1.2直角三角形性質(zhì)和判定（Ⅱ）第1章直角三角形第1學(xué)時(shí)勾股定理第1頁(yè)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.經(jīng)歷勾股定理探究過(guò)程，理解有關(guān)勾股定理一些文化歷史背景，會(huì)用面積法來(lái)證明勾股定理，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想.（重點(diǎn)）2.會(huì)用勾股定理進(jìn)行簡(jiǎn)單計(jì)算.（難點(diǎn)）第2頁(yè)其他星球上是否存在著“人”呢？為了探尋這一點(diǎn)，世界上許多科學(xué)家向宇宙發(fā)出了許多信號(hào)，如地球上人類(lèi)語(yǔ)言、音樂(lè)、多種圖形等.導(dǎo)入新課情景引入第3頁(yè)據(jù)說(shuō)我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾提議“發(fā)射”一種勾股定理圖形(如圖).很多學(xué)者以為假如宇宙“人”也擁有文明話(huà)，那么他們一定會(huì)結(jié)識(shí)這種語(yǔ)言，由于幾乎所有具有古代文化民族和國(guó)家都對(duì)勾股定理有所理解.第4頁(yè)勾股定理有著悠久歷史：古巴比倫人和古代中國(guó)人看出了這個(gè)關(guān)系，古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派首先證明了這關(guān)系，下面讓我們一起來(lái)通過(guò)視頻理解吧：第5頁(yè)講授新課勾股定理結(jié)識(shí)及驗(yàn)證一我們一起穿越回到2523年前，跟隨畢達(dá)哥拉斯再去他那位老朋友家做客，看到他朋友家用等腰直角三角形磚鋪成地面（如圖）：ABC問(wèn)題1

試問(wèn)正方形A、B、C面積之間有什么樣數(shù)量關(guān)系？第6頁(yè)ABC始終角邊2另始終角邊2斜邊2+=

問(wèn)題2

圖中正方形A、B、C所圍成等腰直角三角形三邊之間有什么特殊關(guān)系？第7頁(yè)問(wèn)題3

在網(wǎng)格中有一般直角三角形，以它三邊為邊長(zhǎng)三個(gè)正方形A、B、C

是否也有類(lèi)似面積關(guān)系？觀測(cè)下邊兩幅圖(每個(gè)小正方形面積為單位1)：這兩幅圖中A,B面積都好求，該如何求C面積呢？第8頁(yè)辦法1：補(bǔ)形法(把以斜邊為邊長(zhǎng)正方形補(bǔ)成各邊都在網(wǎng)格線(xiàn)上正方形）：左圖：右圖：第9頁(yè)辦法2：分割法(把以斜邊為邊長(zhǎng)正方形分割成易求出面積三角形和四邊形）：左圖：右圖：你尚有其他措施求C面積嗎？第10頁(yè)根據(jù)前面求出C面積直接填出下表：

A面積B面積C面積左圖右圖413259169第11頁(yè)問(wèn)題4

正方形A、B、C所圍成直角三角形三條邊之間有如何特殊關(guān)系？始終角邊2另始終角邊2斜邊2+=第12頁(yè)直角三角形兩直角邊a,b平方和，等于斜邊c平方.a2+b2=c2.由上面幾個(gè)例子，我們猜想：abc下面動(dòng)圖形象說(shuō)明命題1正確性，讓我們跟著此前數(shù)學(xué)家們用拼圖法來(lái)證明這一猜想.第13頁(yè)abbcabca證法1讓我們跟著我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽,用他所拼圖形證明命題吧.第14頁(yè)abc∵S大正方形＝c2，S小正方形＝(b-a)2,∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，趙爽弦圖b-a證明：“趙爽弦圖”體現(xiàn)了我國(guó)古人對(duì)數(shù)學(xué)鉆研精神和聰明才智，它是我國(guó)古代數(shù)學(xué)驕傲.因此，這個(gè)圖案被選為2023年在北京召開(kāi)國(guó)際數(shù)學(xué)大會(huì)會(huì)徽.第15頁(yè)證法2

