2021年內(nèi)蒙古赤峰二中高考數(shù)學(xué)三模試卷（理科）一、選擇題（共12小題，每小題5分，共60分．）1．已知集合Q＝{x|2x2﹣7x≤0，x∈N}，且P?Q，則滿足條件的集合P的個數(shù)是（）A．8 B．9 C．15 D．162．復(fù)數(shù)z＝4﹣5i（其中i為虛數(shù)單位），則|z+2i|＝（）A． B．5 C．7 D．253．已知sinα＝2sin（α+），則cos2α＝（）A．﹣ B． C． D．4．十六世紀(jì)中葉，英國數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書中首先把“＝”作為等號使用，后來英國數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用“＜”和“＞”符號，并逐漸被數(shù)學(xué)界接受，不等號的引入對不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn)．若a＞b＞0，則下列結(jié)論錯誤的是（）A． B．log2（a﹣b）＞0 C． D．3a＞3b5．如圖是某個閉合電路的一部分，每個元件出現(xiàn)故障的概率為，則從A到B這部分電源能通電的概率為（）A． B． C． D．6．動圓的圓心在拋物線y2＝8x上，且動圓恒與直線x+2＝0相切，則動圓必經(jīng)過定點（）A．（4，0） B．（2，0） C．（0，2） D．（0，﹣2）7．若直角坐標(biāo)平面內(nèi)A、B兩點滿足①點A、B都在函數(shù)f（x）的圖象上；②點A、B關(guān)于原點對稱，則點（A，B）是函數(shù)f（x）的一個“姊妹點對”．點對（A，B）與（B，A）可看作是同一個“姊妹點對”，已知函數(shù)f（x）＝，則f（x）的“姊妹點對”有（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個8．運用祖暅原理計算球的體積時，夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意一個平面所截，若截面面積都相等，則這兩個幾何體的體積相等．構(gòu)造一個底面半徑和高都與球的半徑相等的圓柱，與半球（如圖1）放置在同一平面上，然后在圓柱內(nèi)挖去一個以圓柱下底面圓心為頂點，圓柱上底面為底面的圓錐后得到一新幾何體（如圖2），用任何一個平行于底面的平面去截它們時，可證得所截得的兩個截面面積相等，由此可證明新幾何體與半球體積相等，現(xiàn)將橢圓+＝1繞y軸旋轉(zhuǎn)一周后得一橄欖狀的幾何體（如圖3），類比上述方法，運用祖暅原理可求得其體積等于（）A．64π B．148π C．128π D．32π9．如圖，在一個凸四邊形ABCD內(nèi)，順次連接四邊形各邊中點E，F(xiàn)，G，H而成的四邊形是一個平行四邊形，這樣的平行四邊形被稱為瓦里尼翁平行四邊形．如圖，現(xiàn)有一個面積為12的凸四邊形ABCD，設(shè)其對應(yīng)的瓦里尼翁平行四邊形為A1B1C1D1，記其面積為a1，四邊形為A1B1C1D1對應(yīng)的瓦里尼翁平行四邊形為A2B2C2D2，記其面積為a2，…，依此類推，則由此得到的第四個瓦里尼翁平行四邊形A4B4C4D4的面積為（）A．1 B． C． D．不確定10．已知函數(shù)f（x）＝cos（2x+φ）（|φ|＜），F(xiàn)（x）＝f（x）+f′（x）為奇函數(shù)，則下述四個結(jié)論中說法正確的是（）A．tanφ＝ B．f（x）在[﹣a，a]上存在零點，則a的最小值為 C．F（x）在（，π）上單調(diào)遞增 D．f（x）在（0，）有且僅有一個極大值點11．下列說法中，正確的有（）個．①各個面都是三角形的幾何體是三棱錐；②過球面上任意兩點只能作球的一個大圓；③三棱錐的四個面都可以是直角三角形；④梯形的直觀圖可以是平行四邊形．A．1 B．2 C．3 D．412．銳角△ABC的三邊分別為a，b，c，a＝2bcosB，則的取值范圍是（）A．[1，3） B． C． D．[1，2）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)y＝f（x）的圖象在點M（2，f（2））處的切線方程是y＝2x﹣8，則＝．14．如圖，雙曲線C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F2作線段F2P與C交于點Q，且Q為PF2的中點．