材料測試技術(shù)第二章第1頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月晶體結(jié)構(gòu)例子g-Fea-Fe第2頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月§2-1晶體幾何學(xué)基礎(chǔ)一、空間點(diǎn)陣、晶胞、晶系把a(bǔ)、b、c和α、β、γ叫做點(diǎn)陣參數(shù)或晶格常數(shù)圖2-1單胞的表示方法1.晶胞第3頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月結(jié)點(diǎn)（陣點(diǎn)）：等同環(huán)境的點(diǎn)第4頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月面網(wǎng)密度與面網(wǎng)間距空間點(diǎn)陣第5頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月1、對稱軸若形體繞軸轉(zhuǎn)過360°/n（n為整數(shù)）后即回復(fù)為自身，則該形體具有n次旋轉(zhuǎn)對稱，這個軸就稱之為n次對稱軸。n次旋轉(zhuǎn)對稱本身構(gòu)成一個群。在晶體中，由于受平移對稱的制約，只能存在1，2，3，4，6次旋轉(zhuǎn)對稱操作。2-2-1晶體中的對稱元素第6頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月第7頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月另外：還存在鏡面對稱（m）和反演對稱（i）。四次軸包含二次軸，六次軸包含三次軸。第8頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月2、反映面若形體中的一個面將形體分成兩部分，且兩部分上的點(diǎn)相對于該平面成鏡面對稱，則該平面稱為該形體的反映面，以符號m表示。反映也構(gòu)成群。第9頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月3、反演中心若形體中的所有點(diǎn)都相對于某一點(diǎn)中心對稱，則該點(diǎn)就是反演中心，用符號-1表示。第10頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月4、平移在晶體中，沿某個周期方向平移一個或多個周期后，我們認(rèn)為晶體沒有發(fā)生改變，稱之為平移對稱。5、旋轉(zhuǎn)反演旋轉(zhuǎn)和反演的復(fù)合操作構(gòu)成一個不同于旋轉(zhuǎn)和反演的對稱群。6、螺旋旋轉(zhuǎn)與平行平移的組合。7、滑移反映與平行平移的組合第11頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月螺旋軸（screwaxis)即平移和旋轉(zhuǎn)軸的偶合

晶體學(xué)中很常見的對稱元素，記作nm，n表示螺旋軸的階次，m表示沿軸平移的分量c21軸，180度，平移1/2c31軸，120度，平移1/3c第12頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月2-1-2晶體的對稱性及表達(dá)晶體的對稱定律：在晶體中，只可以出現(xiàn)一次、二次、三次、四次、六次對稱，而不可能出現(xiàn)五次和六次以上的對稱。相反，準(zhǔn)晶體是以五次對稱為基礎(chǔ)的。第13頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月第14頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月1．什么是空間點(diǎn)陣――從晶體中抽象出來的、描述結(jié)構(gòu)基元空間分布周期性的幾何點(diǎn)（即陣點(diǎn)），這些點(diǎn)的總稱為空間點(diǎn)陣。

2．空間點(diǎn)陣與晶體結(jié)構(gòu)的關(guān)系：空間點(diǎn)陣＋結(jié)構(gòu)基元＝晶體結(jié)構(gòu)第15頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月陣胞的選取條件：單元應(yīng)能充分表示出晶體的對稱性且對稱性盡量高；單元的三條相交棱邊應(yīng)盡量相等，或相等的數(shù)目盡可能地多；單元的三棱邊的夾角要盡可能地構(gòu)成直角；單元的體積應(yīng)盡可能地小。陣胞的概念及陣胞的選取方法第16頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月非初級格子：簡單格子面心格子體心格子底心格子第17頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月六方格子第18頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月表2-1七個晶系及其布拉菲點(diǎn)陣（BravaisLattice)2.晶系第19頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月簡單格子：000體心格子：000，底心格子：000，面心格子：000，，，第20頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月四方?jīng)]有面心？按照對稱性并照顧最小單胞分類。 四方P,IFIFI第21頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月2-1-3晶面與晶向指數(shù)zxy第22頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月晶面指數(shù)的確定方法:在一組互相平行的晶面中任選一個晶面，量出它在三個坐標(biāo)軸上的截距并用點(diǎn)陣周期a、b、c為單位來度量；寫出三個截距的倒數(shù)；將三個倒數(shù)分別乘以分母的最小公倍數(shù)，把它們化為三個簡單整數(shù)，并用圓括號括起，即為該組平行晶面的晶面指數(shù)。第23頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月晶面族的概念:

在同一晶體點(diǎn)陣中，有若干組晶面是可以通過一定的對稱變換重復(fù)出現(xiàn)的等同晶面，它們的面間距和晶面上結(jié)點(diǎn)分布完全相同。這些空間位向性質(zhì)完全相同的晶面屬于同族等同晶面，用{hkl}來表示，即為一個晶面族。第24頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月晶向指數(shù)的確定方法:在一族互相平行的陣點(diǎn)直線中引出過坐標(biāo)原點(diǎn)的陣點(diǎn)直線；在該直線上任選一個陣點(diǎn)，量出它的坐標(biāo)值并用點(diǎn)陣周期a、b、c度量；將三個坐標(biāo)值用同一個數(shù)乘或除，把它們化為簡單整數(shù)并用方括號括起，即為該族結(jié)點(diǎn)直線的晶向指數(shù)。表示為：[uvw]第25頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月(hkl)——晶面；{hkl}——晶面簇；[uvw]——晶向；<uvw>——晶向簇。注意：六方晶系指數(shù)表示有三軸法和四軸法晶面：(hkl)→(hkil)，i=-(h+k)晶向：[UVW]→[uvtw]

U=u-tV=v-t

W=w

t=-(u+v)二、晶面與晶向或第26頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月（一）、倒易點(diǎn)陣的定義2-1-4、倒易點(diǎn)陣概念我們規(guī)定倒易格子的每個一結(jié)點(diǎn)代表正空間的一組相互平行的等間距的面網(wǎng)，且使該倒易矢量（倒易空間的原點(diǎn)到結(jié)點(diǎn)的矢量）垂直于正空間的面網(wǎng)，矢量的膜為正空間面網(wǎng)的面間距第27頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月倒易點(diǎn)陣參數(shù)：

a*、b*、c*；α*、β*、γ*其中：倒易基失與正空間基失之間的關(guān)系第28頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月由倒易點(diǎn)陣基矢的定義，容易推出：a*?a=1a*?b=0a*?c=0b*?a=0b*?b=1b*?c=0c*?a=0c*?b=0c*?c=1V?V*=1第29頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月研究倒易點(diǎn)陣的意義：利用倒易點(diǎn)陣可以比較方便地導(dǎo)出晶體幾何學(xué)中的各種重要關(guān)系式；用倒易點(diǎn)陣可以方便而形象地表示晶體的衍射幾何學(xué)；在物理學(xué)中可以用倒易點(diǎn)陣來表示波矢。第30頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月倒易矢量的性質(zhì)

a*·b

=a*·c

=b*·a

=b*·c

=c*·a

=c*·b

=0

a*·a

=b*·b

=c*·c

=1（1）從倒易點(diǎn)陣原點(diǎn)向任一倒易陣點(diǎn)所連接的矢量叫倒易矢量，表示為：

ghkl*=ha*+kb*+lc*（2）（3）倒易矢量ghkl*

垂直于正點(diǎn)陣中相應(yīng)的（hkl）晶面，或平行于它的法向Nhkl。第31頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月正點(diǎn)陣和倒易點(diǎn)陣的幾何關(guān)系（5）倒易矢量的長度等于正點(diǎn)陣中相應(yīng)晶面間距的倒數(shù)，即：（4）倒易點(diǎn)陣中的一個點(diǎn)代表的是正點(diǎn)陣中的一組晶面。第32頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月（6）只有在立方點(diǎn)陣中，晶面法向和同指數(shù)的晶向是重合（平行）的。這時(shí)倒易矢量ghkl*與相應(yīng)指數(shù)的晶向[hkl]平行。（7）對斜方（正交）點(diǎn)陣，有a*//a

，b*//b

，c*//c

，a*=1/a

，b*=1/b

，c*=1/c

。第33頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月倒易點(diǎn)陣參數(shù)根據(jù)倒易點(diǎn)陣定義，倒易點(diǎn)陣原胞參數(shù)與正點(diǎn)陣原胞參數(shù)之間關(guān)系如下：第34頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月二、用倒易矢量推導(dǎo)晶面間距和晶面夾角的計(jì)算公式