畢達(dá)哥拉斯證法，請(qǐng)先用手中四個(gè)全等直角三角形按圖示辦法拼圖，然后分析其面積關(guān)系進(jìn)行證明.第16頁(yè)aaaabbbbcccc∴a2+b2+2ab=c2+2ab，∴a2+b2=c2.證明：∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab,S大正方形=4S直角三角形+S小正方形

=4×

ab+c2=c2+2ab，第17頁(yè)aabbcc∴a2+b2=c2.證法3美國(guó)第二十任總統(tǒng)伽菲爾德“總統(tǒng)證法”.如圖，圖中三個(gè)三角形都是直角三角形，求證：a2+b2=c2.第18頁(yè)abc青入青方青出青出青入朱入朱方朱出青朱出入圖課外鏈接第19頁(yè)

如圖，過(guò)A點(diǎn)畫(huà)始終線(xiàn)AL使其垂直于DE，并交DE于L，交BC于M.通過(guò)證明△BCF≌△BDA，利用三角形面積與長(zhǎng)方形面積關(guān)系，得到正方形ABFG與矩形BDLM等積，同理正方形ACKH與矩形MLEC也等積，于是推得歐幾里得證明勾股定理第20頁(yè)推薦書(shū)目第21頁(yè)a、b、c為正數(shù)直角三角形兩直角邊a,b平方和，等于斜邊c平方.

a2+b2=c2.公式變形：勾股定理abc歸納總結(jié)第22頁(yè)在中國(guó)古代，人們把彎曲成直角手臂上半部分稱(chēng)為“勾”，下半部分稱(chēng)為“股”.我國(guó)古代學(xué)者把直角三角形較短直角邊稱(chēng)為“勾”，較長(zhǎng)直角邊稱(chēng)為“股”，斜邊稱(chēng)為“弦”.勾股勾2+股2=弦2小貼士第23頁(yè)

例1

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°.

（1）若a=b=5,求c;

（2）若a=1,c=2,求b.解：(1)據(jù)勾股定理得(2)據(jù)勾股定理得

利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算二CAB第24頁(yè)（1）若a：b=1：2，c=5,求a;（2）若b=15，∠A=30°,求a,c.

【變式題1】在Rt△ABC中，∠C=90°.解：(1)設(shè)a=x,b=2x,根據(jù)勾股定理建立方程得x2+(2x)2=52，解得(2)因此設(shè)a=x,c=2x,根據(jù)勾股定理建立方程得(2x)2-x2=152，解得

已知直角三角形兩邊關(guān)系和第三邊長(zhǎng)求未知兩邊時(shí)，要利用方程思想設(shè)未知數(shù)，根據(jù)勾股定理列方程求解.歸納第25頁(yè)【變式題2】

在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC長(zhǎng).解：本題斜邊不確定，需分類(lèi)討論：當(dāng)AB為斜邊時(shí)，如圖，當(dāng)BC為斜邊時(shí)，如圖，43ACB43CAB圖圖

當(dāng)直角三角形中所給兩條邊沒(méi)有指明是斜邊或直角邊時(shí)，其中一較長(zhǎng)邊也許是直角邊，也也許是斜邊，這種情況下一定要進(jìn)行分類(lèi)討論，不然容易丟解.歸納第26頁(yè)例2已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4.求CD長(zhǎng).解：由勾股定理可得

AB2=AC2+BC2=25，即AB=5.根據(jù)三角形面積公式，∴

AC×BC=AB×CD.∴CD=.ADBC34

由直角三角形面積求法可知直角三角形兩直角邊積等于斜邊與斜邊上高積，它常與勾股定理聯(lián)合使用．歸納第27頁(yè)練一練

求下列圖中未知數(shù)x、y值：解：由勾股定理可得81+144=x2，解得x=15.解：由勾股定理可得

y2+144=169，解得

y=5.第28頁(yè)當(dāng)堂練習(xí)1.下列說(shuō)法中,正確是（）A.已知a,b,c是三角形三邊，則a2+b2=c2B.在直角三角形中兩邊和平方等于第三邊平方C.在Rt△ABC中，∠C=90°,因此a2+b2=c2D.在Rt△ABC中，∠B=90°,因此a2+b2=c2C2.圖中陰影部分是一種正方形，則此正方形面積為

.8cm10cm36cm2第29頁(yè)3.在△ABC中，∠C=90°.（1）若a=15，b=8，則c=

.