若等腰△PF1F2的底邊PF2的長等于C的半焦距，則C的離心率為．15．如圖，在正方形ABCD中，E為AB的中點，P為以A為圓心、AB為半徑的圓弧上的任意一點，設(shè)向量，則λ+μ的最小值為．16．黎曼函數(shù)是一個特殊的函數(shù)，由德國著名的數(shù)學(xué)家波恩哈德?黎曼發(fā)現(xiàn)提出，在高等數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，其定義為：R（x）＝，若函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意x都有f（2﹣x）+f（x）＝0，當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）＝R（x），則f（ln2）﹣f（）＝．三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟，第17-21題為必考題，每個考生都必須作答，第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17．已知數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列，a1＝3，a1?a4＝a22．（1）求{an}的通項公式及an的前n項和Sn的通項公式；（2）bn＝，求數(shù)列{bn}的通項公式，并判斷bn與的大?。?8．松山區(qū)教研室某課題組對“加強‘語文閱讀理解’訓(xùn)練對提高‘?dāng)?shù)學(xué)應(yīng)用題’得分率作用”這一課題進(jìn)行專項研究．為此對松山區(qū)某中學(xué)高二甲、乙兩個同類班級進(jìn)行“加強‘語文閱讀理解’訓(xùn)練對提高‘?dāng)?shù)學(xué)應(yīng)用題’得分率作用”的試驗，其中甲班為試驗班（加強語文閱讀理解訓(xùn)練），乙班為對比班（常規(guī)教學(xué)，無額外訓(xùn)練），在試驗前的測試中，甲、乙兩班學(xué)生在數(shù)學(xué)應(yīng)用題上的得分率基本一致，試驗結(jié)束后，統(tǒng)計幾次數(shù)學(xué)應(yīng)用題測試的平均成績（均取整數(shù)）如表所示：60分以下61～7071～8081～9091～100甲班（人數(shù)）36111812乙班（人數(shù)）48131510現(xiàn)規(guī)定平均成績在80分以上（不含80分）的為優(yōu)秀．（Ⅰ）試分別估計兩個班級的優(yōu)秀率；（Ⅱ）由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面2×2列聯(lián)表，并問是否有75%的把握認(rèn)為“加強‘語文閱讀理解’訓(xùn)練對提高‘?dāng)?shù)學(xué)應(yīng)用題’得分率”有幫助？優(yōu)秀人數(shù)非優(yōu)秀人數(shù)合計甲班乙班合計參考公式及數(shù)據(jù)：K2＝，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）k019．如圖，設(shè)四棱錐S﹣ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD＝2a，AD＝a，點E是SD上的點，且DE＝λa（0＜λ≤2）．（1）求證：對任意的λ∈（0，2]，都有AC⊥BE；（2）設(shè)二面角C﹣AE﹣D的大小為θ，直線BE與平面ABCD所成的角為φ，若cosθ＝sinφ，求λ的值．20．已知橢圓+＝1（a＞b＞0）的左焦點F在直線3x﹣y+3＝0上，且a+b＝2+．（1）求橢圓的方程；（2）直線l與橢圓交于A、C兩點，線段AC的中點為M，射線MO與橢圓交于點P，點O為△PAC的重心，探求△PAC面積S是否為定值，若是，則求出這個值；若不是，則求S的取值范圍．21．已知函數(shù)f（x）＝2xlnx﹣ax2﹣2x+a2（a＞0）在其定義域內(nèi)有兩個不同的極值點．（Ⅰ）求a的取值范圍；（Ⅱ）設(shè)f（x）兩個極值點分別為x1，x2，證明：＞e．(二）選考題：共10分，請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分。