湖南省益陽市烏嘴鄉(xiāng)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知實(shí)數(shù)p＞0，直線4x+3y﹣2p=0與拋物線y2=2px和圓（x﹣）2+y2=從上到下的交點(diǎn)依次為A，B，C，D，則的值為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】K8：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】設(shè)A（x1，y1），D（x2，y2），拋物線的焦點(diǎn)為F，由題得|BF|=|CF|=．由拋物線的定義得：|AC|=|AF|+|CF|=+x1+=x1+p，同理得|BD|=x2+p．聯(lián)立直線4x+3y﹣2p=0與拋物線y2=2px且消去x解出y1=，y2=﹣2p，所以x1=，x2=2p，進(jìn)而得到答案．【解答】解：設(shè)A（x1，y1），D（x2，y2），拋物線的焦點(diǎn)為F，由題意得|BF|=|CF|=由拋物線的定義得：|AC|=|AF|+|CF|=+x1+=x1+p，同理得|BD|=x2+p．聯(lián)立直線4x+3y﹣2p=0與拋物線y2=2px且消去x得：2y2+3py﹣2p2=0解得：y1=，y2=﹣2p，所以x1=，x2=2p所以==．故選：C．2.i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)=（A）1-i

（B）-1+I

（C）1+I

（D）-1-i參考答案：C復(fù)數(shù)，選C.

3.設(shè)集合那么下列結(jié)論正確的是

(A)

(B)包含Q

(C)

(D)真包含于P參考答案：答案：D4.歐陽修在《賣油翁》中寫到：（翁）乃取一葫蘆置于地，以錢覆其口，徐以杓酌油瀝之，自錢孔入，而錢不濕，可見賣油翁的技藝讓人嘆為觀止.若銅錢是直徑為3cm的圓，中間是周長為4cm的正方形孔，若隨機(jī)向銅錢上滴一滴油（油滴的大小忽略不計(jì)），則油滴正好落在孔中的概率是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B5.設(shè)ΔABC的三邊長分別為，ΔABC的面積為S，內(nèi)切圓半徑為r，則；類比這個(gè)結(jié)論可知：四面體P－ABC的四個(gè)面的面積分別為S1、S2、S3、S4，內(nèi)切球的半徑為R，四面體P－ABC的體積為V，則（） A． B． C． D．參考答案：C略6.甲、乙兩位同學(xué)約定周日早上8：00﹣8：30在學(xué)校門口見面，已知他們到達(dá)學(xué)校的時(shí)間是隨機(jī)的，則甲要等乙至少10分鐘才能見面的概率為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】幾何概型．【分析】由題意知本題是一個(gè)幾何概型，試驗(yàn)包含的所有事件是Ω={（x，y）|0≤x≤30，0≤y≤30}，做出事件對(duì)應(yīng)的集合表示的面積，寫出滿足條件的事件是A={（x，y）|0≤x≤30，0≤y≤30，y﹣x≥10}，算出事件對(duì)應(yīng)的集合表示的面積，根據(jù)幾何概型概率公式得到結(jié)果．【解答】解：由題意知本題是一個(gè)幾何概型，試驗(yàn)包含的所有事件是Ω={（x，y）|0≤x≤30，0≤y≤30}事件對(duì)應(yīng)的集合表示的面積是s=900，滿足條件的事件是A={（x，y）|0≤x≤30，0≤y≤30，y﹣x≥10}，事件對(duì)應(yīng)的集合表示的面積是=200，根據(jù)幾何概型概率公式得到P=．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題是一個(gè)幾何概型，對(duì)于這樣的問題，一般要通過把試驗(yàn)發(fā)生包含的事件所對(duì)應(yīng)的區(qū)域求出，根據(jù)集合對(duì)應(yīng)的圖形面積，用面積的比值得到結(jié)果．7.如右圖，某幾何體的主（正）視圖與左（側(cè)）視圖都是邊長為1的正方形，且體積為，則該幾何體的俯視圖可以是參考答案：C略8.體積為的球有一個(gè)內(nèi)接正三棱錐P﹣ABC，PQ是球的直徑，∠APQ=60°，則三棱錐P﹣ABC的體積為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】球內(nèi)接多面體．【分析】先確定球的半徑，計(jì)算△ABC的面積，再計(jì)算三棱錐P一ABC的體積．【解答】解：由題意可得球O的半徑為2，如圖，因?yàn)镻Q是球的直徑，所以∠PAQ=90°，∠APQ=60°，可得AP=2，△ABC所在小圓圓心為O′，可由射影定理AP2=PO′?PQ，所以PO′=1，AO′=，因?yàn)镺′為△ABC的中心，所以可求出△ABC的邊長為3，面積為，因此，三棱錐P﹣ABC的體積為V==．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查球的內(nèi)接正三棱錐，考查三棱錐體積的計(jì)算，正確計(jì)算△ABC的面積是關(guān)鍵．9.“”是“函數(shù)f（x）=cosx與函數(shù)g（x）=sin（x+?）的圖象重合”的（）A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件參考答案：A考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷．專題：計(jì)算題．分析：當(dāng)時(shí)，由誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)可得圖象充分；而當(dāng)圖象重合時(shí)可得，k∈Z，由充要條件的定義可得．解答：解：當(dāng)時(shí)，可得函數(shù)g（x）=sin（x+）=cosx，故圖象重合；當(dāng)“函數(shù)f（x）=cosx與函數(shù)g（x）=sin（x+?）的圖象重合”時(shí)，可取，k∈Z即可，故“”是“函數(shù)f（x）=cosx與函數(shù)g（x）=sin（x+?）的圖象重合”的充分不必要條件．故選A點(diǎn)評(píng)：本題考查充要條件的判斷，涉及三角函數(shù)的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．10.下面是某幾何體的視圖，則該幾何體的體積為（

