2020-2021高一數(shù)學沖刺第一周周練模擬卷02

試卷滿分：150分考試時長：120分鐘

注意事項：

1.本試題滿分150分，考試時間為120分鐘.

2.答卷前務必將姓名和準考證號填涂在答題紙上.

3.使用答題紙時，必須使用0.5毫米的黑色簽字筆書寫，要字跡工整，筆跡清晰.超出答題

區(qū)書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效.

一、單項選擇題（本大題共8小題，共40.0分）

1.下列說法中錯誤的是（）

A.零向量沒有方向B.零向量與任何向量平行

C.零向量的長度為零D.零向量的方向是任意的

【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查向量的概念，屬于容易題.

根據(jù)零向量的定義一一判斷即可.

【解答】

解：據(jù)零向量的定義：模為零的向量為零向量判斷出C對，

對零向量的規(guī)定：零向量的方向是任意的；零向量與任何向量平行，

判斷出8,。對，判斷出A錯，

故選A.

2,給出下列命題:①零向量的長度為零，方向是任意的;②若方，石都是單位向量,則五=K；

③向量而與瓦?相等.則所有正確命題的序號是（）

A.①B.③C.①③D.①②

【答案】4

【解析】

【分析】

本題主要考查向量的基本概念，屬于基礎題.

根據(jù)零向量、單位向量、相等向量的概念可-一判斷.

【解答】

解：根據(jù)零向量的定義可知①正確；

根據(jù)單位向量的定義可知，單位向量的模相等，但方向不一定相同，故兩個單位向量不一定

相等，故②錯誤；

向量松與瓦4互為相反向量，故③錯誤.

故選A.

3.如圖所示，四邊形ABC。，CEFG,OCGH是全等的菱形，HE與CG

相交于點M，則下列關系中不一定成立的是（）

A.|AB|=|EF|

B.熊與麗共線

C.前與西共線

D.反與反共線

【答案】C

【解析】

【分析】

本題主要考查共線向量的概念，以及向量的模長，屬于基礎題.由菱形的性質(zhì)可得邊長的關

系，以及直線平行關系，進而得到答案.

【解答】

解：???三個四邊形是全等的菱形，

|AB|=|EF|-AB//CD//FH

故源與而共線，

又。，C,E三點共線，

玩與前共線，

--.A,B,D一定成立.

故選C.

4.已知泉6是平面向量，下列命題正確的是（）

A.若同=|b|=1,貝信=bB.若同＜|b|,貝萬＜b

c.若m+6=6,則m〃己D.零向量與任何非零向量都不共線

【答案】c

【解析】

【分析】

本題考查了平面向量的概念及線性運算，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎題.

根據(jù)向量的知識，逐項排除即可.

【解答】

解：對于A選項，向量方向不相同則向量不相等，選項A錯誤；

對于8選項，向量不能比較大小，選項B錯誤；

對于C選項，若五+工=0,則石=一五，??.]〃]，選項C正確；

對于D選項，零向量與任一向量共線，選項。錯誤；

故選C.

5.下列各式不能化簡為所的是（）

A.AB+（PA+BQ）B.（AB+PC）+（BA-QC）

C.QC-QP+CQD.PA+AB-JQ

【答案】。

【解析】

【分析】

本題考查了平面向量加法、減法運算，屬于基礎題.

由平面向量加法、減法運算，分別將A，B,C,。中的各式化筒，即可得正確答案.

【解答】

解：A項中，原式=同+方+麗=可+荏+麗=所；

8項中，原式=(AB+^+(PC-QC)=0+^+CQ=PQ-,

C項中，原式=近+而一9=6+可=所；

。項中，原式=而-的=麗+證。而.

故選。.

6.設非零向量區(qū)b,不滿足|磯=|b|=|不|,a+b=c'貝暇與b的夾角。為()

A.150°B.120°C.60°D.30°

【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查了平面向量數(shù)量積的應用，是基礎題，

利用數(shù)量積求向量的夾角即可.

【解答】

解：由|引=\b\=?且1+1=3

得|2+石|=

平方得同2+|郎+2五7=@2，

/.2a-b=-|a|2.

?1121a|?|K|-cos0=—|a|2>

???cos0=-

2

???0°<0<180°,

???e=120°.

故選B.

7.如圖，若四邊形ABC。是邊長為2的菱形，"力D=60。,

E,F分別為BC,CO的中點，|荏|=夜，則荏與品夾

角的余弦值為()

B.

