§2-3夫瑯禾費(fèi)衍射

Fraunhoferdiffraction單縫和圓孔光源和觀察點(diǎn)（或二者之一）到孔隙或障礙物的距離為有限遠(yuǎn)的衍射稱為菲涅爾衍射或近場(chǎng)衍射.二者均為無限遠(yuǎn)的衍射稱為夫瑯禾費(fèi)衍射或遠(yuǎn)場(chǎng)衍射。菲涅爾衍射夫瑯禾費(fèi)衍射夫瑯禾費(fèi)衍射一、單縫的夫瑯禾費(fèi)衍射1.單縫夫瑯禾費(fèi)衍射實(shí)驗(yàn)裝置單縫處波面看作無窮多個(gè)相干波源P點(diǎn)是(無窮)多光束干涉的結(jié)果2.單縫夫瑯禾費(fèi)衍射實(shí)驗(yàn)光路圖中央亮紋負(fù)一級(jí)正一級(jí)5

特征二：縫b越小，條紋越寬（即衍射越厲害）單縫衍射花樣的主要特征：?jiǎn)慰p衍射花樣照片特征一：中央有一特別明亮的亮紋，兩側(cè)有一些強(qiáng)度較小的亮紋，中央亮紋寬度是其他亮紋寬度的兩倍；其他亮紋的寬度相同；亮度逐級(jí)下降.特征三：波長

越大，條紋越寬。如何解釋這些實(shí)驗(yàn)規(guī)律？屏幕屏幕方法一、菲涅耳半波帶法相鄰半波帶發(fā)出的光到達(dá)P點(diǎn)的光程差均是

/2，在P點(diǎn)會(huì)聚時(shí)將相互抵消。P點(diǎn)是明紋還是暗紋取決于半波帶數(shù)目（衍射角：向上為正，向下為負(fù)）衍射角b若可將縫分為偶數(shù)個(gè)“半波帶”bλ/2BAθθc暗紋若可將縫分為奇數(shù)個(gè)“半波帶”明紋若不能將單縫分成整數(shù)個(gè)“半波帶”P點(diǎn)光強(qiáng)介于最明與最暗之間。方法一、菲涅耳半波帶法結(jié)論：分成偶數(shù)半波帶為暗紋。分成奇數(shù)半波帶為明紋。正、負(fù)號(hào)表示衍射條紋對(duì)稱分布于中央明紋的兩側(cè)對(duì)于任意衍射角，單縫不能分成整數(shù)個(gè)半波帶，在屏幕上光強(qiáng)介于最明與最暗之間。方法一、菲涅耳半波帶法中央明條紋的角寬度為中央兩側(cè)第一暗條紋之間的區(qū)域:

/b-(

/b)2(

/b)-2(

/b)sin

0.0470.0171I/I00相對(duì)光強(qiáng)曲線0.0470.017λΔxI0x1x2衍射屏透鏡觀測(cè)屏Δx

f

半角寬明紋寬度令k=1方法一、菲涅耳半波帶法中央明紋角寬度：線寬度——衍射反比定律λΔxI0x1x2衍射屏透鏡觀測(cè)屏Δx

f

中央明紋寬度最寬，約為其它各級(jí)明紋寬度的兩倍方法一、菲涅耳半波帶法由上至下，縫寬由窄變寬。增大b方法一、菲涅耳半波帶法∴幾何光學(xué)是波動(dòng)光學(xué)在

/b

0時(shí)的極限情形只顯出單一的明條紋

單縫的幾何光學(xué)像當(dāng)時(shí)，陰影屏幕屏幕方法一、菲涅耳半波帶法13

（縫寬）

S：?jiǎn)紊€光源

：衍射角p

·

δ

S

f

f

b透鏡L1

透鏡L2

B’

縫平面觀察屏P0

B

*

一、實(shí)驗(yàn)裝置及結(jié)果

方法二：菲涅耳積分不同的衍射角θ對(duì)應(yīng)屏上不同的觀察點(diǎn)P。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果：在接收屏上出現(xiàn)明暗相間的衍射花樣。14

