絕密★啟用并使用完畢前測試時間：年月日時分——時分遼寧省部分重點中學協(xié)作體2023-2024學年第一學期高三開學測試卷C本試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分，滿分150分，考試時間120分鐘一、選擇題：本題共小題，每小題分，共分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設集合，集合。若，則實數(shù)的取值范圍為（）。A、B、C、D、2．已知扇形的半徑為，周長為，則扇形的圓心角等于（）。A、B、C、D、3．函數(shù)的圖像大致為（）。A、B、C、D、4．已知，則（）。A、B、C、D、5．已知、、，則、、的大小關系是（）。A、B、C、D、6．已知函數(shù)，使得不等式恒成立的條件是（）。A、B、C、D、7．設，若不等式在時恒成立，則的最大值為（）。A、B、C、D、8．設函數(shù)在上滿足、，且在閉區(qū)間上只有，則方程在閉區(qū)間上的根的個數(shù)（）。A、B、C、D、二、選擇題：本題共小題，每小題分，共分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得分，有選錯的得分，部分選對的得分。9．下列函數(shù)的定義域均為，則最小值是的函數(shù)有（）。A、B、C、D、10．如圖是函數(shù)的導函數(shù)的圖像，則以下命題正確的是（）。A、是函數(shù)的極值點B、函數(shù)在處切線的斜率小于零C、函數(shù)在處取最小值D、函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增11．下列命題正確的是（）。A、若、均為第一象限的角，且，則B、C、函數(shù)是周期函數(shù)且最小正周期為D、函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）12．已知、是函數(shù)與函數(shù)的圖像的兩條公切線，記的傾斜角為，的傾斜角為，且、的夾角為（），則下列說法正確的有（）。A、B、C、若，則D、與的交點可能在第三象限三、填空題：本題共小題，每小題分，共分。13．如果函數(shù)（）的導函數(shù)是偶函數(shù)，則曲線在原點處的切線方程為。14．已知函數(shù)，SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0，若存在實數(shù)，使得關于的方程有三個不同的根，則實數(shù)的取值范圍為。15．已知正數(shù)、滿足，當時，取得最小值，最小值是。（本小題第一個空2分，第二個空3分）16．將函數(shù)（）的圖像與其對稱軸在軸右側的交點從左到右依次記為、、、…、，在點列中存在四個不同的點成為某菱形的四個頂點，將滿足上述條件的值從小到大組成的數(shù)列記為，則。四、解答題：本題共小題，共分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（本小題滿分分）已知函數(shù)（，，）的圖像如圖所示。（1）求函數(shù)的解析式；（2）將函數(shù)的圖像上每一點的橫坐標縮短為原來的，再向右平移個單位，再向上平移個單位，得到函數(shù)的圖像，求函數(shù)的圖像的對稱軸方程和對稱中心坐標。18．（本小題滿分分）函數(shù)（），對任意、，都有且。（1）求的值；（2）證明：；（3）若的最大值為，求函數(shù)的解析式。19．（本小題滿分分）定義在上的函數(shù)，若滿足：對任意，存在常數(shù)，都有成立，則稱是上的有界函數(shù)，其中稱為函數(shù)的上界。（1）設，判斷在上是否為有界函數(shù)，若是，請說明理由，并寫出的所有上界的值的集合，若不是，也請說明理由；（2）若函數(shù)在上是以為上界的有界函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍。20．（本小題滿分分）設函數(shù)（），曲線過點，且在點處的切線方程為。（1）求實數(shù)、的值；（2）證明：當時，；（3）若當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍。21．（本小題滿分分）已知函數(shù)。（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）是否存在最小的正常數(shù)，使得：當時，對于任意正實數(shù)，不等式恒成立？給出你的結論，并說明結論的合理性。22．（本小題滿分分）已知函數(shù)（）。（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）設函數(shù)有兩個極值點、（），證明：。