Review復習1PreliminariesTheProgramforSolvingEngineeringProblemEngineeringProblem

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Numericalanalysis

Numericalanalysisisthestudyofalgorithmsfortheproblemsofcontinuousmathematics----LloydN.Trefethen“計算數(shù)學”就是研究在計算機上解決數(shù)學問題的理論和數(shù)值方法。

數(shù)值計算方法是一門根據(jù)計算機特點，研究通過計算機求工程問題滿足精度要求的近似解的學科。TheWayofNumericalMethodsDispersing

(離散化)

只計算定義域上有限個變量的值，而不是所有函數(shù)變量的值

Approach(逼近)

用簡單函數(shù)y(x)近似替代函數(shù)f(x),但誤差E(x)=f(x)-y(x)要滿足精度要求。Deducebydegrees(遞推)

遞推是將一個復雜的計算過程轉(zhuǎn)化為簡單過程的多次重復的數(shù)學方法。TheAbsoluteError&.RelativeErrorTheAbsoluteError:Ep=|p-p’|

絕對誤差TheRelativeError:Rp

=|p-p’|/|p|相對誤差SignificantDigits（有效數(shù)字）|p-p’|/|p|<10-d/2Thenumberp’issaidtoapproximateptodsignificantdigitsifdisthelargestpositiveinteger1、選用數(shù)值穩(wěn)定性好的算法2、相近兩數(shù)避免相減3、絕對值相對太小的數(shù)不宜作除數(shù)4、警惕大數(shù)吃小數(shù)5、簡化計算方法，盡量減少過程誤差LossofSignificance(精度損失）2TheSolutionofNonlinearEquationsf(x)=0Themethods(1)Findtheareafortheroot(2)Approach2.1IterationforSolvingx=g(x)迭代法迭代函數(shù)迭代序列迭代收斂Theorem2.1

convergencedivergenceTheorem2.2Theorem2.3

P:AttractivefixedPointP:RepellingfixedPoint2.2BracketingMethodsforLocatingaRoot所謂二分法，是使用對分區(qū)間的方法，保留有根區(qū)間，舍去無根區(qū)間，并且如此不斷地對分下去，以逐步逼近方程根的方程求解方法y=f(x)xy0x*baf(a)f(b)x1=(a+b)/2f((a+b)/2)=f(x1)xkTheBisectionMethodofBolzanoTheorem2.4BisectionTheoremConvergenceoftheFalsePositionMethody=f(x)xy0x*baf(a)f(b)xk2.3Newton-RaphsonandSecantMethods

(牛頓迭代法和弦割法)是否可以將它轉(zhuǎn)換成線性方程進行求解？如何轉(zhuǎn)化？TheGeometricConstructionforNewton-RaphsonCorollary2.2(Newton’sIterationforfindingSquareRoots)(求平方根的牛頓迭代法）牛頓迭代法的收斂性判斷定理3證明=？TheConvergenceofNewton-RaphsonIterationTheDivision-by-ZeroError0Definition2.4(OrderofaRoot)SpeedofConvergenceDefinition2.5(OrderofConvergence)Theorem2.6(ConvergenceRateforNewtonRaphsonIteration)TheSecantMethodsExample2.16(SecantMethodataSimpleRoot)AcceleratedConvergenceComparisonoftheSpeedofConvergence3TheSolutionofLinearSystemsAX=B主要內(nèi)容高斯消去法三角分解法追趕法平方根法