方法二、強(qiáng)度的計(jì)算用惠－費(fèi)原理計(jì)算光強(qiáng)分布：

平行光入射

1、B’B上次波的振動(dòng)方程將B’B分成一組平行于縫長的窄帶，設(shè)整個(gè)狹縫在θ=0

方向上的總振幅

B’B處振動(dòng)的初位相某一窄帶寬度dx振幅：dx振動(dòng)：各窄帶發(fā)出次波的振動(dòng)方程∴入射光波面//狹縫15

2、BD上次波的振動(dòng)方程作任選M點(diǎn)，設(shè)則

BN面上各次波到

P點(diǎn)的光程相同B和M到P的光程差為

N

點(diǎn)振動(dòng)：··方法二、強(qiáng)度的計(jì)算xP點(diǎn)振幅簡(jiǎn)化：不考慮傾斜因子

不考慮振幅與光程的反比關(guān)系

16

3、狹縫上所有次波在P的疊加積分過程見（附錄2－1）當(dāng)λ、b、A0確定時(shí)，Ap僅與θ有關(guān)。決定P點(diǎn)合振幅的位相，與光強(qiáng)分布無關(guān)令P點(diǎn)光強(qiáng)隨θ的分布17

三、強(qiáng)度公式的討論1、最大最小位置：令（1）

（2）分別解（1）和（2）式，可得出所有極值點(diǎn)▲

中央最大位置：

中央主最大位置，與P0點(diǎn)對(duì)應(yīng)為方程（1）的一個(gè)解由

由極大18

▲最小位置：

為方程（1）的另一組解由

極小位置，與衍射方向θk對(duì)應(yīng)?！巫畲笪恢茫?/p>

用圖解法解超越方程(2)

，作直線和正切曲線的交點(diǎn)即為方程(2)的解，如下圖：19

y1

=tgu

u

0

2

-

-2

y0·

解得:相應(yīng):

y2=u

-2.46

·

-1.43

·

+1.43

·

·

+2.46

20

次最大位置與衍射方向θk0對(duì)應(yīng)前幾個(gè)次最大的位置次最大序號(hào)1

234次最大位置相對(duì)強(qiáng)度21

2、強(qiáng)度分布曲線將I次最大

<<I主最大

依次帶入光強(qiáng)公式，得到從中央往外各次極大的光強(qiáng)依次為：

0.0472I0

、0.0165I0

、

0.0083I0

…

sin

0.047

0.017

1

I/I0

0相對(duì)光強(qiáng)曲線

0.047

0.017

特征：中央最大的光強(qiáng)最大，第一級(jí)次最大光強(qiáng)僅為中央最大光強(qiáng)的5%，其他次最大的光強(qiáng)隨k的增加而迅速減小。22

