-在線練習(xí)-考研量子力學(xué)分類模擬8考研量子力學(xué)分類模擬8

解答題

在一維定態(tài)束縛態(tài)問題中，哈密頓量西：，且，n為自然數(shù)．1.證明：指對一切可能態(tài)求和；

證明：由于

所以

因?yàn)?/p>

故

2.證明：，并給出系數(shù)anm；

證明：考察對易關(guān)系的矩陣元：

由于

故有

取，即證．

3.證明：

證明：在表達(dá)式中插入封閉性條件可得

將第二小題中結(jié)論代入上式可得

整理可得

4.證明：E1-E0≤4〈T〉0，其中E1，E0分別為系統(tǒng)第一激發(fā)態(tài)和基態(tài)能量，〈T〉0是在基態(tài)上動(dòng)能平均值．

證明：方法一：由第三問可得

將第一問中結(jié)論代入上式并取m=0有

所以

由第一問中結(jié)果知：，所以

所以

方法二：

故有：E1-E0≤4〈T〉0，

方法三：在第一問中用，代替，并取|m〉為基態(tài)，則有

所以有

在束縛態(tài)能量本征態(tài)中，動(dòng)量平均值為零，故其動(dòng)量平方平均值等于其均方差

由不確定原理，可得

所以有

5.設(shè)，α是附加量子數(shù)，用來完全標(biāo)志體系的狀態(tài)．設(shè)為任意厄米算符，證明下列求和規(guī)則：

其中|0〉為基態(tài)，E0為基態(tài)能量，

證明：

所以命題得證．

在一維空間中運(yùn)動(dòng)質(zhì)量為μ的粒子，哈密頓算符為6.證明：

證明：

所以

7.證明：

證明：因?yàn)?/p>

證畢．

8.設(shè)哈密頓具有下列完全基|n〉，對應(yīng)的本征值為En，〈0|eiλx|n〉為一矩陣元，這里|0〉表示任何一個(gè)分立能級本征矢量，試證明：

證明：由于

|〈0|eiλx|n〉|2=〈0|eiλx|n〉〈n|e-iλx|0〉或

|〈0|eiλx|n〉|2=〈0|e-iλx|n〉〈n|eiλx|0〉

所以

另一方面

結(jié)合上述兩表達(dá)式并利用第二問中結(jié)論可得

9.幺正算符可寫成，λ是一個(gè)無限小量，證明是厄米算符．

解：由于由題設(shè)可知，UU+=U+U=1．而

UU+=(1+iλF)(1-iλF)=1+iλ(F-F+)+λ2FF+

略去高階項(xiàng)，可得F+=F，為厄米算符．

10.設(shè)λ為小量，求對易關(guān)系[eλl，x]對λ的一般近似表達(dá)式．

解：

沒為幺正算符，若存在兩個(gè)厄米算符，證明：11.

證明根據(jù)幺正算符的定義證明，

因?yàn)?/p>

根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件可得

12.可表示成為厄米算符．

證明：因?yàn)槎蛎姿惴麑σ?，所以它們有共同的本征函?shù)

所以

結(jié)合可得

不失一般性，在(0，2π)內(nèi)找到實(shí)數(shù)θn使得λn=cosθn，μn=sinθn，因此

若定義厄米算符使得

則必有為幺正算符．

對于一維諧振子，定義

13.求

解：

14.若，(n=0，1，2，…)且〈n|n〉=1，求

解：由于

所以

又因?yàn)?/p>

則有

即

由于

即

15.計(jì)算矩陣元xmn，pmn，并證明振子的平均動(dòng)能和平均勢能相等；

解：因?yàn)?，所以?/p>

所以平均動(dòng)能和平均勢能相等．

16.令本征值為En的本征函數(shù)為ψn(x)=〈x|n〉，證明：ψn(-x)=(-1)nψn(x)；

解：因?yàn)椋?/p>

即

而，解得

，A為歸一化常數(shù)

17.設(shè)|n〉為的本征矢，其本征值為En，證明的本征態(tài)，其本征值為

證明：

即本征態(tài)，本征值為

18.一維諧振子系統(tǒng)，哈密頓量，粒子處于基態(tài)與第一激發(fā)態(tài)的疊加態(tài)，測得系統(tǒng)處于基態(tài)的概率是第一激發(fā)態(tài)的4倍，初始時(shí)刻t=0時(shí)動(dòng)量平均值是且平均值小于0．求t時(shí)刻平均值．