雅可比迭代法高斯—賽德爾迭代法向量與矩陣范數(shù)譜半徑定義迭代法收斂判斷===平方根法的解法=步驟雅可比迭代法高斯—賽德爾迭代法§4向量與矩陣范數(shù)常用向量范數(shù)矩陣范數(shù)常見矩陣范數(shù)舉例譜半徑定義迭代法收斂判斷收斂條件雅可比迭代法高斯—賽德爾迭代法超松弛迭代法收斂收斂收斂收斂A陣為對角占優(yōu)矩陣收斂收斂A陣為對稱正定矩陣收斂當時收斂A陣為正定矩陣的充分必要條件是A陣的順序主子式大于零。基于MATLAB的線性方程組矩陣除法矩陣除法舉例a=[-0.0022210.7812503.9965.56254]b=[0.41.38167.4178]’X=a\bx=1.9273-0.69850.9004矩陣除法舉例a=[-0.0022210.7812503.9965.56254]b=[0.41.38167.4178]’X=a\bx=1.9273-0.69850.9004平方根法a=[42-2;22-3;-2-314]L=chol(a)L=21-101-2003MATLAB實現(xiàn)：Jacobi.mfunctiony=jacobi(a,b,x0)D=diag(diag(a));U=-triu(a,1);L=-tril(a,-1);B=D\(L+U);f=D\b;y=B*x0+f;n=1;whilenorm(y-x0)>=1.0e-6x0=y;y=B*x0+f;n=n+1;endyn10*x1-x2=9-x1+10*x2-2*x3=7-x2+10*x3=6>>a=[10-10;-110-2;0-210];>>b=[9;7;6];>>jacobi(a,b,[0;0;0])y=0.99580.95790.7916n=11ans=0.99580.95790.7916MATLAB實現(xiàn)：Jacobi.mfunctiony=jacobi(a,b,x0)D=diag(diag(a));U=-triu(a,1);L=-tril(a,-1);B=D\(L+U);f=D\b;y=B*x0+f;n=1;whilenorm(y-x0)>=1.0e-6x0=y;y=B*x0+f;n=n+1;endyn10*x1-x2=9-x1+10*x2-2*x3=7-x2+10*x3=6>>a=[10-10;-110-2;0-210];>>b=[9;7;6];>>jacobi(a,b,[0;0;0])y=0.99580.95790.7916n=11ans=0.99580.95790.7916seidel.mfunctiony=seidel(a,b,x0)D=diag(diag(a));U=-triu(a,1);L=-tril(a,-1);G=(D-L)\U;f=(D-L)\b;y=G*x0+f;n=1;whilenorm(y-x0)>=1.0e-6x0=y;y=G*x0+f;n=n+1;endyn10*x1-x2=9-x1+10*x2-2*x3=7-x2+10*x3=6>>a=[10-10;-110-2;0-210];>>b=[9;7;6];>>seidel(a,b,[0;0;0])y=0.99580.95790.7916n=7ans=0.99580.95790.79164InterpolationandPolynomialApproximation插值法Interpolation插值概念與基礎(chǔ)理論Introduction插值多項式的求法插值概念與基礎(chǔ)理論概念在工程實踐和科學實驗中，常常需要從一組實驗觀測數(shù)據(jù)揭示自變量x與因變量y之間的關(guān)系，一般可以用一個近似的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝f(x)來表示．如何確定插值多項式？

插值余項對t求導，k(x)看成常數(shù)4.3LagrangeApproximation當n=1時稱線性插值當n=2時拋物線插值MATALAB實現(xiàn)Lagrange插值%lagrangeinsertfunctiony=lagrange(x0,y0,x)n=length(x0);m=length(x);fori=1:mz=x(i)s=0.0fork=1:np=1.0;forj=1:nifj~=kp=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));endends=p*y0(k)+s;endy(i)=s;endx=[0.4:0.1:0.8];y=[-0.916291-0.693147-0.510826-0.356675-0.223144];lagrange(x,y,0.54)ans=-0.61612．2差商與牛頓基本括值多項式