∵

L2十分靠近狹縫

∴

f

為狹縫到屏的距離

且θ很小（滿足近軸條件）由第一級(jí)極小滿足的條件角寬度半角寬▲中央明紋寬度線寬度衍射反比定律IP0

y1

y2

L2

f

1

四、單縫衍射花樣的特點(diǎn)23

▲兩側(cè)明紋寬度（相鄰兩暗紋之間的距離）由暗紋條件特征一：各級(jí)暗紋和明紋等間距，中央明紋寬度為其它明紋寬度的兩倍I0y1

y2

L2

f

1

各級(jí)暗紋位置相鄰兩暗紋角寬度兩側(cè)明紋寬度

24

3λ/b2λ/b-λ/b-2λ/b-3λ/bλ/b明紋暗紋的圖示中央亮紋的半角寬

1

f

y中

特征二：縫b越小，條紋越寬（即衍射越厲害）特征三：波長

越大，條紋越寬。25

▲白光入射時(shí)中央明紋為白色，其兩側(cè)各級(jí)都為彩色條紋。該衍射圖樣稱為衍射光譜。

▲縫寬變化對(duì)條紋的影響只存在中央明紋，屏幕是一片亮。I0sin

只顯出單一的明條紋

單縫的幾何光學(xué)像

∴幾何光學(xué)是波動(dòng)光學(xué)在b>>

時(shí)的極限情形。

內(nèi)紫外紅26

前面的實(shí)驗(yàn)規(guī)律得到了解釋：

屏幕屏幕sin

/b

0

-

/b

-2

/b

-3

/b

2

/b

3

/b

特征一：

中央有一特別明亮的亮紋，兩側(cè)有一些強(qiáng)度較小的亮紋，中央亮紋寬度是其他亮紋寬度的兩倍；

其他亮紋的寬度相同；亮度逐級(jí)下降特征三：波長

越大，條紋越寬。特征二：縫b越小，條紋越寬（即衍射越厲害）例1、波長

=632.8nm的平行光垂直照射在0.0209mm單縫上?？p后緊挨著的薄透鏡焦距f=50cm，求：(1)中央明條紋到第一暗紋的角距離；

(2)中央亮紋的線寬度；例2、一束波長為

=500nm的平行光垂直照射在一個(gè)單縫上。如果所用的單縫的寬度b=0.5mm，縫后緊挨著的薄透鏡焦距f=1m，求：(a)中央明條紋的角寬度；(b)中央亮紋的線寬度；(c)

第一級(jí)與第二級(jí)暗紋的距離；(a)(b)(c)第一級(jí)與第二級(jí)暗紋的距離即為第一級(jí)明紋的線寬度解：例3：?jiǎn)慰p衍射，縫寬a=0.5mm，透鏡焦距f=50cm，以白光垂直入射，觀察到屏上x=1.5mm明紋中心求：該處光波的波長又因?yàn)榻猓?）由單縫衍射明紋條件得處波長為在可見光范圍內(nèi)，滿足上式的光波：可允許在屏上x=1.5mm處的明紋為波長600nm的第二級(jí)衍射和波長為420nm的第三級(jí)衍射

平行光通過圓孔經(jīng)透鏡會(huì)聚，照射在焦平面上的屏幕上，也會(huì)形成衍射圖樣。1.夫瑯禾費(fèi)圓孔衍射

因?yàn)榇蠖鄶?shù)光學(xué)儀器所用透鏡的邊緣都是圓形，圓孔的夫瑯和費(fèi)衍射對(duì)成象質(zhì)量有直接影響?！?-4夫瑯和費(fèi)園孔衍射夫瑯和費(fèi)圓孔衍射花樣：

特征一：由中央亮斑和明暗相間的同心圓環(huán)組成特征二：中央亮斑特別明亮（衍射光能的）如何解釋這些實(shí)驗(yàn)規(guī)律？一、實(shí)驗(yàn)裝置二、衍射花樣明暗相間的同心園環(huán)且中心為很亮的亮斑。光強(qiáng)公式：接收屏障礙物光源半徑RθP花樣特點(diǎn):35

I0=1時(shí)的光強(qiáng)分布曲線P點(diǎn)的相對(duì)光強(qiáng)分布D、光強(qiáng)分布曲線光強(qiáng)二維分布圖0.6101.116艾里斑

集中了約84%的衍射光能。36

夫瑯和費(fèi)圓孔衍射圖樣中央是一很亮的圓斑,集中了衍射光能量的83.8%,

通常稱為艾里斑.因?yàn)榉颥樅藤M(fèi)圓孔衍射的光強(qiáng)分布，首先由英國天文學(xué)家艾里（S.G.Airy,1801-1892)導(dǎo)出的。它的中心是點(diǎn)光源的幾何光學(xué)像。約瑟夫·馮·夫瑯和費(fèi)1787－1826S.G.艾里,1801-1892愛里斑中央明紋區(qū)域愛里斑直徑第一級(jí)暗紋極小值。第一暗環(huán)對(duì)應(yīng)的衍射角(式中為圓孔的直徑，為透鏡的焦距。)愛里斑對(duì)透鏡中心的張角為：愛里斑的半徑為：愛里斑的半角寬例：在圓孔的夫瑯和費(fèi)衍射中，設(shè)圓孔半徑R1=0.1mm透鏡L2的焦距f=50cm，所用單色光波長，試求：在接收屏上愛里斑的半徑；若圓孔半徑改用R2=1.0mm，其它條件不變，愛里斑半徑變?yōu)槎啻?？接收屏障礙物光源愛里斑圓孔解：因?yàn)樗裕?9