14

C._1

2

D.1

2

【答案】4

【解析】

【分析】

本題考查向量的數(shù)量積、向量的夾角.

根據(jù)題意易得荏?而=2x2xcos60。=2，然后用而和而表示出荏?前，化簡整理即

可求出荏.EF.然后根據(jù)向量的夾角的公式即可得出答案.

【解答】

解：連接8C,由四邊形/WCD是邊長為2的菱形，ABAD=60°,

可得說?布=2X2Xcos60。=2，LBCD=60°,

因為E,F分別為BC,CO的中點，

所以EC=FC=1,所以AECF是等邊三角形，

所以|前|=1.

Ill1

AE-EF=(AB+-AD)--BD=-(AB+-AD)-(AD-AB)

=-(-AB2+-AD2+-AB-AD)=-(-4+-x4+ix2)=

2、2272k2272

設荏與前的夾角為仇則cose=需需=一二

\AE\\EF\14

故選4

8.在菱形ABCD中，^ABC=120°,AC=2遮,BM+^CB=0，DC=ADN^若宿?AN

29,則4=()

【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查了平面向量基本定理的應用問題，解題時應根據(jù)向量的加法與減法運算將向量進行

分解，屬于中檔題.

根據(jù)平面向量的基本定理，結合向量加法與減法的三角形法則，進行化簡運算即可.

【解答】

解：作出圖形，建立如圖所示的坐標系,

設N(x,y),因為4c=2h，4aBe=120。，故8。=2,

則4(一心0)，￡>(0,-1),C(V3,0)，

則麗=(￥1),DC=(V3,1)=AOW=A(x,y+1).

由題可知；l*0,

故N(亨3T)，

所以而7=(苧+g,?l),

故福?麗=J+4=29,

A

解得a=

故選ZX

二、多項選擇題(本大題共4小題，共20.0分)

9.下列結論正確的是()

A.已知兩個單位向量五，五的夾角為。，則氏在五方向上的投影為|心|cos8

B.若可，豆為單位向量，貝局2=直2

C.若京，可為單位向量，則可五=1

D.已知m=(l,-l)，b=(入1),若H與&的夾角a為鈍角，則實數(shù)二的取值范圍為入＜1.

【答案】AB

【解析】

【分析】

本題主要考查了向量的數(shù)量積、向量投影、單位向量，向量的夾角，屬于中檔題.

結合向量的數(shù)量積、向量投影、單位向量，向量的夾角，逐項分析可得答案.

【解答】

解：對于A選項，兩個單位向量瓦1,或的夾角為。，則可在石方向上的投影為IKICOS。=

iWlcos，故4選項正確；

對于8選項，若瓦，石為單位向量，則百2=|可|2=1,行2=|五|2=1=瓦巴故8選項正

確；

對于C選項，若耳，名為單位向量，但是夾角不確定，所以可能有百故c選項錯

誤；

對于。選項，已知1=(1,-1),b=(A,1)，若1與E的夾角a為鈍角，則cosa＜。且cosa豐-1,

8sa=1^i=而標＜d且兩行

解得;I＜1且；IH-1,

則實數(shù)；I的取值范圍為A＜1且;IW-1,故力選項錯誤.

故選AB.

10.引入平面向量之間的一種新運算“③”如下：對任意的向量，"=（Xi，yi）,〃=（&,丫2），

規(guī)定，Xi%2-丫1丫2，則對于任意的向量落b>C,下列說法正確的有（）

A.a0K=K?a

B.(Aa)?K=(a0b)

C.a.(K?c)=(a0K)-c

D.|a||b|>|a?K|

【答案】ABD

【解析】

【分析】

本題考查了在新定義下的運算與判斷和向量的有關運算，屬于基礎題.

利用條件中的定義規(guī)則逐個求解判斷即可.

【解答】

解：令胃=(m,n),b=(p,q)>c=(x,y)

因為五③b=mp-nq，b?a=pm—qn<

所以五③石=石<8)五，故A正確；

由4五=A(m,n)=(Am,An),

所以(2五)0/?=Xmq—Anp>A(a0h)=—np)=Amq-Anp>

所以(2五)③方=4位③及，故8正確;

a?(K?c)=a(px-</y)=(px-qy)a,

(a^b')-c=(mp—nq)c>故日不一定等于(五區(qū))&)々，故C錯誤；

因為(同間)2=(m2+n2)(p2+q2\,|a?b|2=(mp—nq)2>

(|a||b|)2—|a0K|2=(m2+n2)(p2+q2)—(mp—nq)2=(jnq—np}2>0>

J!iJ|a||h|>|a?K|,故。正確.

