第第頁(yè)人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)5.3.2第1課時(shí)函數(shù)的極值同步練習(xí)(含解析)5.3.2函數(shù)的極值與最大(小)值

第1課時(shí)函數(shù)的極值

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

題組一函數(shù)極值的概念及其求解

1.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x),則“f'(x0)=0”是“x=x0是函數(shù)f(x)的一個(gè)極值點(diǎn)”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

2.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,導(dǎo)函數(shù)f'(x)的圖象如圖所示,則函數(shù)f(x)()

A.無(wú)極大值點(diǎn),有四個(gè)極小值點(diǎn)

B.有三個(gè)極大值點(diǎn),兩個(gè)極小值點(diǎn)

C.有兩個(gè)極大值點(diǎn),兩個(gè)極小值點(diǎn)

D.有四個(gè)極大值點(diǎn),無(wú)極小值點(diǎn)

3.(2023天津高二上期末)已知函數(shù)f(x)=lnx-x2,則f(x)()

A.有極小值,無(wú)極大值

B.無(wú)極小值,有極大值

C.既有極小值,又有極大值

D.既無(wú)極小值,又無(wú)極大值

4.函數(shù)f(x)=x+2cosx在上的極大值點(diǎn)為()

A.0B.C.D.

5.求下列函數(shù)的極值.

(1)f(x)=x3-3x2-9x+5;

(2)f(x)=-2;

(3)f(x)=x2-2lnx.

題組二含參函數(shù)的極值問(wèn)題

6.(2023海南?？诟叨掀谀?已知f(x)=lnx+(a≠0),則()

A.當(dāng)a0時(shí),f(x)存在極小值f(a)

D.當(dāng)a>0時(shí),f(x)存在極大值f(a)

7.(2023浙江湖州高二上期末)若函數(shù)y=ex-2mx有小于零的極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()

A.mD.00,b>0,且函數(shù)f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1處有極值,則ab的最大值等于()

A.2B.3C.6D.9

12.(2023云南昆明高三月考)已知函數(shù)f(x)=(x2-m)·ex,若函數(shù)f(x)的圖象在x=1處的切線斜率為3e,則f(x)的極大值是()

A.4e-2B.4e2C.e-2D.e2

13.(2023遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二上期末)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=n2+k+(n∈N*),則f(x)=x3-kx2-2x+1的極大值為()

A.B.3C.D.2

14.已知三次函數(shù)f(x)=mx3+nx2+px+2q的圖象如圖所示,則=.

15.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c在點(diǎn)x0處取得極小值-5,其導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,0),(2,0).

(1)求a,b的值;

(2)求x0及函數(shù)f(x)的表達(dá)式.

16.(2023山西呂梁高二上期末)已知函數(shù)f(x)=2x3+3ax2+3bx+c在x=1及x=2處取得極值.

(1)求a,b的值;

(2)若方程f(x)=0有三個(gè)不同的實(shí)根,求c的取值范圍.

深度解析

17.已知函數(shù)f(x)=ex(ax+b)-x2-4x,曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程為y=4x+4.

(1)求a,b的值;

(2)討論f(x)的單調(diào)性,并求出f(x)的極大值.

能力提升練

題組一函數(shù)極值的求解及其應(yīng)用

1.(2023湖南長(zhǎng)沙麓山國(guó)際學(xué)校高二上檢測(cè),)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?a,b),其導(dǎo)函數(shù)f'(x)在(a,b)內(nèi)的圖象如圖,則函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)的極小值點(diǎn)有()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

2.()已知函數(shù)f(x)=x3-px2-qx的圖象與x軸相切于(1,0)點(diǎn),則f(x)的極小值為()

A.0B.-C.-D.1

3.(多選)()如圖是函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)的圖象,則下面判斷正確的是()

A.f(x)在(-3,1)上是增函數(shù)

B.f(x)在(1,3)上是減函數(shù)

C.f(x)在(1,2)上是增函數(shù)

D.當(dāng)x=4時(shí),f(x)取得極小值

4.(2023北京大興高三上期末,)已知函數(shù)f(x)=-alnx.

(1)若曲線y=f(x)在x=1處的切線方程為x-2y+1=0,求a的值;

(2)求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[1,4]上的極值.