[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22．直角坐標(biāo)系xoy中，已知直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以原點O為極點，x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2cos2θ＝1．直線l與曲線C交于A，B兩點．（1）求|AB|的長；（2）若P點的極坐標(biāo)為（1，），求AB中點M到P的距離．[選修4-5：不等式選講]（本小題滿分0分）23．設(shè)函數(shù)f（x）＝|x﹣2|+2x﹣3，記f（x）≤﹣1的解集為M．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）當(dāng)x∈M時，證明：x[f（x）]2﹣x2f（x）≤0．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合Q＝{x|2x2﹣7x≤0，x∈N}，且P?Q，則滿足條件的集合P的個數(shù)是（）A．8 B．9 C．15 D．16解：Q＝{x|2x2﹣7x≤0，x∈N}＝{x|0}，所以Q＝{0，1，2，3}，又P?Q，則滿足題意的集合P的個數(shù)為24＝16，故選：D．2．復(fù)數(shù)z＝4﹣5i（其中i為虛數(shù)單位），則|z+2i|＝（）A． B．5 C．7 D．25解：∵z＝4﹣5i，∴z+2i＝4﹣3i，∴|z+2i|＝＝5，故選：B．3．已知sinα＝2sin（α+），則cos2α＝（）A．﹣ B． C． D．解：因為sinα＝2sin（α+）＝﹣2cosα，所以tanα＝﹣2，所以cos2α＝＝＝＝﹣．故選：A．4．十六世紀(jì)中葉，英國數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書中首先把“＝”作為等號使用，后來英國數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用“＜”和“＞”符號，并逐漸被數(shù)學(xué)界接受，不等號的引入對不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn)．若a＞b＞0，則下列結(jié)論錯誤的是（）A． B．log2（a﹣b）＞0 C． D．3a＞3b解：令a＝2，b＝1，得選項B錯誤，故選：B．5．如圖是某個閉合電路的一部分，每個元件出現(xiàn)故障的概率為，則從A到B這部分電源能通電的概率為（）A． B． C． D．解：如下圖：從A到B這部分電源不能通電的概率為：p′＝[1﹣（1﹣）2]×[1﹣（1﹣）（1﹣）]＝，∴從A到B這部分電源能通電的概率為：P＝1﹣P′＝．故選：A．6．動圓的圓心在拋物線y2＝8x上，且動圓恒與直線x+2＝0相切，則動圓必經(jīng)過定點（）A．（4，0） B．（2，0） C．（0，2） D．（0，﹣2）解：由拋物線y2＝8x，得到準(zhǔn)線方程為x+2＝0，焦點坐標(biāo)為（2，0），∵動圓的圓心在拋物線y2＝8x上，且動圓恒與直線x+2＝0相切，∴動圓必經(jīng)過定點（2，0）．故選：B．7．若直角坐標(biāo)平面內(nèi)A、B兩點滿足①點A、B都在函數(shù)f（x）的圖象上；②點A、B關(guān)于原點對稱，則點（A，B）是函數(shù)f（x）的一個“姊妹點對”．點對（A，B）與（B，A）可看作是同一個“姊妹點對”，已知函數(shù)f（x）＝，則f（x）的“姊妹點對”有（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個解：根據(jù)題意可知，“姊妹點對”滿足兩點：都在函數(shù)圖象上，且關(guān)于坐標(biāo)原點對稱．可作出函數(shù)y＝x2+2x（x＜0）的圖象關(guān)于原點對稱的圖象，看它與函數(shù)y＝（x≥0）交點個數(shù)即可．如圖所示：當(dāng)x＝1時，0＜＜1觀察圖象可得：它們有2個交點．故選：C．8．運用祖暅原理計算球的體積時，夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意一個平面所截，若截面面積都相等，則這兩個幾何體的體積相等．