故選ABD.

11.下列說法錯誤的是（）

A.若位⑥下=蒼（九=

B.若五.石=石?云,且方力d,則丘=1

C.在/ABC中，^\BA+BC\=\AC\,則/ABC是直角三角形

D.已知行=(1,2)石=(2,4)，若方與石的夾角為銳角，則實數(shù);I的取值范圍是(—1,+8)

【答案】ABD

【解析】

【分析】

本題考查向量的數(shù)量積，向量的運算，以及向量的夾角，屬于中檔題.

根據(jù)向量的數(shù)量積，向量的線性運算以及向量的夾角公式逐一分析選項求解即可.

【解答】

解：對于選項A,0.9表示與向量H共線的向量，五(大？)表示與向量五共線的向量，故A

錯誤；

對于選項8,若萬.石=］々，且石羊6,則有石.(3-c)=0,此時可能有石10—1)或五=了兩

種情況，故B錯誤；

對于選項C,在A4BC中，由|瓦？+近|=|而j,可知|瓦？+近|=|阮一瓦？|，

兩邊平方可得就?瓦？=0,從而BC_LB4,則ZL4BC是直角三角形，故C正確；

對于選項。，百與萬的夾角為銳角，則0＜晶＜1,

即0(J焉＜1,解得;1＞一12；IW4,故。錯誤.

V51V4+AZ

故選ABD.

12.如圖，4x6的方格紙(小正方形的邊長為1)中有一個向量瓦？(以圖中的格點。為起點,

格點A為終點)，則()

A.分別以圖中的格點為起點和終點的向量中，與a是相反向量的共有11個

B.滿足|市-08|=國的格點B共有3個

C.存在格點B,C,使得引=~0B+0C

D.滿足力.南=1的格點B共有4個

【答案】BCD

【解析】

【分析】

本題考查單位、零、共線、相反、相等向量的概念、向量的模、平面向量的坐標運算以及向

量的數(shù)量積，屬于一般題.

逐一對各個選項進行判斷即可求出答案.

【解答】

解：建立如圖坐標系,

以一格長度為一個單位，則函=(1,2)，

則以圖中的格點為起點和終點的向量中，與a是相反向量的共有18個，故A錯誤;

設福=(久/)，其中無€N,yeN,

則由—而|="U可知(x-l)2+(y-2)2=10,

解之瞰：21或憂:需：F

即滿足|初一麗|=VTU的格點8共有3個，故8正確；

當成=(1,0),元=(0,2)時，OA=OB+OC，所以C正確；

設麗=(x,y)，其中x€N,yeN,則由亞?麗=1可知x+2y=1,

則滿足條件的格點B的坐標可以為(1,0)或(一1,1)或(一3,2)或(3,-1),

即滿足瓦不?麗=1的格點B共有4個，故。正確.

故選BCD.

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.已知非零向量落3滿足|方|=西|=|五一石|，則鬻=

【答案】V3

【解析】

【分析】

本題考查向量的概念及幾何表示，向量的模，向量的線性運算，屬于基礎題.

設立？=］，用=石，則冠=市+麗=4+3,反X=—而=五—石，^\a\=|h|=\a-

石I，得△OAB為正三角形，設其邊長為1,求得|1+方|,計算可得結論.

【解答】

解：如圖，設立？=五，OB=b，

則=M+南=2+石，BA=OA-OB=a-b-

v|a|=\b\=\a-b\>

BA=OA=OB.

???△。48為正三角形，設其邊長為1,

則|1一方|=|瓦?|=1，

\a+b\2=|a|2+\b\2+2\a\\b\cos^L0AB=3|a|2)則|五+B|=百，

.??幽=勺=6.

|a-b|1

故答案為

14.化簡(AB+Mfi)+(BO+BC)+(0M+CA)=

【答案】0

【解析】

【分析】

本題考查了向量的加法運算和相反向量的概念，屬于基礎題.

利用向量的加法運算得原式=旅+前+石？+麗，再利用相反向量的概念得結論.

【解答】

解：因為（而+而）+（前+后?）+（而+獷）

=（AB+BC）+（BO+OM）+（G4+麗）

=AC+^M+CA+MB=O.

