#/14一.二種常見(jiàn)旳連續(xù)隨機(jī)變量1.均勻分布a<x<bx電[a,b]稱(chēng)X服從［a，b］上的連續(xù)r.va<x<bx電[a,b]稱(chēng)X服從［a，b］上的0,均勻分布，記X?U(a,b)?0,分布函數(shù):F(x)=Ixf(t)dt—ax一ab一a1,J(x)1b—a2.指數(shù)分布九e—九x,常數(shù)九>0,X具有概率密度f(wàn)(x)=10

x>0xv0,稱(chēng)X服從參數(shù)為幾的指數(shù)分布，記1—e—九x,0,作1—e—九x,0,分布函數(shù)F(x)=Lf(t)dt=—g背景：X與“壽命”有關(guān)?各種動(dòng)物群體的壽命、一個(gè)民族中人的壽命、各種元器件的壽命等.例如，已知某種電子元件的壽命X(年)服從參數(shù)為“1,5的指數(shù)分布，X?Exp(1,5),概率密1—e—x5,0,”1一..>0度函數(shù)是f(x)=1x-,分布函數(shù)F(x)=L1—e—x5,0,0,xv0—g電子元件的壽命在8年以上的概率為：P{X>8}=1—P{Xv8}=1—F(8)=1—［1—e-85］=e-85=0.2019

止態(tài)分布1-(x-卩)2X具有概率密度f(wàn)(x)—洱o?e2門(mén)，x&R,其中-〉0和卩為常數(shù)，稱(chēng)X服從參數(shù)為卩、02的正態(tài)分布，記X?N(卩,o2)?圖形y=f(x)的特點(diǎn)：10?曲線關(guān)于直線x=卩對(duì)稱(chēng).Vh〉0,有p{R—h<X<h}=p{P<X<卩+h}?12o?當(dāng)X=卩時(shí)，f(X)取最大值f(卩)=〒一?曲線以X軸為水平漸近線.2兀o30?固定°，改變卩時(shí)，曲線平移.4o?固定卩，改變°時(shí)，°變小，曲線變尖；°變大，曲線變平坦.分布函數(shù)F(x)="f⑴dt=莎丿：e「")2(2°2)dt當(dāng)卩當(dāng)卩=0,°=1時(shí)，稱(chēng)為X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記X?N(0,1)；甲(x)=__1e-x22并記麗，次x)=尹次x)=尹(xeR)—g附表1,(卩284)可查函數(shù)值①(x),x-0?①(0)=0.5；當(dāng)x〉6.0時(shí)，①(x)沁1；當(dāng)x<0時(shí)，①(x)=1—①(—x)?(查幾個(gè)數(shù)據(jù))定理2.3.1?若X?N(卩，°2),貝yY=蘭〒匕?N(0,D.

Jy卜P{X<Qy+卩}證：Y的分布函數(shù)Fy(yJy卜P{X<Qy+卩}=1卜y+卩e-(t)2/(2q2)dts=Q-i(t—卩)1Jye-s2/2ds=0(y)t=os+“?:fY(y)t=os+“?:fY(y)=FY(y)(y),y?n(0,1).F(x)=P{X<x}=P<〔X-H<x-H【“fx—H、〔QQJkQ丿設(shè)X?N(卩,Q2),—①?gòu)Sa—H、P{a<X<b}=F(b)—F(a)=①]b_『IQ丿例2?例2?設(shè)X?N(1,9),卩二1,Q=3,P{0<X<4}=①—①二①⑴—①(—0.333)二①(1)—[1—①(0.333)]二0.8413+0.6293—1二0.4706f2—1)P{X〉2}=1—P{X<2}=1—①=1—0.6293=0.3707；I3丿’=1—0.5+[1—0.7486]=0.7514〉1}=1—p{XI<1}=1—P{—1<=1—0.5+[1—0.7486]=0.7514I3丿若P{X〉c}=P{X<c}，則2P{X<c}=1,P{X<c}“㈡卜0.5訥0)k3丿=0,例3?假設(shè)在設(shè)計(jì)公共汽車(chē)車(chē)門(mén)的高度時(shí)，要求男子的碰頭機(jī)會(huì)在1%以下.設(shè)男子的身高X(cm)服從正態(tài)分布，X?N(170,36)，問(wèn)車(chē)門(mén)高度至少應(yīng)為多少?解：設(shè)車(chē)門(mén)高度為xcm,按要求P{X〉x}<0.01,即P{X〉x}=1—P{X<x}1—①?gòu)Sx—170、<0.01①[x—170)k6丿9k6丿〉0.99=①(2.326),x〉183.96cm時(shí)，能滿足碰頭機(jī)會(huì)在1%以下的要求.背景：在自然界和社會(huì)現(xiàn)象中的正態(tài)變量.r分布(略)2.4隨機(jī)變量函數(shù)的分布

