中學幾何研究第五章

2023/8/191中學幾何研究第五章2023/8/512023/8/192

第五章

平面幾何問題的證明

第一節(jié)

證題的一般思路

證題的一般思路:試誤式思路與頓誤式思路

試誤式思路:

認真審題，分清條件和結(jié)論，挖掘所涉及的一些概念的內(nèi)涵，利用豐富的聯(lián)想和化歸的思想，把要解決的問題歸結(jié)為已熟悉的其他證法的類型。如果用困難，就嘗試對問題的條件或結(jié)論作某些變更，轉(zhuǎn)化為某一種類型。如果轉(zhuǎn)化過程中碰到障礙，缺乏某些因素，就嘗試引入輔助量或作出輔助線、圖來進行溝通，糾正嘗試中的錯誤，最后獲得原問題的證明。2023/8/52第五章平面幾何問題的證2023/8/193

直接式:由命題的題設(shè)出發(fā)，根據(jù)定義、公理、定理進行一系列正面的邏輯推理，最后得出命題的證明。又有“綜合法”和“分析法”之分.

間接式:

有些命題，往往不易甚至不能直接證明。這時，不妨證明它的等效命題，間接地達到目的。這種證題思路稱為間接式。反證法、同一法就是兩種典型的間接式思路證題方法。

反證法又分歸謬法和窮舉法;

同一法。

試誤式思路又常分為直接式和間接式。2023/8/53直接式:由命題的題設(shè)出發(fā)，根據(jù)定義2023/8/194

就是證題時，一下子不能馬上行找到他的證明思路，但當通過有選擇地帶著形象識別的眼光反復地分析他，通過動員和組織、分離和整合題目中已知的信息，辨認和聯(lián)想題目中的各種因素時，則可以在經(jīng)過一系列的“腦風暴”之后，在某一其他因素或者其他問題的激發(fā)下，或運用直覺想象，突然在腦子中形成一個念頭或閃現(xiàn)出對證題的提示，從而頓時獲得簡捷而優(yōu)美的證題思路。

見P75例1.

頓誤式思路2023/8/54就是證題時，一下子不能馬上2023/8/195

1,面積與面積法證題

張景中院士指出,抓住面積，不但能把平面幾何課程變得更容易學，而且使得幾何問題求解變得更有趣味。

在求解平面幾何問題的時候，

根據(jù)有關(guān)幾何量與涉及的有關(guān)圖形面積之間的內(nèi)在聯(lián)系，用面積或者面積比表示有關(guān)幾何量或其比，從而把要論證的幾何量之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為有關(guān)面積之間的關(guān)系，并通過圖形面積的等積變換對所論問題來進行求解的方法，稱之為面積法。

第二節(jié)

面積法與面積坐標

常用公式見P84-85頁.證明P85例1和例2.2023/8/551,面積與面積法證題2023/8/196

3.面積坐標

如果引入帶正負號的面積（規(guī)定圖形的邊界走向是逆時針方向則面積為正，走向是順時針方向則面積為負）就可以引入面積坐標了。

在平面上任意取一個定向三角形△A1A2A3，稱為“坐標三角形”。A1，A2,A3稱為基點。

2.消點思想與消點法證題(見第十章)對平面上任意一點M，就有了三個三角形的帶號面積：S1=S△MA2A3,S2=S△MA3A1,S3=S△MA1A2.

2023/8/563.面積坐標如果引入帶2023/8/197S1,S2,S3稱為點M的三個”

坐標分量”，且滿足

S1+S2+S3=S△A1A2A3。

如果給出三者之比S1:S2:S3=μ1:μ2:μ3，且μ1=Si/(S1+S2+S3)(i=1,2,3)，則稱(μ1:μ2:μ3)為M=(S1,S2,S3)的齊次面積坐標。

通常（μ1:μ2:μ3)）稱為M的重心坐標。

當S1+S2+S3=S=1時，面積坐標也就是規(guī)范重心坐標。

把三元數(shù)組（S1,S2,S3）稱為（以△A1A2A3為坐標三角形時）點M的“面積坐標”，記為M=(S1,S2,S3)2023/8/57S1,S2,S3稱為點M的三個2023/8/198

