廣東省湛江市郭屋中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知點(diǎn)是的重心，若，，則的最小值是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C2.設(shè)定義在上的偶函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，若方程無解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A．

B．

C． D．參考答案：【知識點(diǎn)】抽象函數(shù)及其應(yīng)用．B10【答案解析】D

解析：由f（x）﹣cosx﹣a=0得f（x）﹣cosx=a，設(shè)g（x）=f（x）﹣cosx，∵定義在R上的偶函數(shù)f（x），∴g（x）也是偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x3，∴g（x）=x3﹣cosx，則此時(shí)函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，則g（0）≤g（x）≤g（1），即﹣1≤g（x）≤1，∵偶函數(shù)f（x）滿足f（1﹣x）=f（x+1），∴f（1﹣x）=f（x+1）=f（x﹣1），即f（x）滿足f（x+2）=f（x），即函數(shù)的周期是2，則函數(shù)g（x）在R上的值域?yàn)閇﹣1，1]，若方程f（x）﹣cosx﹣a=0（a＜0）無解，即g（x）=f（x）﹣cosx=a無解，則a＜﹣1，故選：D【思路點(diǎn)撥】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系，推出函數(shù)的周期性，求出函數(shù)的最值即可得到結(jié)論．3.設(shè)復(fù)數(shù)z=﹣1﹣i（i為虛數(shù)單位），則|1﹣z|=（）A． B． C．2 D．1參考答案：A【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)求模．【專題】數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)．【分析】代入復(fù)數(shù)直接利用求模的運(yùn)算法則求解即可．【解答】解：復(fù)數(shù)z=﹣1﹣i（i為虛數(shù)單位），則|1﹣z|=|1﹣（﹣1﹣i）|=|2+i|==．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)的模的求法，基本知識的考查．4.已知球O的面上四點(diǎn)A、B、C、D,

則球O的體積等于（

）

A． B．

C．

D．參考答案：C略5.已知實(shí)數(shù)滿足不等式組,且的最小值為,則實(shí)常數(shù)的取值范圍是(

).

A. B.

C.

D.參考答案：答案：B6.設(shè)為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，且=

A．

B．

C．

D．參考答案：B7.“sinα=cosα”是“sin2α=1”的（

）A.充分不必要條件

B.必要不充分條件C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件參考答案：C8.函數(shù)的圖象大致為（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：C9.如圖，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2，AB=BC=1，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別在線段C1D、AC上，則線段PQ長度的最小值時(shí)（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】空間向量的夾角與距離求解公式．【分析】設(shè)，，（λ，μ∈）．可得=（0，λ，2λ），=+μ=（1﹣μ，μ，0）．利用向量模的計(jì)算公式可得=|（1﹣μ，μ﹣λ，﹣2λ）|=，再利用實(shí)數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．【解答】解：設(shè)，，（λ，μ∈）．∴=（0，λ，2λ），=+μ=（1，0，0）+μ（﹣1，1，0）=（1﹣μ，μ，0）．∴=|（1﹣μ，μ﹣λ，﹣2λ）|===，當(dāng)且僅當(dāng)，，即λ=，時(shí)取等號．∴線段PQ長度的最小值為．故選：C．10.如圖為一個(gè)幾何體的三視圖，則該幾何體外接球的表面積為（）A．4π B．12π C．12π D．24π參考答案：B【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．【專題】計(jì)算題；數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；立體幾何．【分析】幾何體為直三棱柱，作出直觀圖，根據(jù)三棱柱的結(jié)構(gòu)特征找出外接球的球心外置，計(jì)算半徑．【解答】解：由三視圖可知該幾何體為直三棱柱ABC﹣A'B'C'，作出直觀圖如圖所示：則AB⊥BC，AB=BC=2，AA'=2．∴AC=2．∴三棱柱的外接球球心為平面ACC'A'的中心O，∴外接球半徑r=OA=AC'==．∴外接球的表面積S=4π×=12π．故選B．【點(diǎn)評】本題考查了棱柱與外接球的三視圖和結(jié)構(gòu)特征，屬于中檔題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在中，角A，B，C的對邊分別為，且，面積，則b=___________.參考答案：【知識點(diǎn)】三角形面積公式;余弦定理.C85

解析：由面積公式，帶入已知條件得，再由余弦定理得故答案為：5.【思路點(diǎn)撥】先由面積公式，帶入已知條件得，再由余弦定理可解得b.12.執(zhí)行如右圖所示的程序框圖，若輸入的的值為10，則輸出的 .參考答案：413.設(shè)向量，滿足|+|=，|﹣|=，則?=．參考答案：1【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【專題】平面向量及應(yīng)用．【分析】將已知的兩個(gè)等式分別平方相減即得．【解答】解：由已知得到|+|2=15，|﹣|2=11，即=15，=11，兩式相減得到4，所以=1；故答案為：1．【點(diǎn)評】本題考查了平面向量的模的平方與向量的平方相等的運(yùn)用．屬于基礎(chǔ)題．14.菱形ABCD邊長為6，，將沿對角線BD翻折使得二面角的大小為120°，已知A、B、C、D四點(diǎn)在同一球面上，則球的表面積等于