絕密★啟用并使用完畢前測試時間：年月日時分——時分遼寧省部分重點中學協(xié)作體2023-2024學年第一學期高三開學測試卷C本試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分，滿分150分，考試時間120分鐘一、選擇題：本題共小題，每小題分，共分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設集合，集合。若，則實數(shù)的取值范圍為（）。A、B、C、D、【答案】C【解析】∵，，∴，故選C。2．已知扇形的半徑為，周長為，則扇形的圓心角等于（）。A、B、C、D、【答案】B【解析】∵扇形的弧長，∴其圓心角，故選B。3．函數(shù)的圖像大致為（）。A、B、C、D、【答案】A【解析】函數(shù)的定義域為，∵，∴函數(shù)為奇函數(shù)，圖像關于原點對稱，排除B選項，當時，，，∴，排除C、D選項，A選項，為奇函數(shù)，函數(shù)值符合圖像的變化規(guī)律，結合以上分析，A正確，故選A。4．已知，則（）。A、B、C、D、【答案】A【解析】∵，，∴，故選A。5．已知、、，則、、的大小關系是（）。A、B、C、D、【答案】D【解析】，，，設，定義域為，則，當時，時恒成立，∴在內(nèi)單調(diào)遞減，∴，即，∴，∵，，∴，∴，綜上所述，，故選C。6．已知函數(shù)，使得不等式恒成立的條件是（）。A、B、C、D、【答案】D【解析】，則函數(shù)在上為偶函數(shù)，且，在上均單調(diào)遞增，∴在上單調(diào)遞增，∵，則，∴，，故選C。7．設，若不等式在時恒成立，則的最大值為（）。A、B、C、D、【答案】C【解析】∵，∴，∵是的反函數(shù)，∴與關于對稱，原問題等價于對一切恒成立，即，令，定義域為，，令，解得，當時，，∴在內(nèi)單調(diào)遞減，當時，，∴在內(nèi)單調(diào)遞增，∴當時取得極小值，也是最小值，，又當時，，當時，，∴做函數(shù)的圖像如圖所示，∴，∴，故選C。8．設函數(shù)在上滿足、，且在閉區(qū)間上只有，則方程在閉區(qū)間上的根的個數(shù)（）。A、B、C、D、【答案】C【解析】在上滿足、，∴關于直線和直線對稱，∴、，∴，∴，∴的周期為，又在閉區(qū)間上只有，則、，且當時，通過其關于直線對稱，得其值對應著的值，則在閉區(qū)間上只有，同理可推得在也只有兩個零點，∵，則在共有個零點，∵，且在的圖像與的圖像相同，則在上有個零點，則方程在閉區(qū)間上的根的個數(shù)為個，故選C?！军c睛】利用零點存在性定理不僅要函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且，還必須結合函數(shù)的圖像與性質(zhì)（如單調(diào)性、奇偶性）才能確定函數(shù)有多少個零點。二、選擇題：本題共小題，每小題分，共分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得分，有選錯的得分，部分選對的得分。9．下列函數(shù)的定義域均為，則最小值是的函數(shù)有（）。A、B、C、D、【答案】AD【解析】A選項，，可得，當時取等號，又，∴在區(qū)間內(nèi)的最小值是，對，B選項，，，∴在區(qū)間內(nèi)的最小值不是，錯，C選項，，，當時取等號，又，∴在區(qū)間內(nèi)的最小值不是，錯，D選項，，，當時取等號，又，∴在區(qū)間內(nèi)的最小值是，對，故選AD。10．如圖是函數(shù)的導函數(shù)的圖像，則以下命題正確的是（）。A、是函數(shù)的極值點B、函數(shù)在處切線的斜率小于零C、函數(shù)在處取最小值D、函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增【答案】AD【解析】根據(jù)導函數(shù)的圖像可得，當上，，在上，，故當時單調(diào)遞減，當和時單調(diào)遞增，∴是函數(shù)的極小值點，∴A選項對，由圖像可得，∴函數(shù)在處的切線的斜率大于零，∴B選項錯，由圖像可知時函數(shù)的單調(diào)性不變，則在處函數(shù)不可能取得最小值，∴C選項錯，由圖像可得，當時，，∴函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，∴D選項對，故選AD。11．下列命題正確的是（）。A、若、均為第一象限的角，且，則B、C、函數(shù)是周期函數(shù)且最小正周期為D、函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）【答案】BC【解析】A選項，若、，則、均為第一象限的角，且，但，錯，B選項，∵、、，∴，對，C選項，做函數(shù)的圖像如圖所示，則是周期函數(shù)且最小正周期為，對，D選項，令，即，即，即，解得或（），即或（），令，即，即，即，解得或（），即或（），∴的定義域為（），，∴的最小正周期為∴的單調(diào)遞增區(qū)間為和，，單調(diào)遞減區(qū)間為和，，錯，故選BC。變式1：下列結論正確的是（）。