從而可以用（S1,S2）來表示點M，

或用（S1/S,S2/S）稱為在坐標系（A3,A3A1,A3A2）之下M的仿射坐標，而A3稱為這個仿射坐標的原點。

如果︱A3A1︱=︱A3A2︱=1，且∠A1A3A2=90o，則這個仿射坐標系（A3,A3A1,A3A2）叫做笛卡兒坐標系，也就是指常用的直角坐標系。

由于知道了M(S1,S2,S3)的兩個坐標分量(S1,S2)，就可以確定M,2023/8/58從而可以用（S1,S2）來表示點M，2023/8/199

1,向量法與向量法證題

把向量作為工具來研究與求解有關(guān)數(shù)學問題的方法稱之為向量方法。

向量法的特點是形數(shù)結(jié)合、運算有法可循，因此向量法既有綜合法的靈巧，又有坐標法的方便，能把綜合法與坐標法有機地結(jié)合在一起。

第三節(jié)

向量法與復數(shù)法

2023/8/591,向量法與向量法證題2023/8/1910

見P90

用向量法證明第一節(jié)中的例1是很簡捷的.2023/8/510見P90用向2023/8/1911

請講解P94例4

2,復數(shù)法與復數(shù)法證題2023/8/511請講解P94例42023/8/19121,關(guān)于線段,角的相等(常見方法10種,P96)2,關(guān)于平行與垂直(常見方法7+7種,P97-98)3,關(guān)于點共線與線共點(常見方法7+60種,P99)

第四節(jié)

幾類問題的證明方法

4,關(guān)于點共圓與圓共點(常見方法7+3種,P100)2023/8/5121,關(guān)于線段,角的相等2023/8/1913

1,幾何軌跡

具有某種性質(zhì)的點的集合稱為具有這種性質(zhì)的點

的軌跡。

軌跡與幾何圖形都是點集。但是，圖形是知其形（形狀）而不知其性（構(gòu)造規(guī)律和性質(zhì)），軌跡是知其性而不知其形。

第五節(jié)

幾何軌跡與尺規(guī)作圖

研究軌跡問題，就是要探求適合一定條件的點的集合形成什么樣的圖形，使得形和性得到完美統(tǒng)一。2023/8/5131,幾何軌跡2023/8/19141,命題結(jié)論中明確說明了軌跡圖形的形狀、位置

和大小。2,命題結(jié)論中只說出了軌跡圖形的形狀，但位置

和大小或者缺少，或者敘述不全。

3.命題結(jié)論中只說求適合某條件的軌跡，對軌跡圖形的形狀、位置和大小沒有直接提供任何信息

軌跡問題的三種類型：2023/8/5141,命題結(jié)論中明確說明了軌2023/8/1915

第二類軌跡題，

結(jié)論中只給出了軌跡圖形的形狀，但位置和大小或者缺少，或者敘述不全,需要進一步探求。完全確定軌跡的位置、大小應是首先要進行的工作。

整個求解過程包括：寫已知和求證，探求、證明完備性與純粹性，討論等步驟。

第一類軌跡題，是結(jié)論中明確指明了軌跡圖形的形狀、位置和大小的問題，只要給予證明即可。

求解步驟為：寫出已知和求證，證明完備性與純粹性，作出結(jié)論。2023/8/515第二類軌跡題，結(jié)論2023/8/1916

求解步驟與第二類軌跡題相同。題，

軌跡的探求，一般由解析法和綜合法。在綜合法中、常常采用描跡法、幾何變換法、條件代換法等法。

第三類軌跡題，是以問題形勢呈現(xiàn)。題中沒有敘述軌跡的形狀、位置和大小。這些都需要探求、有時探求還是比較艱難的。雖然如此，但一經(jīng)確定軌跡的之后，往往證明方法就附帶解決了。2023/8/516求解步驟與第二類軌跡題相同2023/8/1917

傳統(tǒng)的幾何作圖中，尺規(guī)作圖是指用沒有刻度的直尺和圓規(guī)兩件工具，利用有限次步驟作出符合預先約定條件的圖形，有時也叫歐幾里得作圖。1.立方倍積問題:求作一立方體,使它的體積兩倍于

一已知立方體的體積.2.三等分角問題:求作一任意角的三等分角.3.化圓為方問題:求作一正方形,使它的面積等于一

已知圓的面積.