構(gòu)造一個底面半徑和高都與球的半徑相等的圓柱，與半球（如圖1）放置在同一平面上，然后在圓柱內(nèi)挖去一個以圓柱下底面圓心為頂點，圓柱上底面為底面的圓錐后得到一新幾何體（如圖2），用任何一個平行于底面的平面去截它們時，可證得所截得的兩個截面面積相等，由此可證明新幾何體與半球體積相等，現(xiàn)將橢圓+＝1繞y軸旋轉(zhuǎn)一周后得一橄欖狀的幾何體（如圖3），類比上述方法，運用祖暅原理可求得其體積等于（）A．64π B．148π C．128π D．32π解：先構(gòu)造一個底面半徑為r＝4，高為h＝12的圓柱，再在圓柱內(nèi)挖去一個等底等高的圓錐，剩余幾何體的體積為V＝πr2?h＝π?42?12＝128π．故選：C．9．如圖，在一個凸四邊形ABCD內(nèi)，順次連接四邊形各邊中點E，F(xiàn)，G，H而成的四邊形是一個平行四邊形，這樣的平行四邊形被稱為瓦里尼翁平行四邊形．如圖，現(xiàn)有一個面積為12的凸四邊形ABCD，設(shè)其對應(yīng)的瓦里尼翁平行四邊形為A1B1C1D1，記其面積為a1，四邊形為A1B1C1D1對應(yīng)的瓦里尼翁平行四邊形為A2B2C2D2，記其面積為a2，…，依此類推，則由此得到的第四個瓦里尼翁平行四邊形A4B4C4D4的面積為（）A．1 B． C． D．不確定解：如圖，連接BD，∵EF為△ABD的中位線，∴△AEF∽△ABD，且相似比為，∴S△AEF＝S△ABD，同理S△CGH＝S△CBD，∴S△AEF+S△CGH＝S四邊形ABCD，同理S△BGF＝S△ABC，S△DEH＝S△ACD，∴S△BGF+S△DEH＝S四邊形ABCD，∴S△AEF+S△CGH+S△BGF+S△DEH＝S四邊形ABCD，即S四邊形EFGH＝S四邊形ABCD，∴任意凸四邊形對應(yīng)的瓦力尼翁平行四邊形的面積為原四邊形面積的一半，從而a1＝6a2＝3，a3＝，a4＝．故選：C．10．已知函數(shù)f（x）＝cos（2x+φ）（|φ|＜），F(xiàn)（x）＝f（x）+f′（x）為奇函數(shù)，則下述四個結(jié)論中說法正確的是（）A．tanφ＝ B．f（x）在[﹣a，a]上存在零點，則a的最小值為 C．F（x）在（，π）上單調(diào)遞增 D．f（x）在（0，）有且僅有一個極大值點解：函數(shù)f（x）＝cos（2x+φ）（|φ|＜），所以F（x）＝f（x）+f′（x），＝cos（2x+φ）φ），＝，＝2cos（2x+φ+），由于函數(shù)為奇函數(shù)，所以f（0）＝0，cos（φ+）＝0，由于|φ|＜，故φ＝，故tan＝，故A錯誤；令f（x）＝cos（2x+）＝0，所以x＝（k∈Z），若f（x）在[﹣a，a]上存在零點，則a的最小值為，故B正確；函數(shù)F（x）＝2cos（2x+）＝﹣2sin2x，當(dāng)x時，2x，所以函數(shù)F（x）不單調(diào)，故C錯誤；對于D：所以f，當(dāng)x時，f′（x）＜0，當(dāng)x時，f′（x）＞0，所以函數(shù)f（x）＝cos（2x+），在x∈（0，）時，，函數(shù)在（0，）上只有極小值，沒有極大值，故D錯誤．故選：B．11．下列說法中，正確的有（）個．①各個面都是三角形的幾何體是三棱錐；②過球面上任意兩點只能作球的一個大圓；③三棱錐的四個面都可以是直角三角形；④梯形的直觀圖可以是平行四邊形．A．1 B．2 C．3 D．4解：考查所給的各個說法：①兩個同底的三棱錐構(gòu)成的六面體各個面都是三角形，不是三棱錐，故錯誤，②過球面上任意兩點與球心共線時，可以作球的無數(shù)個大圓，故錯誤，③一條側(cè)棱垂直于底面直角三角形的一個銳角頂點的三棱錐，滿足題意，故正確，④因為平行于x軸的線段長度不變，平行于y軸的線段長度減半，故梯形的直觀圖不可以是平行四邊形，綜上可得，正確的說法有一個，故選：A．12．銳角△ABC的三邊分別為a，b，c，a＝2bcosB，則的取值范圍是（）A．[1，3） B． C． D．[1，2）解：由a＝2bcosB，得sinA＝2sinBcosB＝sin2B．因為△ABC是銳角三角形，所以當(dāng)A＝2B時，，得：．所以．當(dāng)A+2B＝π時，B＝C，得，故選：D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)y＝f（x）的圖象在點M（2，f（2））處的切線方程是y＝2x﹣8，則＝﹣2．解：由題意，f′（2）＝2，又f（2）＝2×2﹣8＝﹣4，∴＝．故答案為：﹣2．14．如圖，雙曲線C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F2作線段F2P與C交于點Q，且Q為PF2的中點．