晶面間距計(jì)算公式晶面夾角計(jì)算公式第35頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月晶面間距計(jì)算公式

已知r*=Ha*+Kb*+Lc*，則：

第36頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月對于立方晶系：第37頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月晶面夾角計(jì)算公式

已知r1*=H1a*+K1b*+L1c*r2*=H2a*+K2b*+L2c*

則（H1K1L1）與（H2K2L2）之間的夾角Φ為：第38頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月對于立方晶系：第39頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月晶帶的定義

在晶體結(jié)構(gòu)或空間點(diǎn)陣中，與某一取向平行的所有晶面均屬于同一個晶帶。同一晶帶中所有晶面的交線互相平行，其中通過坐標(biāo)原點(diǎn)的那條直線稱為晶帶軸。晶帶軸的晶向指數(shù)即為該晶帶的指數(shù)。第40頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月晶帶定律

根據(jù)晶帶的定義，同一晶帶中所有晶面的法線都與晶帶軸垂直。我們可以將晶帶軸用正點(diǎn)陣矢量r=ua+vb+wc表達(dá)，晶面法向用倒易矢量g*=ha*+kb*+lc*表達(dá)。由于g*與r垂直，所以：

由此可得：hu+kv+lw=0

這也就是說，凡是屬于[uvw]晶帶的晶面，它們的晶面指數(shù)（hkl）都必須符合上式的條件。我們把這個關(guān)系式叫作晶帶定律。第41頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月應(yīng)用例一已知兩個晶面（h1k1l1)和(h2k2l2)屬于一個晶帶，求晶帶軸指數(shù)。第42頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月應(yīng)用例二已知某晶面（hkl）同屬于[u1v1w1]和[u2v2w2]兩個晶帶，其面指數(shù)（hkl）可按下式計(jì)算：第43頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月晶帶定律的應(yīng)用

在實(shí)際晶體中，立方晶系最為普遍，因此晶帶定理有非常廣泛的應(yīng)用。可以判斷空間兩個晶向或兩個晶面是否相互垂直；可以判斷某一晶向是否在某一晶面上（或平行于該晶面）；若已知晶帶軸，可以判斷哪些晶面屬于該晶帶；若已知兩個晶面為（h1k1l1)和(h2k2l2)，則可用晶帶定律求出晶帶軸；第44頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月已知兩個不平行的晶向，可以求出過這兩個晶向的晶面；已知一個晶面及其面上的任一晶向，可求出在該面上與該晶向垂直的另一晶向；已知一晶面及其在面上的任一晶向，可求出過該晶向且垂直于該晶面的另一晶面。第45頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)一束X射線照射到晶體上時(shí)，會被原子所散射，其中就包括相干散射，向空間輻射出與入射波同頻率的電磁波，這些散射波會產(chǎn)生干涉現(xiàn)象，在某些方向會得到強(qiáng)度很高的散射波，把這種現(xiàn)象叫做X射線的衍射。X射線在晶體中的衍射現(xiàn)象實(shí)質(zhì)上是大量的原子散射波互相干涉的結(jié)果，每種晶體所產(chǎn)生的衍射花樣都反映出晶體內(nèi)部的原子分布規(guī)律?！?-2X射線衍射與布拉格方程第46頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月光的干涉條件：同一點(diǎn)光源，振動方向相同，頻率相同，位相恒定。X射線在晶體中衍射時(shí)的假設(shè)：a)X射線是平行光，且只有單一波長（單色）；b)電子皆集中在原子中心（因?yàn)樵娱g距>>核外電子距離）c)原子不作熱振動。

因此，X射線照到晶體上，晶體作為光柵產(chǎn)生衍射花樣，從而反映晶體結(jié)構(gòu)的特征。第47頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月一、波的合成合成波（紫色）一般情況

若有兩束波長相同，同一方向前進(jìn)時(shí)，當(dāng)位相差（或者光程差）為波長的整數(shù)倍時(shí)，其合成振幅增強(qiáng)且達(dá)最大值；當(dāng)位相差（或者光程差）為半波長的奇數(shù)倍時(shí)，其合成振幅減弱且達(dá)最小值。強(qiáng)度相互加強(qiáng)的波之間的作用成為相長干涉，而強(qiáng)度相互減弱的波之間的作用成為相消干涉第48頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月1勞厄（Laue）方程