A、若，則是第一象限角或第二象限角B、C、函數(shù)的最小正周期為D、函數(shù)與函數(shù)的圖像交點的個數(shù)為【答案】CD【解析】A選項，當時，，此時既不是第一象限角，也不是第二象限角，錯，B選項，∵，∴，∴，錯，C選項，，∴函數(shù)的最小正周期為，對，又：，∴函數(shù)的最小正周期為，對，D選項，設，則的定義域為，，∴為奇函數(shù)，當時，，當時，，∴當時，無零點，證明：如圖所示，在單位圓中，，，當時，，則，則，則。根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)可知，當時，無零點，又，∴在內(nèi)有唯一一個零點，∴與的圖像交點的個數(shù)為，對，故選CD。變式2：下列命題正確的是（）。A、函數(shù)是偶函數(shù)B、函數(shù)的最小正周期為C、把函數(shù)的圖像向右平移個單位長度后可以得到的圖像D、函數(shù)在區(qū)間內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù)【答案】ABC【解析】A選項，的定義域為，，對，B選項，，最小正周期，對，C選項，把的圖像向右平移個單位長度后得到的圖像，對，D選項，，在區(qū)間內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)，錯，故選ABC。12．已知、是函數(shù)與函數(shù)的圖像的兩條公切線，記的傾斜角為，的傾斜角為，且、的夾角為（），則下列說法正確的有（）。A、B、C、若，則D、與的交點可能在第三象限【答案】ABC【解析】如圖所示，∵與互為反函數(shù)，∴兩函數(shù)的圖像關于直線對稱，則、關于對稱，∴，，A選項對，由題意可知、均為銳角，∴且，，當且僅當，即，即時取等號，B選項對，設與兩個函數(shù)圖像分別切于、兩點，，則，即，解得（舍去）或（可?。?，∴，對于，則，令，解得，∴切點為，∴曲線的斜率為的切線方程為，∴曲線的斜率為的切線方程為，同理可得的斜率為的切線方程為，∴曲線的斜率為的切線方程為，∴，則，則，C選項對，由圖可知點必在第一象限，D選項錯，故選ABC。三、填空題：本題共小題，每小題分，共分。13．如果函數(shù)（）的導函數(shù)是偶函數(shù)，則曲線在原點處的切線方程為?！敬鸢浮俊窘馕觥康亩x域為，，又∵是偶函數(shù)，∴，∴，∴，∴，，又∵切點為原點，∴切線斜率，∴切線方程為，即。14．已知函數(shù)，SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0，若存在實數(shù)，使得關于的方程有三個不同的根，則實數(shù)的取值范圍為?！敬鸢浮縎KIPIF1<0【解析】畫出函數(shù)圖像如圖所示，要SKIPIF1<0有三個不同的根，需要紅色部分圖像在深藍色圖像的下方，即，解得SKIPIF1<0。15．已知正數(shù)、滿足，當時，取得最小值，最小值是。（本小題第一個空2分，第二個空3分）【答案】【解析】由可得，∴，當且僅當，即時等號成立，此時取得最小值，。16．將函數(shù)（）的圖像與其對稱軸在軸右側的交點從左到右依次記為、、、…、，在點列中存在四個不同的點成為某菱形的四個頂點，將滿足上述條件的值從小到大組成的數(shù)列記為，則?！敬鸢浮俊窘馕觥扛鶕?jù)題意作出圖像如下，設的最小正周期為，若為菱形，則，又且，∴，解得，若為菱形，則，又且，∴，解得，若為菱形，則，且，又且，∴，解得，∴滿足，，∴?！军c睛】本題考查正弦型函數(shù)的圖像及性質(zhì)的應用，數(shù)列的通項，考查邏輯推理能力、數(shù)形結合思想，屬于中檔題。四、解答題：本題共小題，共分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（本小題滿分分）已知函數(shù)（，，）的圖像如圖所示。（1）求函數(shù)的解析式；（2）將函數(shù)的圖像上每一點的橫坐標縮短為原來的，再向右平移個單位，再向上平移個單位，得到函數(shù)的圖像，求函數(shù)的圖像的對稱軸方程和對稱中心坐標?！窘馕觥浚?）由圖像可得，，解得，2分，解得，，∵，∴，∴；4分（2）由題意可知，6分令，解得，，∴函數(shù)的圖像的對稱軸方程為，，8分令，解得，，∴函數(shù)的圖像的對稱中心坐標為，。10分18．（本小題滿分分）函數(shù)（），對任意、，都有且。（1）求的值；（2）證明：；（3）若的最大值為，求函數(shù)的解析式?！窘馕觥浚?）∵，∴，又恒成立，∴，2分∵，∴，又恒成立，∴，4分∴，∴，∴；5分（2）∵，∴，又恒成立，∴，7分即，又由（1）可知，∴，解得；8分（3），∵，∴，10分∴當時，取得最大值為，∴，11分∴、，∴。12分19．（本小題滿分分）定義在上的函數(shù)，若滿足：對任意，存在常數(shù)，都有成立，則稱是上的有界函數(shù)，其中稱為函數(shù)的上界。（1）設，判斷在上是否為有界函數(shù)，若是，請說明理由，并寫出的所有上界的值的集合，若不是，也請說明理由；（2）若函數(shù)在上是以為上界的有界函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍?！