題組二含參函數(shù)的極值問(wèn)題

5.(2023福建泉州高三月考,)已知函數(shù)f(x)=ax3-bx+2的極大值和極小值分別為M,m,則M+m=()

A.0B.1

C.2D.4

6.(2023浙江杭州高三檢測(cè),)已知a>0且a≠1,則函數(shù)f(x)=(x-a)2lnx()

A.有極大值,無(wú)極小值

B.有極小值,無(wú)極大值

C.既有極大值,又有極小值

D.既無(wú)極大值,又無(wú)極小值

7.(2023湖南湘潭高三一模,)若函數(shù)f(x)=恰有三個(gè)極值點(diǎn),則m的取值范圍是()

A.

B.

C.

D.

8.(2023河北保定高二上期末,)已知x=1是函數(shù)f(x)=+x2的極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的值為.易錯(cuò)

9.(2023北京海淀高三上期末,)已知函數(shù)f(x)=ex(ax2+1)(a>0).

(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程;

(2)若函數(shù)f(x)有極小值,求證:f(x)的極小值小于1.

10.(2023江西高安中學(xué)高二上期末,)已知函數(shù)f(x)=x2-ax+lnx(a∈R).

(1)若f(x)在定義域上不單調(diào),求a的取值范圍;

(2)設(shè)a0時(shí),f(x)=(x-2e)lnx.若函數(shù)g(x)=f(x)-m存在四個(gè)不同的零點(diǎn),則m的取值范圍是(深度解析)

A.(-e,e)B.[-e,e]

C.(-1,1)D.[-1,1]

13.(2023山東濟(jì)寧高二上期末質(zhì)量檢測(cè),)已知點(diǎn)A,B為曲線y=上兩個(gè)不同的點(diǎn),A,B的橫坐標(biāo)x1,x2是函數(shù)f(x)=ax2-ax-lnx的兩個(gè)極值點(diǎn),則直線AB與橢圓+y2=1的位置關(guān)系是()

A.相離B.相切

C.相交D.不確定

14.(多選)()已知函數(shù)f(x)=xlnx+x2,x0是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn),則下列結(jié)論正確的是()

A.0

C.f(x0)+2x00

15.(多選)()已知函數(shù)f(x)=ax-lnx(a∈R),則下列說(shuō)法正確的是()

A.若a≤0,則函數(shù)f(x)沒(méi)有極值

B.若a>0,則函數(shù)f(x)有極值

C.若函數(shù)f(x)有且只有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

D.若函數(shù)f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,0]∪

16.(2023山東青島高三上期末,)已知函數(shù)f(x)=lnx-x+2sinx,f'(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù).求證:

(1)f'(x)在(0,π)上存在唯一零點(diǎn);

(2)f(x)有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn).

答案全解全析

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

1.B由極值點(diǎn)的定義可以得出,可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)為x0,則f'(x0)=0,必要性成立;反過(guò)來(lái)不成立.故選B.

2.C設(shè)y=f'(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)從左到右的橫坐標(biāo)依次為x1,x2,x3,x4,則f(x)在x=x1,x=x3處取得極大值,在x=x2,x=x4處取得極小值,故選C.

3.B由題可得,f'(x)=-x=(x>0),

當(dāng)x>1時(shí),f'(x)0,

所以f(x)在x=1處取得極大值,無(wú)極小值.

故選B.

4.B由題意得,f'(x)=1-2sinx,

令f'(x)=0,得x=,

當(dāng)00;

當(dāng)0,

∴當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)有極小值,極小值為f(1)=1,無(wú)極大值.

6.C由題意得,f'(x)=-=,且函數(shù)f(x)的定義域是(0,+∞).

當(dāng)a>0時(shí),令f'(x)>0,解得x>a,

令f'(x)0,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,無(wú)極值.故選C.

7.B由y=ex-2mx,得y'=ex-2m.由題意知ex-2m=0有小于零的實(shí)根,即ex=2m,得m=ex.∵x0),

所以g'(x)=-ax+(1-a)

=(x>0),

當(dāng)a≤0時(shí),因?yàn)閤>0,所以g'(x)>0.

所以g(x)在(0,+∞)上是單調(diào)遞增函數(shù),無(wú)極值.