幾何作圖三大難題

2,尺規(guī)作圖2023/8/517傳統(tǒng)的幾何作圖中，尺規(guī)作圖

尺規(guī)作圖公法

根據(jù)尺規(guī)的功能,規(guī)定如下作圖公法:

1.過兩已知點可作一條直線.2.已知圓心和半徑可作一個圓.

3.已知兩直線相交,可求其交點.4.已知一直線與一圓周相交,可求其交點.5.已知兩圓周相交,可求其交點.2023/8/1918

尺規(guī)作圖公法

根據(jù)尺2023/8/19191.二等分已知線段.

尺規(guī)作圖的范圍2.二等分已知角.3.已知直線l和l外一點p,過p作直線垂直于l.4.任意給定自然數(shù)n,作已知線段的n倍,以及n等分已知線段.

從中學幾何知,利用直尺和圓規(guī)可以:2023/8/5191.二等分已知線段.2023/8/1920作圖成法，課本P104頁給出了22種。作圖題的分類：定位作圖，活位作圖。解作圖題的一般步驟：1，寫出已知與求作，2，進行分析，3，寫出作法，4，證明，并進行討論。2023/8/520作圖成法，課本P104頁給出了22種。作2023/8/1921

常用的作圖方法：

交軌法，三角形奠基法，變換法，代數(shù)法

等。

變換法又分變位法，位似法，反演法等。

交軌法：利用軌跡的交點來解作圖題的方法。

三角形奠基法：用某個三角形為基礎(chǔ)的作圖

方法。

代數(shù)法：借助于代數(shù)運算來解作圖題圖的方

法。2023/8/521常用的作圖方法：2023/8/1922變位法：把圖形中某些元素施行適當?shù)暮贤?/p>

換，然后借助于各元素的新舊位置關(guān)

系發(fā)現(xiàn)作圖的方法。位似法：利用位似變換性質(zhì)解作圖題的方法。

反演法：對于與圓有關(guān)部門的作圖題，可以利

用反演變換的性質(zhì)來解作圖題的方法。2023/8/522變位法：把圖形中某些元素施行適當?shù)暮贤?023/8/1923問題在于除了有理點，尺規(guī)作圖能否作出無理數(shù)所對應的點?2023/8/523問題在于除了有理點，尺規(guī)作圖能否作出無理2023/8/1924已知線段a作線段

。OA=a,AB=1.以O(shè)B為直徑作圓,過A作OB的垂線交圓周于C,Rt△OAC與△OBC有公共角∠

COB,

由此可得∠OCA=∠ABC,

從而△OAC

~

△CBA,設(shè)AC=x,有

a/x=x/1,x2=a,x=．OaA1B

C2023/8/524已知線段a作線段。OA=a,2023/8/1925

已知線段a,可以作出線段,說明有些無理點是可以作出的。但是諸如

就無法用尺規(guī)作圖，

這是因為無法作出超越數(shù)

。有理數(shù)域Q中的數(shù)可以用尺規(guī)作圖，

提示我們，能否從Q出發(fā)，將Q一步一步擴張,并保證擴張后得到的新數(shù)域中的數(shù)可以用尺規(guī)作圖?2023/8/525已知線段a,可以作出線2023/8/1926幾何作圖的關(guān)鍵:確定某些點的位置.這些點尺規(guī)作圖可能性準則是“直線與直線,直線與圓,圓與圓的交點”.

直線與圓的方程都不超過二次,求直線與圓或圓與圓的交點的坐標,只需