若等腰△PF1F2的底邊PF2的長等于C的半焦距，則C的離心率為．解：連結(jié)QF1，由條件知QF1⊥PF2，且|QF2|＝．由雙曲線定義知|QF1|＝2a+，在Rt△F1QF2中，（2a+）2+（）2＝（2c）2，即8a2+4ac﹣7c2＝0，即8+4e﹣7e2＝0解得C的離心率e＝，故答案為：．15．如圖，在正方形ABCD中，E為AB的中點，P為以A為圓心、AB為半徑的圓弧上的任意一點，設(shè)向量，則λ+μ的最小值為．解：以A為原點，以AB所在的為x軸，建立坐標(biāo)系，設(shè)正方形ABCD的邊長為1，則E（，0），C（1，1），D（0，1），A（0，0），B（1，0）．設(shè)P（cosθ，sinθ），∴＝（1，1）．再由向量＝λ（，﹣1）+μ（cosθ，sinθ）＝（，﹣λ+μsinθ）＝（1，1），∴，∴，∴λ+μ＝＝＝﹣1+．由題意得0≤θ≤，∴0≤cosθ≤1，0≤sinθ≤1．求得（λ+μ）′＝＝＞0，故λ+μ在[0，]上是增函數(shù)，故當(dāng)θ＝0時，即cosθ＝1，這時λ+μ取最小值為＝，故答案為：．16．黎曼函數(shù)是一個特殊的函數(shù)，由德國著名的數(shù)學(xué)家波恩哈德?黎曼發(fā)現(xiàn)提出，在高等數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，其定義為：R（x）＝，若函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意x都有f（2﹣x）+f（x）＝0，當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）＝R（x），則f（ln2）﹣f（）＝﹣．解：∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意x都有f（2﹣x）+f（x）＝0，∴f（2﹣x）＝f（﹣x），∴f（x+2）＝f（x），即f（x）的周期為2，∵當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）＝R（x），故f（ln2）﹣f（）＝f（ln2）﹣f（）＝0﹣＝﹣．故答案為：﹣．三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟，第17-21題為必考題，每個考生都必須作答，第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17．已知數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列，a1＝3，a1?a4＝a22．（1）求{an}的通項公式及an的前n項和Sn的通項公式；（2）bn＝，求數(shù)列{bn}的通項公式，并判斷bn與的大?。猓海?）設(shè)a1＝a，公差為d，則a（a+3d）＝（a+d）2，解得d＝a＝3，所以an＝3n，．（2），從而＝＝﹣，故．18．松山區(qū)教研室某課題組對“加強‘語文閱讀理解’訓(xùn)練對提高‘?dāng)?shù)學(xué)應(yīng)用題’得分率作用”這一課題進(jìn)行專項研究．為此對松山區(qū)某中學(xué)高二甲、乙兩個同類班級進(jìn)行“加強‘語文閱讀理解’訓(xùn)練對提高‘?dāng)?shù)學(xué)應(yīng)用題’得分率作用”的試驗，其中甲班為試驗班（加強語文閱讀理解訓(xùn)練），乙班為對比班（常規(guī)教學(xué)，無額外訓(xùn)練），在試驗前的測試中，甲、乙兩班學(xué)生在數(shù)學(xué)應(yīng)用題上的得分率基本一致，試驗結(jié)束后，統(tǒng)計幾次數(shù)學(xué)應(yīng)用題測試的平均成績（均取整數(shù)）如表所示：60分以下61～7071～8081～9091～100甲班（人數(shù)）36111812乙班（人數(shù)）48131510現(xiàn)規(guī)定平均成績在80分以上（不含80分）的為優(yōu)秀．（Ⅰ）試分別估計兩個班級的優(yōu)秀率；（Ⅱ）由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面2×2列聯(lián)表，并問是否有75%的把握認(rèn)為“加強‘語文閱讀理解’訓(xùn)練對提高‘?dāng)?shù)學(xué)應(yīng)用題’得分率”有幫助？