）A．

B．

C.

D．參考答案：B根據(jù)題中所給的幾何體的三視圖，可知其可以由正方體切割而成，最后切割的結(jié)果為底面是完整的，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別是正對(duì)內(nèi)側(cè)的兩條豎直方向的棱中點(diǎn)和端點(diǎn)，在求其體積時(shí)，過底面的對(duì)角線豎直方向切開，切為一個(gè)四棱錐和一個(gè)三棱錐，最后求得體積，故選B.

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問題）成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱之為無字證明.現(xiàn)有如圖所示圖形，點(diǎn)F在半圓O上，點(diǎn)C在直徑AB上，且，設(shè)，，則該圖形可以完成的無字證明為（

）A. B.C. D.參考答案：D令，可得圓的半徑，又，則，再根據(jù)題圖知，即．故本題答案選D．12.設(shè)S為非空數(shù)集，若，都有，則稱S為封閉集.下列命題①實(shí)數(shù)集是封閉集；

②全體虛數(shù)組成的集合是封閉集；③封閉集一定是無限集；

④若S為封閉集，則一定有；⑤若S，T為封閉集，且滿足，則集合U也是封閉集.其中真命題是_________________.參考答案：①④13.設(shè)，則______.參考答案：1分析：首先求得復(fù)數(shù)z，然后求解其模即可.詳解：由復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則有：，則：.點(diǎn)睛：本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，復(fù)數(shù)模的計(jì)算等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.14.對(duì)任意數(shù)列，定義為數(shù)列，如果數(shù)列A使得數(shù)列的所有項(xiàng)都是1，且

▲

．參考答案：10015.正偶數(shù)列有一個(gè)有趣的現(xiàn)象：①2+4=6

②8+10+12=14+16；③18+20+22+24=26+28+30，…按照這樣的規(guī)律，則2016在第個(gè)等式中．參考答案：31考點(diǎn)：歸納推理．專題：推理和證明．分析：從已知等式分析，發(fā)現(xiàn)規(guī)律為：各等式首項(xiàng)分別為2×1，2（1+3），2（1+3+5），…，即可得出結(jié)論解答：解：①2+4=6；

