第三章插值與逼近本章主要內(nèi)容：1、拉格朗日插值方法2、牛頓插值方法3、埃爾米特插值方法4、曲線擬合作用：由物理量離散的分布近似得到其連續(xù)的變化規(guī)律。第三章插值與逼近本章主要內(nèi)容：作用：由物理量離散的分布1

實(shí)際問題中經(jīng)常要涉及到函數(shù)值的計(jì)算問題：（1）如果函數(shù)表達(dá)式本身比較復(fù)雜，且需要多次重復(fù)計(jì)算時(shí)，計(jì)算量會(huì)很大；（2）有的函數(shù)甚至沒有表達(dá)式，只是一種表格函數(shù)，而我們需要的函數(shù)值可能不在該表格中。對于這兩種情況，我們都需要尋找一個(gè)計(jì)算方便且表達(dá)簡單的函數(shù)來近似代替，這就是插值問題。

問題背景問題背景2第一節(jié)引言定義：已知定義于區(qū)間上的實(shí)值函數(shù)在個(gè)互一、問題的引出異節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值，這里構(gòu)造一個(gè)函數(shù)P(x)，滿足（1）作為函數(shù)y=f(x)的近似，稱這樣的問題為插值問題。滿足關(guān)系式（1）的P(x)為f(x)的插值函數(shù)，f(x)為被插值函數(shù)，[a,b]為插值區(qū)間，為插值節(jié)點(diǎn)，（1）式為插值條件。第一節(jié)引言定義：已知定義于區(qū)間上的實(shí)值函數(shù)3插值類型代數(shù)插值：插值函數(shù)P(x)為多項(xiàng)式函數(shù)x0x1x2x3x4xP(x)

f(x)幾何意義：有理插值：插值函數(shù)P(x)為有理分式函數(shù)三角插值：插值函數(shù)P(x)為三角函數(shù)按照所選取的差值函數(shù)的類型，可將插值分為插值類型代數(shù)插值：插值函數(shù)P(x)為多項(xiàng)式函數(shù)x0x1x24二、插值多項(xiàng)式的存在唯一性設(shè)插值多項(xiàng)式為代入插值條件：要證插值多項(xiàng)式存在唯一，只要證上述n+1元線性方程組的解存在唯一。由于系數(shù)行列式二、插值多項(xiàng)式的存在唯一性設(shè)插值多項(xiàng)式為代入插值條件：要證插5是范德蒙行列式定理3-1：滿足插值條件(1)的不超過n次的插值多項(xiàng)式是唯一存在的.因此方程組存在唯一解。從而有下述定理注：由定理知，要得到n次的插值多項(xiàng)式，必須給定關(guān)于函數(shù)f(x)的n+1個(gè)條件！是范德蒙行列式定理3-1：滿足插值條件(1)的不超過n次6一、線性插值(n=1)第二節(jié)拉格朗日插值首先從低次的代數(shù)插值談起————構(gòu)造，使?jié)M足設(shè)由第一節(jié)的知識可求出或一、線性插值(n=1)第二節(jié)拉格朗日插值首先從低次的7其中并稱是的插值基函數(shù)，他們具有如下性質(zhì)：注意：只與插值節(jié)點(diǎn)有關(guān)，而與函數(shù)值無關(guān)！！其中并稱是8二、拋物插值(n=2)構(gòu)造，使?jié)M足：此時(shí)有三個(gè)插值節(jié)點(diǎn)，仿照前一情形，這里稱為二次插值基函數(shù)，只與有關(guān)，且滿足：由插值條件可求得類似的，所要尋求的多項(xiàng)式可以寫成如下形式二、拋物插值(n=2)構(gòu)造，使9三、拉格朗日多項(xiàng)式niyxPiin,...,0,)(==求n次多項(xiàng)式使得條件：無重合節(jié)點(diǎn)，即n=1已知x0

,x1

;

y0

,

y1

，求使得111001)(,)(yxPyxP==可見P1(x)是過(x0

,y0)和(x1,y1

)兩點(diǎn)的直線。)()(0010101xxxxyyyxP---+=101xxxx--010xxxx--=y0

+y1l0(x)l1(x)

==10)(iiiyxl三、拉格朗日多項(xiàng)式niyxPiin,...,0,)(==求10與有關(guān)，而與無關(guān)n

1希望找到li(x)，i=0,…,n使得

li(xj)=

ij；然后令

==niiinyxlxP0)()(，則顯然有Pn(xi)=

yi

。li(x)每個(gè)li(x)

有n個(gè)根x0…

xi-1

、

xi+1…xn

-==j

ijiiiixxCxl)(11)(拉格朗日多項(xiàng)式節(jié)點(diǎn)f與有關(guān)，而與無關(guān)n1希望找11若記若記12例如也是一個(gè)插值多項(xiàng)式，其中可以是任意多項(xiàng)式。（2）拉格朗日插值多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)對稱，形式簡單.（3）誤差估計(jì)注：（1）若不將多項(xiàng)式次數(shù)限制為n