優(yōu)秀人數(shù)非優(yōu)秀人數(shù)合計甲班乙班合計參考公式及數(shù)據(jù)：K2＝，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）k0解：（Ⅰ）由題意可得：甲乙兩班的人數(shù)均為50人，甲班優(yōu)秀人數(shù)為30人，優(yōu)秀率為：＝60%；乙班優(yōu)秀人數(shù)為25人，優(yōu)秀率為：＝50%；（Ⅱ）由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面2×2列聯(lián)表，優(yōu)秀人數(shù)非優(yōu)秀人數(shù)合計甲班302050乙班252550合計5545100K2＝＝≈1.010＜1.323．故沒有75%的把握認(rèn)為“加強‘語文閱讀理解’訓(xùn)練對提高‘?dāng)?shù)學(xué)應(yīng)用題’得分率”有幫助．19．如圖，設(shè)四棱錐S﹣ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD＝2a，AD＝a，點E是SD上的點，且DE＝λa（0＜λ≤2）．（1）求證：對任意的λ∈（0，2]，都有AC⊥BE；（2）設(shè)二面角C﹣AE﹣D的大小為θ，直線BE與平面ABCD所成的角為φ，若cosθ＝sinφ，求λ的值．【解答】（1）證明：連接BE、BD，由底面ABCD是正方形可得AC⊥BD．∵SD⊥平面ABCD，∴BD是BE在平面ABCD上的射影，∴AC⊥BE（2）解：由SD⊥平面ABCD知，∠DBE＝φ，∵SD⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴SD⊥CD．又底面ABCD是正方形，∴CD⊥AD，而SD∩AD＝D，CD⊥平面SAD．連接AE、CE，過點D在平面SAD內(nèi)作DF⊥AE于F，連接CF，則CF⊥AE，故∠CFD是二面角C﹣AE﹣D的平面角，即∠CFD＝θ．在Rt△BDE中，∵BD＝2a，DE＝λa，∴tanφ＝＝在Rt△ADE中，∵AD＝a，DE＝λa∴AE＝a從而DF＝＝在Rt△CDF中，tanθ＝＝．由sinφ＝cosθ?θ+φ＝?tanθ?tanφ＝1，得?＝1即＝2，所以λ2＝2．由0＜λ≤2，解得λ＝，即為所求．20．已知橢圓+＝1（a＞b＞0）的左焦點F在直線3x﹣y+3＝0上，且a+b＝2+．（1）求橢圓的方程；（2）直線l與橢圓交于A、C兩點，線段AC的中點為M，射線MO與橢圓交于點P，點O為△PAC的重心，探求△PAC面積S是否為定值，若是，則求出這個值；若不是，則求S的取值范圍．解：（1）∵直線3x﹣y+3＝0與x軸的交點為（﹣，0），∴c＝，得到方程組，解得，∴橢圓的方程為：；（2）若直線l的斜率不存在，則S＝＝，若直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y＝kx+m，聯(lián)立方程，消去y得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣4＝0，設(shè)A（x1，y1），C（x2，y2），則，，y1+y2＝k（x1+x2）+2m＝，由題意點O為△PAC的重心，設(shè)P（x0，y0），則，，∴，，把點P坐標(biāo)代入橢圓得：，化簡得：，設(shè)坐標(biāo)原點O到直線l的距離為d，則△PAC的面積S＝＝＝＝＝＝＝，綜上所述，△PAC面積S為定值．21．已知函數(shù)f（x）＝2xlnx﹣ax2﹣2x+a2（a＞0）在其定義域內(nèi)有兩個不同的極值點．（Ⅰ）求a的取值范圍；（Ⅱ）設(shè)f（x）兩個極值點分別為x1，x2，證明：＞e．解：（Ⅰ）由題意得f（x）的定義域是（0，+∞），f（x）＝2xlnx﹣ax2﹣2x+a2（a＞0），則f′（x）＝2lnx+2﹣2ax﹣2，令f′（x）＝0，得lnx﹣ax＝0，問題轉(zhuǎn)化為方程lnx﹣ax＝0在（0，+∞）上有2個異根，令g（x）＝lnx﹣ax，問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)g（x）有2個不同的零點，而g′（x）＝﹣a＝（x＞0），∵a＞0，當(dāng)0＜x＜時，g′（x）＞0，當(dāng)x＞時，g′（x）＜0，故g（x）在（