首先考慮一行周期為a0的原子列對入射X射線的衍射。如圖2.1所示(忽略原子的大小)，當(dāng)入射角為α0時(shí)，在αh角處觀測散射線的疊加強(qiáng)度。相距為a0的兩個原子散射的X射線光程差為a0(cosαh

–

cosα0)，當(dāng)光程差為零或等于波長的整數(shù)倍時(shí)，散射波的波峰和波谷分別互相疊加而強(qiáng)度達(dá)到極大值。光程差為零時(shí)，干涉最強(qiáng)，此時(shí)入射角α0等于出射角，衍射稱為零級衍射。a0(cosαh

–

cosα0)=hλ.二、晶體衍射圖2.1一行原子列對X射線的衍射第49頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月h、k、l為衍射指數(shù)，非晶面指數(shù)晶體結(jié)構(gòu)是一種三維的周期結(jié)構(gòu)，設(shè)有三行不共面的原子列，其周期大小分別為a0、b0、c0，入射X射線同它們的交角分別為α0、β0、γ0，當(dāng)衍射角分別為αh、βk、γl，則必定滿足下列的條件:第50頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月2.4布拉格方程

及討論布拉格方程的導(dǎo)出布拉格方程的討論CDBA單一原子面的反射AB

d反射面法線布拉格反射第51頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月晶體的空間點(diǎn)陣可劃分為一族平行且等間距的平面點(diǎn)陣（hkl），或者稱晶面。同一晶體不同指標(biāo)的晶面在空間的取向不同，晶面間距d(hkl)也不同。設(shè)有一組晶面，間距為d(hkl)，一束平行X射線射到該晶面族上，入射角為θ。對于每一個晶面散射波的最大干涉強(qiáng)度的條件應(yīng)該是：入射角和散射角的大小相等，且入射線、散射線和平面法線三者在同一平面內(nèi)（類似鏡面對可見光的反射條件），這是產(chǎn)生衍射的必要條件。第52頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月圖2-11晶體對X射線的衍射QK-PR=Pkcosθ-Pkcosθ＝0，同層原子散射波干涉加強(qiáng)ML+NL=d’sinθ+d’sinθ=2d’sinθ第53頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月布拉格定律2.2.1布拉格方程若（n=0,1,2,3,…)（2-14）則散射波位相完全相同，所以相互加強(qiáng)。式（2-14）被稱為布拉格方程。

n－反射級數(shù)，n=1成為第一級反射。對一定的λ和d’，存在若干個θ1、θ2、θ3…分別對應(yīng)于n=0,1,2,3,…。第54頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月2.2.2X射線衍射（反射）與可見光反射的區(qū)別（1）X射線衍射是在晶體中所經(jīng)路程上所有原子散射波干涉的結(jié)果；而可見光的反射是在極表面層上產(chǎn)生的，僅發(fā)生在兩種介質(zhì)的界面上。（2）單色X射線的衍射只有滿足布拉格定律的若干個角度上產(chǎn)生衍射（選擇衍射），而可見光的反射可以在任意角度產(chǎn)生。（3）可見光在良好的鏡面上反射，效率可接近100％，而X射線衍射線的強(qiáng)度比起入射線強(qiáng)度卻微乎其微。（4）本質(zhì)上，X射線衍射是由大量原子參與的一種散射現(xiàn)象。第55頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月§2-3布拉格方程的討論一、產(chǎn)生衍射的條件因?yàn)樗缘?dāng)λ太小時(shí)，θ太小不利分析。二、反射級數(shù)與干涉指數(shù)現(xiàn)只從一級反射來考慮，則布拉格方程可改寫為：

將面間距為d’/n的假想晶面定義為干涉晶面，用不加圓括號的HKL表示，H=nh，K=nk，L=nl。第56頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月下面重點(diǎn)討論布拉格方程的意義。