當(dāng)a>0時(shí),g'(x)=,

令g'(x)=0,得x=或x=-1(舍去),

所以當(dāng)x∈時(shí),g'(x)>0;當(dāng)x∈時(shí),g'(x)0時(shí),函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是,

所以當(dāng)x=時(shí),g(x)有極大值g=-lna,

綜上,當(dāng)a≤0時(shí),函數(shù)g(x)無(wú)極值;

當(dāng)a>0時(shí),函數(shù)g(x)有極大值-lna,無(wú)極小值.

11.Df'(x)=12x2-2ax-2b,

∵f(x)在x=1處有極值,

∴f'(1)=12-2a-2b=0,∴a+b=6.

又a>0,b>0,∴a+b≥2,∴2≤6,

∴ab≤9,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=3時(shí)等號(hào)成立,

∴ab的最大值為9.

12.A因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=(x2-m)ex,所以f'(x)=ex(x2-m+2x),由函數(shù)f(x)的圖象在x=1處的切線斜率為3e,得f'(1)=e(1-m+2)=e(3-m)=3e,所以m=0.則f'(x)=ex(x2+2x)=ex(x+2)x,因?yàn)閑x>0,所以函數(shù)f(x)在(-∞,-2)上單調(diào)遞增,在(-2,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以函數(shù)f(x)的極大值為f(-2)=4e-2.故選A.

13.A由于等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式中,常數(shù)項(xiàng)為0,所以k+=0,所以k=-,所以f(x)=x3+x2-2x+1,所以f'(x)=3x2+x-2=(3x-2)(x+1),故函數(shù)f(x)在(-∞,-1)和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,故當(dāng)x=-1時(shí),f(x)取得極大值,為f(-1)=.故選A.

14.答案1

解析由題意得,m≠0,且f'(x)=3mx2+2nx+p,

由題圖可知,x=2是函數(shù)的極大值點(diǎn),x=-1是極小值點(diǎn),即2,-1是f'(x)=0的兩個(gè)根,

由

解得

∵f'(0)=p=-6m,f'(1)=p=-6m,

∴=1.

15.解析(1)由題意可得f'(x)=3x2+2ax+b.

∵f'(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(0,0),(2,0),

∴解得

(2)由(1)知f'(x)=3x2-6x,

令f'(x)>0,得x>2或x2時(shí),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,

當(dāng)10;當(dāng)x∈(-2,-ln2)時(shí),f'(x)0,當(dāng)x10,當(dāng)x30,所以x3不是極值點(diǎn),所以f(x)在(a,b)內(nèi)有1個(gè)極小值點(diǎn).故選A.

2.A由題知f'(x)=3x2-2px-q,f'(1)=3-2p-q=0,f(1)=1-p-q=0,

聯(lián)立解得

∴f(x)=x3-2x2+x,f'(x)=3x2-4x+1.

令f'(x)=3x2-4x+1=0,

解得x=1或x=,

經(jīng)檢驗(yàn)知x=1是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn),

∴f(x)極小值=f(1)=0.

3.CDf'(x)的圖象在(-3,1)上先小于0,后大于0,故f(x)在(-3,1)上先減后增,因此A錯(cuò)誤;f'(x)的圖象在(1,3)上先大于0,后小于0,故f(x)在(1,3)上先增后減,因此B錯(cuò)誤;由題圖可知,當(dāng)x∈(1,2)時(shí),f'(x)>0,所以f(x)在(1,2)上單調(diào)遞增,因此C正確;當(dāng)x∈(2,4)時(shí),f'(x)0,所以當(dāng)x=4時(shí),f(x)取得極小值,因此D正確.故選CD.

4.解析(1)因?yàn)閒(x)=-alnx,

所以f'(x)=-(x>0),

所以f'(1)=-a.

因?yàn)榍€y=f(x)在x=1處的切線方程為x-2y+1=0,所以-a=,解得a=0.

(2)f'(x)=-=.

①當(dāng)2a≤1,即a≤時(shí),f'(x)≥0在[1,4]上恒成立,

所以y=f(x)在[1,4]上單調(diào)遞增,

所以y=f(x)在[1,4]上無(wú)極值;

②當(dāng)2a≥2,即a≥1時(shí),f'(x)≤0在[1,4]上恒成立,

所以y=f(x)在[1,4]上單調(diào)遞減,

所以y=f(x)在[1,4]上無(wú)極值;

③當(dāng)10),令f'(x)=0,得x=a或2lnx+1-=0.作出g(x)=2lnx+1和h(x)=的圖象(圖略),

易知g(x)=2lnx+1和h(x)=的圖象有交點(diǎn),所以方程2lnx+1-=0有解,所以根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和極值的關(guān)系可得,函數(shù)f(x)=(x-a)2lnx既有極大值又有極小值,故選C.