解：由已知條件和歸一化條件可得

利用遞推關(guān)系有

所以有

結(jié)合已知條件可得

又因?yàn)?/p>

所以坐標(biāo)平均值為

結(jié)合已知條件以及(3)式和(5)式可得

t時(shí)刻波函數(shù)為

是諧振子的升降算符，滿足對易關(guān)系為粒子數(shù)算符．19.證明：

證明：

對于，可利用數(shù)學(xué)歸納法證明，由已知條件，顯然n=1時(shí)成立，假設(shè)n=k時(shí)成立，，則有

所以n=k+1成立，證畢．

20.證明：

證明：因?yàn)?，所?/p>

考慮到

21.計(jì)算：

證明：由第二問易得：

令，則有

且

故有

令

所以

即

上式右乘可得：

可見這種方法在求解含有e指數(shù)函數(shù)的表達(dá)式時(shí)的重要性．

對任意滿足薛定諤方程的歸一化的波函數(shù)|ψ〉，定義密度算符22.試證明：任意一力學(xué)量在|ψ〉態(tài)的平均值滿足

證明：充分利用完備性關(guān)系(封閉性條件，矩陣跡概念)

其中|b〉為任意的一組正交歸一完備系．

23.求出密度算符的本征值；

解：設(shè)本征值為λ，則它也滿足ρ滿足之方程，于是有

上式作用于本征態(tài)可得：λ(λ-1)=0，所以本征值為0或1．

24.導(dǎo)出密度算符隨時(shí)間演化的方程；

解：因?yàn)?/p>

故有：

25.利用第一問和第三問導(dǎo)出力學(xué)量A的平均值的運(yùn)動(dòng)方程

解：

26.一個(gè)量子系統(tǒng)，其哈密頓量可寫為

其中ω為實(shí)數(shù)，α，β為數(shù)，而算符及其厄米共軛分別為吸收算符與發(fā)射算符，滿足對易關(guān)系．試求系統(tǒng)的能量本征值．

解：哈密頓量算符的厄米性要求，這要求：β*=α．取，則

為了使得哈密頓量對角化，則有

δ+β=0，δ*++α=0

故有

δ=-β，δ*=-α=-β*(2)

所以

δδ*+αδ+βδ*=ββ*-αβ-ββ*=-αβ(3)

因此對角化的哈密頓量為

其本征能量為

算符及其厄米共軛分別為吸收算符與發(fā)射算符，滿足對易關(guān)系．現(xiàn)定義新算符，其中α，β為復(fù)常數(shù)．27.若算符及其厄米共軛構(gòu)成新的一組吸收發(fā)射算符，則α，β應(yīng)滿足什么條件?

解：由題意要求，代入已知條件易得

|α|2-|β|2=1

28.利用求哈密頓量的本征值，其中

解：方法一：由已知條件，可得

哈密頓量為

選擇合適的系數(shù)，對角化哈密頓量，這要求

為方便，鑒于A為實(shí)數(shù)，故可以選擇α，β也為實(shí)數(shù)，于是有

結(jié)合α2-β2=1

可以解得

所以用新的算符表示的哈密頓量為

因此其本征值為

方法二：在諧振子問題的代數(shù)解法中，引入無量綱算符將哈密頓量對角化，嘗試將題目中的算符轉(zhuǎn)化成正則坐標(biāo)和正則動(dòng)量的形式．

令

其中

從(1)式和(2)式易于檢驗(yàn)，它們可以確保

由(1)式可以算出

將(3)式和(4)式代入題目中哈密頓量，可得

令

解得

可將(5)式化成標(biāo)準(zhǔn)的諧振子形式

結(jié)合(8)式和(7)式，可得能量本征值為

29.中子|n〉與反中子的質(zhì)量都是μ，它們的態(tài)|n〉與可看成是一個(gè)自由哈密頓量的簡并態(tài)

設(shè)有某種相互作用能使中子與反中子互相轉(zhuǎn)變

其中α為實(shí)數(shù)．試求t=0時(shí)刻的一個(gè)中子在t時(shí)刻轉(zhuǎn)變