，則插值多項(xiàng)式不唯一。（4）當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)增加時(shí)，拉氏基函數(shù)需要重新計(jì)算，

n

較大時(shí)，計(jì)算量非常大，故常用于理論分析。例如13測試:給定xi=i+1,i=0,1,2,3,4,5.下面哪個(gè)是l2(x)的圖像？

y

0

-

-

-

1

0.5

-0.5

1

2

3

4

5

6

x

y

0

-

-

-

1

0.5

-0.5

1

2

3

4

5

6

x

y

0

-

-

-

1

0.5

-0.5

1

2

3

4

5

6

x

ABC

測試:給定xi=i+1,i=0,1,2,14例1：已知分別利用sinx的1次、2次Lagrange插值計(jì)算sin50

并估計(jì)誤差。解：n=1分別利用x0,x1以及x1,x2計(jì)算

利用這里而

sin50=0.7660444…)185(50sin10

pL0.77614外插

/*extrapolation*/的實(shí)際誤差0.0101

利用sin50

0.76008,內(nèi)插

/*interpolation*/的實(shí)際誤差0.00596例1：已知分別利用sinx的1次、2次Lagrang15高次插值通常優(yōu)于低次插值n=2)185(50sin20

pL0.76543

sin50=0.7660444…二次插值的實(shí)際誤差0.00061但絕對不是次數(shù)越高就越好，嘿嘿……高次插值通常優(yōu)于低次插值n=2)185(50sin2016第二節(jié)

牛頓插值拉格朗日插值雖然易算，但若要增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)，全部基函數(shù)li(x)都需重新算過。將Ln(x)改寫成的形式，希望每加一個(gè)節(jié)點(diǎn)，只附加一項(xiàng)上去即可。????一、差商1階差商2階差商已知函數(shù)f(x)在n+1個(gè)互異節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值，稱第二節(jié)牛頓插值拉格朗日插值雖然易算，但若要增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)1711101010111010],,...,[],,...,[],,...,[],...,,[],...,[++--+++--=--=kkkkkkkkkkkxxxxxfxxxfxxxxxfxxxfxxf(k+1)階差商：差商的值與節(jié)點(diǎn)xi的順序無關(guān)！即f(x)的k階差商的差商稱為f(x)的k+1階差商。此外補(bǔ)充定義，為零階差商。11101010111010],,...,[],,...,[18三、差商性質(zhì)性質(zhì)1即其中證明：用數(shù)學(xué)歸納法n=1n=2三、差商性質(zhì)性質(zhì)1即其中證明：用數(shù)學(xué)歸納法n=1n=19由數(shù)學(xué)歸納法知，結(jié)論成立。由數(shù)學(xué)歸納法知，結(jié)論成立。20性質(zhì)3此性質(zhì)給出了n階差商和n階導(dǎo)數(shù)的關(guān)系。性質(zhì)2差商具有對稱性，即的值與節(jié)點(diǎn)的順序無關(guān)。由性質(zhì)1即得。性質(zhì)3此性質(zhì)給出了n階差商和n階導(dǎo)數(shù)的關(guān)系。性質(zhì)2差21三、牛頓插值已知定義于區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)在個(gè)互異節(jié)點(diǎn)n次拉格朗日插值多項(xiàng)式可表示為：其中處的函數(shù)值三、牛頓插值已知定義于區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)在2212…………n+11+(x

x0)

2+……+(x

x0)…(x

xn1)

n+1Nn(x)Rn(x)3牛頓插值多項(xiàng)式由差商的定義12…………n+11+(xx0)2+…23注：

由唯一性可知Nn(x)

Ln(x)，只是算法不同，故其余項(xiàng)也相同，即

計(jì)算牛頓插值多項(xiàng)式關(guān)鍵是計(jì)算差商f[x0,x1]f[x1,x2]…………f[xn1,xn]f[x0,x1,x2]……f[xn2,xn1,xn]f[x0,…,xn]

xn+1

f(xn+1)f[xn,xn+1]f[xn1,xn,xn+1]f[x1,…,xn+1]f[x0,…,xn+1]f(x0)f(x1)f(x2)…f(xn1)f(xn)x0x1x2…xn1xn（建立差商表）注：由唯一性可知Nn(x)Ln(x)，只是算法24例2：已知函數(shù)的函數(shù)表：

xi12345yi=f(xi)14786寫出4次牛頓插值多項(xiàng)式解：構(gòu)造差商表例2：已知函數(shù)的函數(shù)表：25四、差分等距節(jié)點(diǎn)插值公式

當(dāng)節(jié)點(diǎn)等距分布時(shí):稱為在點(diǎn)處的階向前差分稱為在點(diǎn)處的階向后差分稱為在點(diǎn)處的階中心差分向前差分向后差分中心差分四、差分等距節(jié)點(diǎn)插值公式當(dāng)節(jié)點(diǎn)等距分布時(shí):稱為在點(diǎn)26

差分性質(zhì)性質(zhì)1差分與差商的關(guān)系其中證明：用數(shù)學(xué)歸納法k=1當(dāng)k=j+1設(shè)k=j時(shí)結(jié)論成立差分性質(zhì)性質(zhì)1差分與差商的關(guān)系其中證明：用數(shù)學(xué)歸納法27即性質(zhì)1對任意整數(shù)k成立性質(zhì)2差分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系其中存在證明：且即性質(zhì)1對任意整數(shù)k成立性質(zhì)2差分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系其中存在證28性質(zhì)3其中數(shù)學(xué)歸納法（自己證）性質(zhì)4（補(bǔ)充）

線性性質(zhì)：

若f(x)是

m次多項(xiàng)式，則是次多項(xiàng)式，而

函數(shù)值可由差分值算出：性質(zhì)3其中數(shù)學(xué)歸納法性質(zhì)4（補(bǔ)充）