故答案為在

15.設向量弓，石不平行，若向量;I五+至與方一23平行，則實數(shù)；I的值為.

【答案】W

【解析】

【分析】

本題考查了向量共線定理，考查了計算能力，屬于基礎題.

向量入五+石與五—2石平行，存在實數(shù)k使得，五+E=k@—2方），列出方程組即可得出最終

答案.

【解答】

解：,?響量4Z+3與3-23平行，

存在實數(shù)%使得4方+方=k（a-2by

化為（2-k）五+（1+2k）方=6，

?響量五,了不平行,

（A-k=O

"114-2^=0'

解得;1=_（

故答案為：-

16.如圖，在△4BC中，4B=3,AC=4,^BAC=60。,點。是A8的中點，點E滿足方=；說,

4

則亞?標的值是.

【答案】個

4

【解析】

【分析】

本題考查平面向量的數(shù)量積和向量的加減數(shù)乘運算，屬于中檔題.

由題意和向量的運算以及平面向量基本定理可得荏=ABAC代入要求的式子由數(shù)量

I8+^4,

積的運算可得答案.

【解答】

解：因為屈=:而，

所以而=前+屈=正+三而

4

=AC+^（AD-AC）=近+式萍一硝=萍+萍，

所以ACAE=AC-（^AB+-AC）=-AB-AC+-AC

、84784

=-3x3cx4.x-1+,-1x4.oz=—25.

8244

故答案為V.

4

四、解答題（本大題共6小題，共70.0分）

17.一輛消防車從A地去8地執(zhí)行任務，先從A地向北偏東30。方向行駛2千米到達。地,

然后從。地沿北偏東60。方向行駛6千米到達C地，從C地又向南偏西30。方向行駛2

千米才到達B地.

北12千米?

西A東

南

(1)在圖中畫出而，DC，CB,AB；

(2)求B地相對于A地的位移.

【答案】解：(1)向量同，DC，CB，四，如圖所示:

(2)由題意知而=BC，

所以AClBC,則四邊形A3CO為平行四邊形，

所以肉=DC.

則B地相對于A地的位移為“在北偏東60。的方向距A地6千米”.

【解析】本題考查向量的概念及幾何表示、向量相等的概念，屬于基礎題.

(1)根據(jù)題意直接畫即可；

(2)由題意知而=就.所以A￡)LBC,則四邊形ABC。為平行四邊形，得出而=反，即可

求出結果.

18.如圖，在菱形A8CD中，對角線AC,8。相交于。點，/.DAB=60°,分別以A,B,C,

D,。中的不同兩點作為向量的起點與終點.

(1)寫出與方彳平行的向量;

(2)寫出與萬?的模相等的向量.

【答案】解：(1)與麗平行的向量有力，前,CB;

(2)與面的模相等的向量有:

AD>BC>CB>AB>BA?DC>CD>BD，DB■

【解析】本題考查向量平行的概念、向量的模，屬于基礎題.

(1)根據(jù)向量平行的概念直接求即可;

(2)找出與a的模長相等的向量即可.

19.如圖，在平行四邊形ABCQ中，AC與BD交于點0,設點集S=｛48,C,D,。｝,集

合7=｛麗|M,NCS,且M,N不重合｝,試求集合T中元素的個數(shù).

【答案】解：由題意可知，從點A，B,C,D,。中任取2個不同的點作向量，共有20個,

分別為福AC，AD，A0,BA，BC，前，前，CA，CB，CD，CO,麗，而，DC，D0>

0A<族,0C>0D.

由平行四邊形的性質(zhì)可知，共有8對向量相等：AB=DC^AD='BC，DA=CB^BA=CD>

AO=0C，aA=C0<DO=~0B^~0D='B0.

因為集合中的元素具有互異性，所以集合「中的元素共有12個.

【解析】本題考查向量的相等的概念，以及集合中元素的性質(zhì).

先列出所有的向量，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)寫出所有相等的向量，根據(jù)集合中的元素具

有互異性即可得出答案.

20.如圖，在△OAB中，延長BA到C,使AC=BA,在OB上取

點D,使DB=[OB,DC與。4交點為E,設立？=五,而=石,

用落3表示向量能，DC.

【答案】解：因為4是8c的中點，所以稔=“而+元),

1-0C=2OA-OB=2a-b.

.：DC=OC-OD=2a-b-l