相切,得,或(舍去).-------------------4分

當(dāng)時(shí),,

故橢圓的方程為-------------------5分（Ⅱ）設(shè),直線,代入橢圓的方程并整理得:,

-------6分設(shè)、,則是上述關(guān)于的方程兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，

-------8分

（Ⅱ）(解法一)由知,從而直線與坐標(biāo)軸不垂直,-----------6分由可設(shè)直線的方程為，直線的方程為----------------7分將代入橢圓的方程并整理得:,解得或,因此的坐標(biāo)為,即---------9分將上式中的換成,得.------------------10分直線的方程為------------------11分化簡(jiǎn)得直線的方程為，------------------13分因此直線過(guò)定點(diǎn).------------------14分

(解法二)若直線存在斜率，則可設(shè)直線的方程為：，-------1分代入橢圓的方程并整理得:,

-------6分由與橢圓相交于、兩點(diǎn)，則是上述關(guān)于的方程兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，從而

-------8分由得，整理得：

由知.此時(shí),因此直線過(guò)定點(diǎn).-------12分若直線不存在斜率，則可設(shè)直線的方程為：，將代入橢圓的方程并整理得:,當(dāng)時(shí),,直線與橢圓不相交于兩點(diǎn)，這與直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)產(chǎn)生矛盾!當(dāng)時(shí),直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，是關(guān)于的方程的兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)解，從而但,這與產(chǎn)生矛盾!------13分因此直線過(guò)定點(diǎn).-------14分注：對(duì)直線不存在斜率的情形，可不做證明.19.（本小題滿分12分）如圖，在三棱錐中，側(cè)面與底面垂直,分別是的中點(diǎn),,,.（1）若點(diǎn)在線段上，問(wèn)：無(wú)論在的何處，是否都有？請(qǐng)證明你的結(jié)論；（2）求二面角的平面角的余弦值.參考答案：（1）在中，//,，，平面平面，，平面，平面，

,平面，

平面，，所以無(wú)論在的何處，都有.

…………6分(2)由（1）平面，，又，，平面，，是二面角的平面角，在中，所以二面角的平面角的余弦值為，

…………12分法二：（1）是的中點(diǎn)，，又平面平面，平面，同理可得平面，在平面內(nèi)，過(guò)作以為原點(diǎn)，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，，，…………3分，設(shè)，則，，恒成立，所以無(wú)論在的何處，都有，…………6分（2）由（1）知平面的法向量為=，設(shè)平面的法向量為，則，，即，令，則，，，…………10分，

，所以二面角的平面角的余弦值為，

…………12分20.若函數(shù)，.（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間和極值；（Ⅱ）證明：若存在零點(diǎn)，則在區(qū)間上僅有一個(gè)零點(diǎn).參考答案：（Ⅰ）的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；在處取得極小值；（Ⅱ）證明見(jiàn)解析．

.……1分由解得.與在區(qū)間上的情況如下：所以，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；………………4分在處取得極小值.………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在區(qū)間上的最小值為.因?yàn)榇嬖诹泓c(diǎn)，所以，從而.……8分考點(diǎn)：用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，函數(shù)的零點(diǎn)．【名師點(diǎn)睛】1.導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般流程:求定義域→求導(dǎo)數(shù)f'(x)→求f'(x)=0在定義域內(nèi)的根→用求得的根劃分定義區(qū)間→確定f'(x)在各個(gè)開(kāi)區(qū)間內(nèi)的符號(hào)→得相應(yīng)開(kāi)區(qū)間上的單調(diào)性當(dāng)f(x)不含參數(shù)時(shí),也可通過(guò)解不等式f'(x)>0(或f'(x)<0)直接得到單調(diào)遞增(或遞減)區(qū)間.2．零點(diǎn)存在定理：函數(shù)在上有定義，若，則在上至少有一個(gè)零點(diǎn)．如果函數(shù)在還是單調(diào)的，則零點(diǎn)是唯一的．21.在△中，三邊BC、AC、AB的長(zhǎng)分別為，若，E為邊BC的中點(diǎn).（1）若=1，求BC邊上的中線AE的長(zhǎng)；（2）若△ABC面積為，求的最小值．參考答案：解：（1）由題意知可得，……2分又，且，相加得．……………………6分（2）由條件得即平方相加得，……10分，即當(dāng)時(shí)，的最小值為.……14分（法二）：（1）而，所以

（2）,只要求出的最大即可.做邊的高,則，令，則，當(dāng)時(shí)，.略22.已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=，前n項(xiàng)和為Sn，且滿足2an+1+Sn=3（n∈N*）．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求滿足＜＜的所有n的和．參考答案：考點(diǎn)：數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列；不等式的解法及應(yīng)用．分析：（Ⅰ）在已知的數(shù)列遞推式中取n=n﹣1得另一遞推式，兩式作差后即可得到數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=，公比為的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得答案；（Ⅱ）