x是隨機(jī)變量，y=g(X)，連續(xù)?則y=g(x丿也是八以?有時(shí)需要田x的分布(已知)去廠1“確定Y的分布?例如，已知氧氣分子運(yùn)動(dòng)速率V的分布，要確定其動(dòng)能E=2mV2的分布.例2.已知X的概率密度函數(shù)為例2.已知X的概率密度函數(shù)為f(x)=</■兀20,0<X<兀其他，求Y=sinX的概率密度函數(shù).解：先求y的分布函數(shù)fy(y)解：先求y的分布函數(shù)fy(y)，再求其概率密度函數(shù)f(y)=FY(y)?X取值［0,“］，Y取值［0,1］?分(7,0),[0,1],(1,+8)討論.(1)當(dāng)y<0,F(y)=P{Y<y}=P@)=0；⑵當(dāng)0<y<1,F(y)=P{sinX<y}=P{0<X<arcsiny}+戶{兀一arcsiny<X<兀}2x=Iarcsiny0f2x2dx+JKdx=arcsiny兀2冗-arcsiny兀2y⑶當(dāng)y〉1,F(y)=P{sinX<y}=P(Q)=1.0,廠/、2arcsin0,廠/、2arcsiny

fy(y)=H^-1,2f(y)=F(y)=卜Jl-y2YY*0,o<y<1其他(統(tǒng)計(jì)物理學(xué))?離散隨機(jī)變量函數(shù)的分布例1.已知X具有分布律X一10123P%%0%0%0%0求Y=.X的分布律.解：Y=X取值0,1,2,3.Y0123PXo%0%0%o二?連續(xù)隨機(jī)變量函數(shù)的分布求Y=X2的概率密度函數(shù).例3.設(shè)X具有概率密度函數(shù)f(x),(求Y=X2的概率密度函數(shù).解：先求Fy(y)，再求fY(y)=F；(y)?

X取值(一^，十e丿，Y取值［0,+8丿?分(—8,0),LU,十8丿討論.(1)當(dāng)y<0,F(y)=P{X2<y}=P?)=0；⑵當(dāng)y>0,Fy(y)=P{X2<y}=P{—J亍<X<=Jy_f(x)dx=Lyf(x)dx—J—yf(x)dx?—\y00fy(y)=Jyf(x)dx—J-fy(y)=f(y)f(y)=F；(y)=<2.訂1—十[fQ亍)+f(-訂)]f(x)詁e-“f(x)詁e-“得Y=X2的概率密度為特別，若X?N(0,1),fY(y)=ifX[h(y)]|h(y)|,0,a<y<P其他稱(chēng)Y服從自由度為1的咒2分布，記Y?％2(1)?定理2.4.1.隨機(jī)變量X具有概率密度函數(shù)fX(x),(xeR)?y=g(x)處處可導(dǎo)，g'(x)〉0X(或gg(x)<0)，即g(x)嚴(yán)格單調(diào).則Y=g(X)也是連續(xù)隨機(jī)變量，概率密度為其中x=h(y)為y=g(x)的反函數(shù)，a=min{g(—8),g(+8)},卩二max{g(—e),g(+e)}.(證略)例4.設(shè)X?N(卩,c2)，試證明線性函數(shù)Y=aX十b(a豐0)也服從正態(tài)分布.1.-?f(x)=-e—(x—卩)2,；(2c2),xeR證:—：x.莎c?證:y—by=g(x)=ax+b嚴(yán)格單調(diào)，x=h(y)=——,1(