2、傅里葉逆變換的確定有時是很困難的，因此使傅里葉變換的應(yīng)用受到限制。3、它只能求出系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，零輸入響應(yīng)還得用其他方法確定。在這一章中將通過把頻域中的傅里葉變換推廣到復(fù)頻域來解決這些問題----即拉普拉斯變換。應(yīng)用拉普拉斯變換進行系統(tǒng)分析的方法，同樣是建立在線性時不變系統(tǒng)具有疊加性和齊次性的基礎(chǔ)上的，只是信號分解的基本單元函數(shù)不同。因此這兩種變換，無論在性質(zhì)上或是在進行系統(tǒng)分析的方法上都有著很多類似的地方。事實上，傅里葉變換可看成是拉普拉斯變換的一種特殊情況。2、傅里葉逆變換的確定有時是很困難的，因此使傅里3、它只能求1在頻域分析中，以為基本信號，在復(fù)頻域分析中，以為基本信號，復(fù)數(shù)其中因此，傅立葉變換是拉普拉斯變換的一個特例。拉普拉斯變換是傅立葉變換的推廣。由于當(dāng)本章共四節(jié)：拉普拉斯變換；拉普拉斯變換的性質(zhì)；拉普拉斯逆變換；復(fù)頻域分析；在頻域分析中，以為基本信號，在復(fù)頻域分析中，以為基本信號，2一、從傅里葉變換到拉普拉斯變換那么，能不能將這些信號乘上一個衰減因子，這樣它就可能滿足絕對可積條件？正是這種想法，引出了拉普拉斯變換。如：一個指數(shù)增長的信號顯然不滿足絕對可積條件，且它的傅里葉變換是不存在的。5．1拉普拉斯變換對任意信號乘以一個衰減因子,適當(dāng)選取的值使當(dāng)時,信號幅度趨于0，從而使其滿足絕對可積的條件：一、從傅里葉變換到拉普拉斯變換那么，能不能將這些信號乘上一3例如不滿足絕對可積的條件。只要滿足絕對可積的條件。又如也不滿足絕對可積的條件。只要滿足絕對可積的條件。例如不滿足絕對可積的條件。只要滿足絕對可積的條件。又如也不滿4上述積分結(jié)果是的函數(shù)，令其為即：假設(shè)滿足絕對可積條件，則由傅立葉逆變換得：?收斂上述積分結(jié)果是的函數(shù)，令其為5令，為實數(shù)，則于是上面兩個式子變?yōu)椋?式稱為雙邊拉普拉斯變換對；稱為的雙邊拉氏變換（或象函數(shù)）；稱為的雙邊拉氏逆變換（或原函數(shù)）。令，為實數(shù)，則6二、收斂域如前所述，選擇適當(dāng)?shù)闹挡趴赡苁節(jié)M足絕對可積,才可使(1)式積分收斂，信號的雙邊拉普拉斯變換存在。通常把滿足絕對可積的值的范圍稱為收斂域。?收斂二、收斂域如前所述，選擇適當(dāng)?shù)闹挡趴赡苁?我們先來研究兩種信號：（1）因果信號（2）反因果信號?收斂我們先來研究兩種信號：（1）因果信號（2）反因果信號?收斂8例5.1-1設(shè)因果信號求其拉氏變換。解：收斂域例5.1-1設(shè)因果信號求其拉氏變換。解：收斂域9可見對于因果信號，僅當(dāng)時，其拉氏變換才存在。其收斂域為。在以為橫軸，為縱軸的平面（復(fù)平面），是一個區(qū)域，稱為拉普拉斯變換的收斂域或象函數(shù)的收斂域。如下圖所示。因果函數(shù)的收斂域S平面收斂邊界可見對于因果信號，僅當(dāng)10例5.1-2設(shè)反因果信號為實數(shù)，求其雙邊拉氏變換。解：收斂域例5.1-2設(shè)反因果信號為實數(shù)，求其雙邊拉氏變換。11可見對于反因果信號，僅當(dāng)時，其拉氏變換才存在。其收斂域為。如圖所示。反因果函數(shù)的收斂域S平面可見對于反因果信號，僅當(dāng)12如果一個雙邊函數(shù)其雙邊拉氏變換為如果，當(dāng)然存在共同的收斂域，收斂域是帶狀區(qū)域;如果則沒有共同的收斂域，不存在。雙邊函數(shù)的收斂域如果一個雙邊函數(shù)其雙邊拉氏變換為如果13因果函數(shù)的收斂域反因果函數(shù)的收斂域雙邊函數(shù)的收斂域因果函數(shù)的收斂域反因果函數(shù)的收斂域雙邊函數(shù)14當(dāng)收斂域包含虛軸時，拉氏變換與傅氏變換同時存在，將代入即可得其傅氏變換。雙邊拉氏變換便于分析雙邊信號,但其收斂條件較為苛刻,這也限制了它的應(yīng)用單邊拉氏變換當(dāng)收斂域包含虛軸時，拉氏變換與傅氏15實際用到的信號都有初始時刻，不妨設(shè)其為坐標(biāo)原點，這樣，時，從而拉氏變換可寫成單邊拉普拉斯變換本章僅討論單邊拉普拉斯變換，單邊拉普拉斯變換簡稱為拉普拉斯變換或拉氏變換。這里0是指三、（單邊）拉普拉斯變換實際用到的信號都有初始時刻，不妨設(shè)其為坐標(biāo)原單邊拉普拉斯變換16的拉氏變換簡記為:逆變換簡記為:其變換與逆變換也簡記為:1、拉普拉斯變換的符號表示的拉氏變換簡記為:逆變換簡記為:17為了使存在，積分式必須收斂。對此有如下定理：若因果函數(shù)滿足：（2）存在某個有(1)在有限區(qū)間內(nèi)可積。那么對于，拉氏積分收斂。2．收斂域（單邊拉氏變換存在條件）我們稱為指數(shù)階的。其中為了使存在18(1)在有限區(qū)間內(nèi)可積。條件1表明，可以包含有限個間斷點，只要求它在有限區(qū)間可積。（2）存在某個有滿足條件2，且有界，其拉氏變換存在滿足條件2，但無界，其拉氏變換不存在說明：(1)在有限區(qū)間內(nèi)19(1)在有限區(qū)間內(nèi)可積。條件2表明，可以是隨t的增大而增大的，只要它比某些指數(shù)函數(shù)增長的慢即可。（2）存在某個有滿足條件1，但不滿足條件2，其拉氏變換不存在說明：滿足條件1，且選，有其拉氏變換存在(1)在有限區(qū)間內(nèi)20再例如：