前面構(gòu)造的拉格朗日插值多項式，其形式具有對稱性，既便于記憶，又便于應(yīng)用與編制程序．但是，由于公式中的都依賴于全部插值節(jié)點，在增加或減少節(jié)點時，必須全部重新計算．為克服這個缺點，插值多項式可以如何構(gòu)造？這種形式的插值多項式稱為n次牛頓插值多項式NewtonPolynomials利用MATALAB進行插值計算一維插值分段線性插值分段拋物插值分段低次插值分段低次插值Runge現(xiàn)象產(chǎn)生x=[-5:1:5];y=1./(1+x.^2);x0=[-5:0.1:5];y0=lagrange(x,y,x0);y1=1./(1+x0.^2);plot(x,y)plot(x0,y0,'--r')分段線性插值分段拋物插值3.1分段線性插值與分段拋物插值MATALAB實現(xiàn)Lagrange插值%lagrangeinsertfunctiony=lagrange(x0,y0,x)n=length(x0);m=length(x);fori=1:mz=x(i)s=0.0fork=1:np=1.0;forj=1:nifj~=kp=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));endends=p*y0(k)+s;endy(i)=s;endx=[0.4:0.1:0.8];y=[-0.916291-0.693147-0.510826-0.356675-0.223144];lagrange(x,y,0.54)ans=-0.6161利用MATALAB進行插值計算一維插值利用MATLAB軟件進行插值高維插值氣旋變化情況可視化5CurveFitting曲線擬合的基本概念5.1Least-squaresLine最小二乘擬合曲線實驗數(shù)據(jù)帶有誤差實驗數(shù)據(jù)很多最小二乘法問題提法:在曲線擬合時，如果所選擇的擬合函數(shù)在所有數(shù)據(jù)點處的偏差的平方和最小，則稱這種擬合方法為最小二乘法。Theorem定理5.1(Least-squaresLine)ThePowerFity=AxMy=AxM5.2CurveFittingDataLinearizationMethodfory=CeAxNonlinearLeast-squaresMethodfory=CeAxInterpolationbySplineFunction分段低次插值Runge現(xiàn)象產(chǎn)生x=[-5:1:5];y=1./(1+x.^2);x0=[-5:0.1:5];y0=lagrange(x,y,x0);y1=1./(1+x0.^2);plot(x,y)plot(x0,y0,'--r')分段線性插值分段拋物插值3.1分段線性插值與分段拋物插值三次樣條插值

三次樣條插值函數(shù)求法邊界條件：三次樣條插值函數(shù)簡化計算方法由確定兩個積分常數(shù)6NumericalDifferentiation6.1導數(shù)的近似值6.1.2中心差分公式6.1.4Richardson外推法6.2數(shù)值差分6.2.1更多的中心差分公式6.2.2誤差分析利用插值多項式構(gòu)造微分公式6.2.3拉格朗日多項式微分6.2.3牛頓多項式微分6.2.4利用三次樣條插值函數(shù)構(gòu)造微分公式RelatedExampleExample6.2(P315);Exercises4(P325);AlgrorithmsandPrograms2(P328);Example6.5(P332);Exercises3,8(P339,340);AlgrorithmsandPrograms1(P341);7NumericalIntegration構(gòu)造數(shù)值積分公式的基本方法與有關(guān)概念7.1IntroductiontoQuadrature數(shù)值積分余項E(Pi)=Ri[f]數(shù)值積分公式的精度例題Thetrapezoidalrulen=1Simpson’srule(n=2)Simpson’s3/8rulen=3Boole’srulen=4牛頓科茨公式余項梯形公式余項：辛普森公式余項：科茨公式余項：代數(shù)精度？當積分區(qū)間比較大時，精度？7.2CompositeTrapezoidalandSimpson’sRuleab=CompositeTrapezoidalRule=abCompositeSimpsonRuleabCompositeBool’sRuleab復合牛頓科茨公式余項復合梯形公式余項復合辛普森公式余項復合布爾公式余項例題7.3RecursiveRulesandRombergIntegrationRecursiveTrapezoidalRuleabRombergIntegration數(shù)值積分在MATLAB中的應(yīng)用quad采用遞推自適應(yīng)Simpson法計算積分;精度較高，較常用quadl采用遞推自適應(yīng)Lobatto法計算積分;精度高，最常用trapz

采用梯形法計算積分;速度快，精度差cumtrapz

采用梯形法計算一個區(qū)間上的積分曲線;速度快，精度差Fnint

利用樣條函數(shù)求不定積分；與spline、ppval配合使用；主要對付“表格”函數(shù)的積分【例題】（1）符號解析法symsx;IS=int('exp(-x*x)','x',0,1)vpa(IS)

IS=1/2*erf(1)*pi^(1/2)ans=.74682413281242702539946743613185（2）MATLAB指令quad和quadl求積fun=inline('exp(-x.*x)','x');Isim=quad(fun,0,1),IL=quadl(fun,0,1)Isim=0.7468IL=0.7468

（3）10參數(shù)Gauss法Ig=gauss10(fun,0,1)