7.A由題可知f'(x)=

當(dāng)x>0時(shí),令f'(x)=0,得-2m=,

令g(x)=,則g'(x)=,

則函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減,g(x)的圖象如圖所示,

所以當(dāng)01時(shí),f'(x)>0.

因此x=1是極小值點(diǎn),即a=2符合題意.

易錯(cuò)警示已知極值點(diǎn)求參數(shù)的值,先計(jì)算f'(x)=0,求得x的值,再驗(yàn)證極值點(diǎn).由于導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn),因此解題時(shí)要防止遺漏驗(yàn)證導(dǎo)致錯(cuò)誤.

9.解析(1)由已知得f'(x)=ex(ax2+2ax+1),因?yàn)閒(0)=1,f'(0)=1,

所以所求切線的方程為y=x+1.

(2)證明:f'(x)=ex(ax2+2ax+1),令g(x)=ax2+2ax+1,則Δ=4a2-4a.

(i)當(dāng)Δ≤0,即0所以函數(shù)f(x)在R上是單調(diào)遞增函數(shù),此時(shí)函數(shù)f(x)在R上無(wú)極小值.

(ii)當(dāng)Δ>0,即a>1時(shí),記x1,x2是方程ax2+2ax+1=0的兩個(gè)根,不妨設(shè)x10,a∈R).

①若f(x)在定義域上單調(diào)遞增,則f'(x)≥0,即a≤x+在(0,+∞)上恒成立,又x+∈[2,+∞),所以a≤2.

②若f(x)在定義域上單調(diào)遞減,則f'(x)≤0,即a≥x+在(0,+∞)上恒成立,又x+∈[2,+∞),所以a∈.

因?yàn)閒(x)在定義域上不單調(diào),所以a>2,所以a∈(2,+∞).

(2)由(1)知,要使f(x)在(0,+∞)上有極大值和極小值,必須滿(mǎn)足a>2.

又a0,當(dāng)-0時(shí),f'(x)=lnx+1-,f″(x)=+>0,故f'(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,因?yàn)閒'(e)=0,所以f(x)在(0,e)上單調(diào)遞減,在(e,+∞)上單調(diào)遞增.

f(x)的大致圖象如圖所示.

由g(x)=f(x)-m存在四個(gè)不同的零點(diǎn)知,直線y=m與y=f(x)的圖象有四個(gè)不同的交點(diǎn),故m∈(-e,e),故選A.

解題模板利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值問(wèn)題,常見(jiàn)的解題步驟是:求導(dǎo)、求駐點(diǎn)(令導(dǎo)數(shù)為0時(shí)方程的解)、列表、回答問(wèn)題,由表可得出函數(shù)的大致圖象,借助數(shù)形結(jié)合可解決函數(shù)的極值問(wèn)題.

13.C由f(x)=ax2-ax-lnx,

得f'(x)=ax-a-=,

因?yàn)锳,B的橫坐標(biāo)x1、x2是函數(shù)f(x)=ax2-ax-lnx的兩個(gè)極值點(diǎn),

所以x1、x2是方程ax2-ax-1=0的兩根,

因此

又點(diǎn)A,B為曲線y=上兩個(gè)不同的點(diǎn),所以kAB==-=a,

因此直線AB的方程為y-=a(x-x1),

即y=ax-ax1+=ax-ax1-ax2

=ax-a(x1+x2)=ax-a=a(x-1),

即直線AB恒過(guò)定點(diǎn)(1,0),

顯然點(diǎn)(1,0)在橢圓+y2=1內(nèi),因此直線AB與橢圓+y2=1必相交.故選C.

14.AD∵函數(shù)f(x)=xlnx+x2(x>0),

∴f'(x)=lnx+1+2x,

易得f'(x)=lnx+1+2x在(0,+∞)上單調(diào)遞增,f'=>0,

∵當(dāng)x→0時(shí),f'