①選擇反射根據(jù)布拉格方程，我們把晶體對X射線的衍射看作為“反射”，并借用普通光學(xué)中“反射”這個術(shù)語。

X射線在晶體中的衍實(shí)質(zhì)上是晶體中各原子散射波之間的干涉結(jié)果，只是由于衍射線的方向恰好等于原子面對射入射線的反射，所以才借用鏡面反射規(guī)律來描述X射線的衍射幾何。必須注意，X射線的原子面反射和可見光的鏡面反射不同。一束可見光以任意角度透射到鏡面上都可以產(chǎn)生反射，而原子面對X射線的反射并不是任意的，只有當(dāng)λ、θ和d三者之間滿足布拉格方程時(shí)才能發(fā)生反射，所以將X射線的這種反射稱為選擇反射。

②產(chǎn)生衍射的極限條件

從方程式中可以看出，由于sinθ不能大于1,因此nλ/(2d)=sinθ≤1,即nλ<2d。對衍射而言，n的最小值為1（n=0相當(dāng)于透射方向上的衍射線束無法觀測），所以在任何可觀測的衍射角下，產(chǎn)生衍射的條件為λ<2d。這就是說，能夠被晶體衍射的電磁波的波長必須小于參加反射的晶體中最大面間距的2倍，否則不會產(chǎn)生衍射。但是λ不能太小，否則衍射角也會很小，衍射線將集中在出射光路附近的很小的角度范圍內(nèi)，觀測就無法進(jìn)行。晶面間距一般在10埃以內(nèi)，此外考慮到在空氣中波長第57頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月大于2埃的X射線衰減很嚴(yán)重，所以在晶體衍射工作中常用的X射線波長范圍是0.5至2.5埃。當(dāng)X射線的波長一定時(shí)，晶體中有可能參加反射的晶面族也是有限的，它們必須滿足d>λ/2，即只有晶面間距大于入入X射線波長一半的晶面才能發(fā)生衍射。因此可以用這個關(guān)系來判斷一定條件下所能出現(xiàn)的衍射數(shù)目的多少。

③反射級數(shù)

n為整數(shù)，稱為反射級數(shù)。若n=1,晶體的衍射稱為一級衍射，n=2則稱為二級衍射，依此類推。如果我們把第n級衍射視為和晶面族hkl平行但間距為d／n的晶面的第一級衍射（依照晶面指數(shù)的定義，這些假想晶面的指數(shù)為nh，nk，nl，在n個這樣的假想晶面中只有一個是實(shí)際晶體結(jié)構(gòu)的一個點(diǎn)陣平面），于是布拉格方程可以簡化表達(dá)為：和晶面族hkl平行但間距為d／n的晶面稱為干涉面，干涉面的面指數(shù)HKL=nh，nk，nl稱作干涉指數(shù)。

第58頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月從圖2-13可知，若AB+BC=2λ，則DE+EF=λ因此，2級（100）反射等同于1級200反射。例題1第59頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月例題2實(shí)際操作中，通過改變θ角來測量多級反射。第60頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月三、布拉格方程的應(yīng)用結(jié)構(gòu)分析：已知λ，測量θ，可求d，并通過一系列d值求得被測晶體的結(jié)構(gòu)。X射線光譜學(xué)：已知d，測量θ，可求λ，從而確定被測試樣的原子序數(shù)。第61頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月四、衍射花樣和晶體結(jié)構(gòu)的關(guān)系

從布拉格方程可以看出，在波長一定的情況下，衍射線的方向是晶面間距d的函數(shù)。如果將各晶系的d值代入布拉格方程，可得：

由此可見，布拉格方程可以反映出晶體結(jié)構(gòu)中晶胞大小及形狀的變化，但是并未反映出晶胞中原子的品種和位置。立方晶系：正方晶系：斜方晶系：第62頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月2.5衍射矢量方程和厄爾瓦德圖解在描述X射線的衍射幾何時(shí)，主要是解決兩個問題：

1.產(chǎn)生衍射的條件，即滿足布拉格方程；

2.衍射方向，即根據(jù)布拉格方程確定的衍射角2

。為了把這兩個方面的條件用一個統(tǒng)一的矢量形式來表達(dá)，引入了衍射矢量的概念。倒易點(diǎn)陣中衍射矢量的圖解法：厄爾瓦德圖解.第63頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月衍射矢量

如圖所示，當(dāng)束X射線被晶面P反射時(shí)，假定N為晶面P的法線方向，入射線方向用單位矢量S0表示，衍射線方向用單位矢量S表示，則S-S0為衍射矢量。

NS0SS-S0（衍射矢量圖示）第64頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月衍射