增長比任何指數(shù)階都快，所以不存在拉氏變換。而再例如：增長比任何21定理表明，滿足條件1和2的因果函數(shù)存在拉氏變換，其收斂域為以右，即的半平面，而且積分是一致收斂的(1)在有限區(qū)間內(nèi)可積。（2）存在某個有說明：定理表明，滿足條件1和2的因果函數(shù)存在拉氏變換，22另外，要注意還有一類信號：時限信號——收斂域時限信號的收斂域為整個平面。即時限信號對于任何都有另外，要注意還有一類信號：時限信號——收斂域時限信號的收斂域23例5.1-3求的象函數(shù)。解：這個信號顯然是可積的，且對于任何都有所以收斂域是整個S平面。3．常用信號的拉氏變換

例5.1-3求的象函數(shù)。解：這個信號顯然是可積的，且24例5.1-4求、的象函數(shù)。解：，均為時限信號，所以收斂域為整個平面。例5.1-4求、25例5.1-5求復(fù)指數(shù)函數(shù)的象函數(shù)。式中為復(fù)常數(shù)

解：例5.1-5求復(fù)指數(shù)函數(shù)26特例：特例：27

28**.收斂域簡單記憶法：其中為所有極點的實部的最大值。的收斂域為：**.由于單邊拉氏變換的積分區(qū)間是，所以，與的拉氏變換相同。為簡便，時間函數(shù)中的也常略去不寫。**.收斂域簡單記憶法：其中為291.在頻域分析中，以為基本信號，在復(fù)頻域分析中，以為基本信號，復(fù)數(shù)其中因此，傅立葉變換是拉普拉斯變換的一個特例。拉普拉斯變換是傅立葉變換的推廣。由于當(dāng)拉氏變換與傅里葉變換比較:1.在頻域分析中，以為基本信號，在復(fù)頻域分析中，以為基本信302.拉氏