②8+10+12=14+16；③18+20+22+24=26+28+30，…其規(guī)律為：各等式首項(xiàng)分別為2×1，2（1+3），2（1+3+5），…，所以第n個(gè)等式的首項(xiàng)為2[1+3+…+（2n﹣1）]=2n2，當(dāng)n=31時(shí)，等式的首項(xiàng)為1922，所以2016在第31個(gè)等式中故答案為：31．點(diǎn)評(píng)：本題考查歸納推理，考查學(xué)生分析解決問題的能力，解題的關(guān)鍵是確定各等式的首項(xiàng)16.如圖，在邊長為（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的正方形中隨機(jī)撒一粒黃豆，則他落到陰影部分的概率為______.參考答案：17.若函數(shù)為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)a=．參考答案：【分析】利用奇函數(shù)過坐標(biāo)原點(diǎn)得到關(guān)于實(shí)數(shù)a的方程，解方程即可求得最終結(jié)果．【解答】解：函數(shù)為奇函數(shù)，則f（0）=0，即：，解得：．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查奇函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用等，重點(diǎn)考查學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)概念的理解和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.過雙曲線的右支上的一點(diǎn)P作一直線l與兩漸近線交于A、B兩點(diǎn)，其中P是AB的中點(diǎn)；（1）求雙曲線的漸近線方程；（2）當(dāng)P坐標(biāo)為（x0，2）時(shí)，求直線l的方程；（3）求證：|OA|?|OB|是一個(gè)定值．參考答案：【考點(diǎn)】直線與雙曲線的位置關(guān)系；雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】（1）求出雙曲線的a，b，由雙曲線的漸近線方程為y=±x，即可得到所求；（2）令y=2代入雙曲線的方程可得P的坐標(biāo)，再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，設(shè)A（m，2m），B（n，﹣2n），可得A，B的坐標(biāo)，運(yùn)用點(diǎn)斜式方程，即可得到所求直線方程；（3）設(shè)P（x0，y0），A（m，2m），B（n，﹣2n），代入雙曲線的方程，運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求得m，n，運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式，即可得到定值．【解答】解：（1）雙曲線的a=1，b=2，可得雙曲線的漸近線方程為y=±x，即為y=±2x；（2）令y=2可得x02=1+=2，解得x0=，（負(fù)的舍去），設(shè)A（m，2m），B（n，﹣2n），由P為AB的中點(diǎn)，可得m+n=2，2m﹣2n=4，解得m=+1，n=﹣1，即有A（+1，2+2），可得PA的斜率為k==2，則直線l的方程為y﹣2=2（x﹣），即為y=2x﹣2；（3）證明：設(shè)P（x0，y0），即有x02﹣=1，設(shè)A（m，2m），B（n，﹣2n），由P為AB的中點(diǎn)，可得m+n=2x0，2m﹣2n=2y0，解得m=x0+y0，n=x0﹣y0，則|OA|?|OB|=|m|?|n|=5|mn|=5|（x0+y0）（x0﹣y0）|=5|x02﹣|=5為定值．19.如圖，四棱錐的底面是正方形，側(cè)棱⊥底面，，是的中點(diǎn)．

（I）證明：//平面；

（II）求二面角的平面角的余弦值；

（Ⅲ）在棱上是否存在點(diǎn)，使⊥平面？證明你的結(jié)論．參考答案：解：法一：（I）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，設(shè)是平面BDE的一個(gè)法向量，則由

，得取，得． ∵，

（II）由（Ⅰ）知是平面BDE的一個(gè)法向量，又是平面的一個(gè)法向量．

設(shè)二面角的平面角為，由圖可知∴．故二面角的余弦值為． （Ⅲ）∵∴假設(shè)棱上存在點(diǎn)，使⊥平面，設(shè)，則，由得∴ 即在棱上存在點(diǎn)，，使得⊥平面．法二：（I）連接，交于，連接．在中，為中位線，,//平面．（II）⊥底面,平面⊥底面，為交線,⊥平面⊥平面，為交線,=，是的中點(diǎn)⊥⊥平面，⊥即為二面角的平面角．設(shè)，在中,故二面角的余弦值為．（Ⅲ）由（II）可知⊥平面，所以⊥，所以在平面內(nèi)過作⊥，連EF，則⊥平面．在中,，，，．所以在棱上存在點(diǎn)，，使得⊥平面 ．略20.（本小題滿分12分）如圖，已知在側(cè)棱垂直于底面的三棱柱中，,且，點(diǎn)是中點(diǎn)．(1)求證：平面⊥平面；(2)若直線與平面所成角的正弦值為，求三棱錐的體積．參考答案：(1)證明（略）………………6分(2)由（1）可知，所以AC1與平面A1ABB1所成的角為,在，由,

=………………12分21.已知數(shù)列滿足，且

（1）求數(shù)列的前三項(xiàng)

（2）是否存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，求出的值，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；若不存在，說明理由。參考答案：22.（本