．參考答案：如圖，點(diǎn)，分別為，外接圓的圓心，點(diǎn)為球心，因?yàn)榱庑芜呴L為，，所以，，，∴，，故答案為．15.已知圓的極坐標(biāo)方程為，圓心為，點(diǎn)的極坐標(biāo)為，則

.參考答案：試題分析：由圓的極坐標(biāo)方程為兩邊同時(shí)乘以得：化為直角坐標(biāo)方程得：，即知圓心M的坐標(biāo)為；又將點(diǎn)的極坐標(biāo)為化為直角坐標(biāo)得，即；所以；故答案為：.考點(diǎn)：極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化.16.如果執(zhí)行右面的程序框圖，那么輸出的

▲

參考答案：答案：255017.已知函數(shù)f（x）=lnx，0<a<b<c<1，則，，的大小關(guān)系是

參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本題滿分12分）如圖所示，將一矩形花壇ABCD擴(kuò)建成一個(gè)更大的矩形花壇AMPN，要求B點(diǎn)在AM上D點(diǎn)在AN上，且對角線MN過點(diǎn)C，已知AB=3米，AD=2米。（1）要使矩形AMPN的面積大于32平方米，則DN的長應(yīng)在什么范圍內(nèi)？（2）當(dāng)DN的長度為多少時(shí)，矩形花壇AMPN的面積最??？并求出最小值。參考答案：19.（本小題14分）已知函數(shù)，（1）求函數(shù)的極值點(diǎn)；（2）若直線過點(diǎn)，并且與曲線相切，求直線的方程；（3）設(shè)函數(shù)，其中，求函數(shù)在上的最小值（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）.參考答案：（3）依題意，，，，令，則，所以當(dāng)，，單調(diào)遞減；，，單調(diào)遞增；又，所以①當(dāng)，即時(shí)，的極小值為；②當(dāng)，即時(shí)，的極小值為；③當(dāng)，即時(shí)，的極小值為.故①當(dāng)時(shí)，的最小值為0；②當(dāng)時(shí)，的最小值為；③當(dāng)時(shí)，的最小值為.20.(14分)已知數(shù)列中，，，其前項(xiàng)和滿足，令

(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(Ⅱ)令，求證：

①對于任意正整數(shù)，都有．

②對于任意的，均存在，使得時(shí)，．參考答案：解析：(Ⅰ)由題意知即

…………3分檢驗(yàn)知時(shí)，結(jié)論也成立故.………………4分(Ⅱ)①由于

………………9分②若，其中，則有，則，故，?。ㄆ渲斜硎静怀^的最大整數(shù)），則當(dāng)時(shí)，.………14分21.如圖，如圖，已知在四棱錐中，底面是矩形，平面，、分別是、的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）若與平面所成角為，且，求點(diǎn)到平面的距離．

參考答案：解：【法一】（I）證明：如圖，取的中點(diǎn)，連接．由已知得且，又是的中點(diǎn)，則且，是平行四邊形， ∴

又平面，平面

平面 （II）設(shè)平面的距離為，【法一】：因平面，故為與平面所成角，所以，所以，，又因，是的中點(diǎn)所以，，．作于，因，則，…………則，因所以……………… 【法二】因平面，故為與平面所成角，所以，所以，，又因，是的中點(diǎn)所以，，．作于，連結(jié)，因，則為的中點(diǎn)，故所以平面，所以平面平面，作于，則平面，所以線段的長為平面的距離.又，所以…………… 略22.已知f（x）=ex+acosx（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．（1）若f（x）在x=0處的切線過點(diǎn)P（1，6），求實(shí)數(shù)a的值；（2）當(dāng)x∈[0，]時(shí)，f（x）≥ax恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】6E：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】（1）求導(dǎo)數(shù)，可得f（x）在x=0處的切線方程，利用f（x）在x=0處的切線過點(diǎn)P（1，6），求實(shí)數(shù)a的值；（2）由f（x）≥ax，可得ex≥a（x﹣cosx），令g（x）=x﹣cosx，，分類討論由ex≥a（x﹣cosx），得，令，研究h（x）的最值，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解答】解：（1）∵f'（x）=ex﹣asinx，∴f'（0）=1．f（0）=1+a，∴f（x）在x=0處的切線方程為y=x+1+a，∵切線過點(diǎn)P（1，6），∴6=2+a，∴a=4．（2）由f（x）≥ax，可得ex≥a（x﹣cosx），（*）令g（x）=x﹣cosx，，∴g'（x）=1+sinx＞0，且g（0）=﹣1＜0，，∴存在，使得g（m）=0，當(dāng)x∈（0，m）時(shí)，g（m）＜0；當(dāng)時(shí)，g（m）＞0．①當(dāng)x=m時(shí)，em＞0，g（m）=m﹣cosm=0，此時(shí)，對于任意a∈R（*）式恒成立；②當(dāng)時(shí)，g（x）=x﹣cosx＞0，由ex≥a（x﹣