眼睛的瞳孔，望遠(yuǎn)鏡,顯微鏡,照相機(jī)等常用的光學(xué)儀器的物鏡，在成象過程中都是衍射孔。幾何光學(xué):

物點(diǎn)

象點(diǎn)物(物點(diǎn)集合)

象(象點(diǎn)集合)(經(jīng)透鏡)

波動(dòng)光學(xué)

:物點(diǎn)

象斑物(物點(diǎn)集合)

象(象斑集合)(經(jīng)透鏡

)

透鏡成象清楚不清楚，要考慮物鏡衍射的因素?？梢?，愛里斑是點(diǎn)光源通過衍射孔產(chǎn)生。點(diǎn)光源可看作一個(gè)物點(diǎn)，愛里斑是物點(diǎn)通過圓孔產(chǎn)生的像。一個(gè)物點(diǎn)通過衍射孔所成的像不是一個(gè)點(diǎn)，而是一個(gè)愛里斑。只有，才近似認(rèn)為物點(diǎn)像點(diǎn)。光的衍射限制了光學(xué)儀器的分辨本領(lǐng)物像S1S2D**愛里斑2、光學(xué)儀器的分辨本領(lǐng)點(diǎn)光源經(jīng)過光學(xué)儀器的小圓孔后，由于衍射的影響，所成的象不是一個(gè)點(diǎn)而是一個(gè)明暗相間的圓形光斑。若兩物點(diǎn)距離很近，對(duì)應(yīng)的兩個(gè)愛里斑可能部分重疊而不易分辨能分辨不能分辨瑞利判據(jù)：如果一個(gè)點(diǎn)光源的衍射圖象的中央最亮處剛好與另一個(gè)點(diǎn)光源的衍射圖象第一個(gè)最暗處相重合，認(rèn)為這兩個(gè)點(diǎn)光源恰好能為這一光學(xué)儀器所分辨。恰能分辨43

兩個(gè)物點(diǎn)的象就是這兩個(gè)衍射班的非相干疊加。如果兩個(gè)衍射斑之間的距離過近，這兩個(gè)物點(diǎn)的兩個(gè)象斑就不能分辨，象也就不清晰了。愛里斑的大小由衍射的規(guī)律決定：由于衍射的存在，一個(gè)物點(diǎn)的象不再是一個(gè)點(diǎn)，而是一個(gè)衍射斑(主要是愛里班)。設(shè)愛里斑的半角寬為

1

44

衍射限制了透鏡的分辨能力的示意圖。45

=

1

ID

**S1

S2

0定義：儀器的分辨本領(lǐng)假設(shè)按瑞利判據(jù)的最小分辨角為

愛里斑的半角寬為

1

它就是兩個(gè)衍射斑的角距離，也就是等于愛里斑的半角寬：46

D小D大如人眼的瞳孔基本為圓孔，直徑d一般在1~8mm之間調(diào)節(jié)，取D~2.5mm，對(duì)λ=550nm的光，愛里斑角半徑這是人眼的最小分辨角。1

AB

y25cm在明視距離25cm處，能分辨兩點(diǎn)的最小距離即人眼可以分辨每毫米15條線。49

例1.（姚書P124。例2.2）如圖，經(jīng)準(zhǔn)直的光束垂直投射到一光屏上，屏上開有兩個(gè)直徑均為d，中心間距為D的圓孔，且滿足D

>

d，試分析夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣。

解：

圓孔的衍射圖樣只取決于圓孔的直徑，而與圓孔的位置是否偏離透鏡主軸無關(guān)。

50

根據(jù)幾何光學(xué)的知識(shí)，凡是平行于主