窘馕觥浚?），∴在上是增函數(shù)，2分∴，即，∴，4分∴為有界函數(shù)，所有上界的集合為；5分（2），在上是以為上界的有界函數(shù)，∴在上恒成立，7分∴在上恒成立，9分而的在定義域上的最大值為，在定義域上的最小值為，∴，則實數(shù)的取值范圍為。12分20．（本小題滿分分）設函數(shù)（），曲線過點，且在點處的切線方程為。（1）求實數(shù)、的值；（2）證明：當時，；（3）若當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍?！窘馕觥浚?）的定義域為，，1分∵，，∴，；3分（2）由（1）可知，，設（），，4分，當時，，∴在上單調(diào)遞增，∴，∴在上單調(diào)遞增，∴，∴；6分（3）設，定義域為，，從（2）可知，∴，∴，8分①當即時，，∴在單調(diào)遞增，∴，成立，9分②當即時，，，令，得，當時，，∴在上單調(diào)遞減，∴，不成立，11分綜上所述，實數(shù)的取值范圍為。12分21．（本小題滿分分）已知函數(shù)。（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）是否存在最小的正常數(shù)，使得：當時，對于任意正實數(shù)，不等式恒成立？給出你的結論，并說明結論的合理性?！窘馕觥浚?）函數(shù)的定義域為，，令，解得，2分當時，，∴在上單調(diào)遞減，3分當時，，∴在上單調(diào)遞增；4分（2）存在，理由如下：，5分構造函數(shù)，定義域為，則，6分令，定義域為，，顯然是減函數(shù)，且，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而，8分，，∴在區(qū)間和上各有一個零點，分別為和，并且在區(qū)間和上，即，在區(qū)間上，即，從而可知在區(qū)間和上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，當時，，時，，而是函數(shù)的極大值，則題目要求的，理由如下：當時，對于任意非零整數(shù)，，而在上單調(diào)遞減，∴恒成立，說明，當時，取，則且，題目中的不等式不能恒成立，∴說明不能比小，11分綜合可知，題目要求的最小正常數(shù)為，即存在，當時，對于任意正實數(shù)，不等式恒成立。12分22．（本小題滿分分）已知函數(shù)（）。（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）設函數(shù)有兩個極值點、（），證明：?！窘馕觥浚?）的定義域為，，1分設，令，，①當時，，恒成立，在上單調(diào)遞減，②當時，，的個根為、，，當或時，，在和上單調(diào)遞減，當時，，在上單調(diào)遞增，③當時，，的個根為、，，當時，，在上單調(diào)遞增，當時，，在上單調(diào)遞減；4分（2）∵有兩個極值點、，∴由（1）可知，且、，∴，要證，即證，只需證，，7分令，定義域為，則，令，則恒成立，∴在上單調(diào)遞減，又、，由零點存在性定理得，使得，即，∴當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，則在處取得極大值也是最大值為：，10分令，，則當時，，∴在在上單調(diào)遞增，∴，∴，即。12分【點睛】隱零點問題求解三步曲：（1）用函數(shù)零點存在定理判定導函數(shù)零點的存在性，列出零點方程，并結合的單調(diào)性得到零點的取值范圍；（2）以零點為分界點，說明導函數(shù)的正負，進而得到的最值表達式；（3）將零點方程適當變形，整體代入最值式子進行化簡證明，有時（1）中的零點范圍還可以適當縮小。遼寧省部分重點中學協(xié)作體2023-2024學年第一學期高三開學測試卷C一、單選題：12345678CBAADDCC二、多選題：9101112ADADBCABC三、填空題：13141516四、解答題：17．解：（1）由圖像可得，，解得，2分，解得，，∵，∴，∴；4分（2）由題意可知，6分令，解得，，∴函數(shù)的圖像的對稱軸方程為，，8分令，解得，，∴函數(shù)的圖像的對稱中心坐標為，。10分18．解：（1）∵，∴，又恒成立，∴，2分∵，∴，又恒成立，∴，4分∴，∴，∴；5分（2）∵，∴，又恒成立，∴，7分即，又由（1）可知，∴，解得；8分（3），∵，∴，10分∴當時，取得最大值為，∴，11分∴、，∴。12分19．解：（1），∴在上是增函數(shù)，2分∴，即，∴，4分∴為有界函數(shù)，所有上界的集合為；5分（2），在上是以為上界的有界函數(shù)，∴在上恒成立，7分∴在上恒成立，9分而的在定義域上的最大值為，在定義域上的最小值為，∴，則實數(shù)的取值范圍為。12分20．解：（1）的定義域為，，1分∵，，∴，；3分（2）由（1）可知，，設（），，4分，當時，，∴在上單調(diào)遞增，∴，∴在上單調(diào)遞增，∴，∴；6分（3）設，定義域為，，從（2）可