高中數(shù)學(xué)二面角求法及經(jīng)典題型歸納立體幾何二面角求法一、知識準(zhǔn)備1.二面角的概念：二面角是由一條直線和兩個半平面組成的圖形，這條直線稱為二面角的棱，兩個半平面稱為二面角的面。2.二面角的平面角的概念：二面角的平面角是指在二面角的棱上取一點，分別在兩個半平面內(nèi)做垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角。3.二面角的大小范圍：二面角的大小范圍是[0°，180°]。4.三垂線定理：如果一條直線和一個平面的一條斜線的射影垂直，那么它就和這條斜線垂直。5.平面的法向量：直線L垂直平面α，取直線L的方向向量，則這個方向向量稱為平面α的法向量。一個平面的法向量有無數(shù)個，它們是共線向量。6.二面角的求法：二面角的平面角可以用以下三種方法求解：(1)定義法：在棱上取一點，在兩個半平面內(nèi)作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所夾的角。(2)垂面法：做垂直于棱的一個平面，這個平面與兩個半平面分別有一條交線，這兩條交線所成的角。(3)三垂線法：過一個半平面內(nèi)一點做另一個半平面的一條垂線，過這個垂足再做棱的垂線，連接垂足，則所得角度即為該二面角的平面角。7.兩個平面的法向量的夾角與這兩個平面所成的二面角的平面角有一定的關(guān)系。二、二面角的基本求法及練習(xí)1.定義法：在二面角的棱上取一點，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角度即為二面角的平面角。可以通過添加輔助線和應(yīng)用三角函數(shù)、正弦定理和余弦定理來解決問題。例如，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，可以從二面角S-AMB中半平面ABM上的一個已知點B向棱AM作垂線，得到垂足F；在另一個半平面ASM內(nèi)過該垂足F作棱AM的垂線GF，這兩條垂線BF和GF便形成該二面角的一個平面角。然后在該平面角內(nèi)建立一個可解三角形，通過直角三角函數(shù)、正弦定理和余弦定理求解。2.垂面法和三垂線法也可以用來求解二面角的平面角。例如，在正方形ABCD-A1B1C1D1中，如果E為CC1的中點，則可以求截面A1BD和EBD所成二面角的度數(shù)。：利用向量的點積和向量模長的關(guān)系，可以求出二面角的余弦值，從而求出二面角的大小。例如：已知二面角的兩個面的法向量a和b，二面角的余弦值為cosθ，則二面角的大小為θ=arccos(cosθ)=arccos(a·b/|a||b|)。例1．如圖13，已知正四面體ABCD，點E在BC邊上，且BE＝2BC，求平面AED與平面ABC所成的二面角的大小。例2．如圖14，已知正方體ABCD-A1B1C1D1，點E在棱AA1上，且AE＝3AA1，求平面EBC與平面ABCD所成的二面角的余弦值。例3．如圖15，已知正六棱柱ABCDEF，AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝AF＝a，點G在棱AD上，AG＝2AD，求平面GBF與平面ACE所成的二面角的大小。向量法是一種傳統(tǒng)且簡捷的解立體幾何題的方法。使用向量法解題時，需要建立空間直角坐標(biāo)系，并寫出各點的坐標(biāo)。然后將幾何圖中的線段表示為向量，進行向量計算求解。例如，求解二面角可以歸結(jié)為求兩個向量的夾角問題。對于空間向量a、b，可以使用公式cos＜a，b＞=a·b/|a|·|b|來計算。利用這一結(jié)論，我們可以較方便地處理立體幾何中的二面角問題。例如，在四棱錐V-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD，求面VAD與面VDB所成的二面角的余弦值。我們可以建立空間直角坐標(biāo)系，并設(shè)正方形邊長為1。根據(jù)題意，得到AB=(0,1,0)是面VAD的法向量。設(shè)n=(1,y,z)是面VDB的法向量，則n·VB=0，n=(1,-1,-3)。因此，cos＜AB，n＞=-21/7。由題意可知，面VAD與面VDB所成的二面角為銳角，因此其余弦值為正。另外一個例子是直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=1，CB=2，側(cè)棱AA1=1，側(cè)面AAB1B的兩條對角線交點為D，B1C1的中點為M。我們需要證明CD⊥平面BDM，并求解面B1BD與面CBD所成二面角的余弦值。最后一個例子是在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點，作EF⊥PB交PB于點F。我們需要求解二面角C—PB—D的