（2）若c=13，b=12，則a=

.175第30頁(yè)4.求斜邊長(zhǎng)17cm、一條直角邊長(zhǎng)15cm直角三角形面積.解：設(shè)另一條直角邊長(zhǎng)是xcm.

由勾股定理得152+x2=172，即x2=172-152=289–225=64，因此x=±8（負(fù)值舍去），因此另始終角邊長(zhǎng)為8cm，直角三角形面積是

(cm2).第31頁(yè)5.如圖，在△ABC中，AD⊥BC，∠B=45°，∠C=30°，AD=1，求△ABC周長(zhǎng)．解：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°．在Rt△ADB中，∵∠B+∠BAD=90°，∠B=45°，∴∠B=∠BAD=45°，∴BD=AD=1，∴AB=．在Rt△ADC中，∵∠C=30°，∴AC=2AD=2，∴CD=，∴BC=BD+CD=1+，∴AB+AC+BC=．第32頁(yè)解：由于AE＝BE，因此S△ABE＝AE·BE＝AE2.又由于AE2＋BE2＝AB2，因此2AE2＝AB2，因此S△ABE＝AB2；同理可得S△AHC＋S△BCF＝AC2＋BC2.又由于AC2＋BC2＝AB2，因此陰影部分面積為AB2＝.6.如圖，以Rt△ABC三邊長(zhǎng)為斜邊分別向外作等腰直角三角形．若斜邊AB＝3，求△ABE及陰影部分面積.能力提升：第33頁(yè)S5=S1+S2=4，S7=S5+S6=10.7.已知S1=1，S2=3，S3=2，S4=4，求S5，S6，S7值.S6=S3+S4=6，第34頁(yè)課堂小結(jié)勾股定理內(nèi)容在Rt△ABC中，

∠C=90°,a,b為直角邊，c為斜邊，則有a2+b2=c2.注意在直角三角形中看清哪個(gè)角是直角已知兩邊沒(méi)有指明是直角邊還是斜邊時(shí)一定要分類(lèi)討論第35頁(yè)1.2直角三角形性質(zhì)和判定（Ⅱ）第1章直角三角形第2學(xué)時(shí)勾股定理實(shí)際應(yīng)用第36頁(yè)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.會(huì)利用勾股定理求線(xiàn)段長(zhǎng)及處理簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題.

（重點(diǎn)）2.能從實(shí)際問(wèn)題中抽象出直角三角形這一幾何模型，利用勾股定理建立已知邊與未知邊長(zhǎng)度之間聯(lián)系，并深入求出未知邊長(zhǎng).（難點(diǎn)）第37頁(yè)情景引入數(shù)學(xué)起源于生活，勾股定理應(yīng)用在生活中無(wú)處不在，觀看下面視頻，你們能理解曾小賢和胡一菲做法嗎？導(dǎo)入新課第38頁(yè)問(wèn)題觀看下面同一根長(zhǎng)竹竿以三種不一樣方式進(jìn)門(mén)情況，并結(jié)合曾小賢和胡一菲做法，對(duì)于長(zhǎng)竹竿進(jìn)門(mén)之類(lèi)問(wèn)題你有什么啟發(fā)？這個(gè)跟我們學(xué)勾股定理有關(guān)，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題勾股定理簡(jiǎn)單實(shí)際應(yīng)用一講授新課第39頁(yè)例1一種門(mén)框尺寸如圖所示，一塊長(zhǎng)3m,寬2.2m長(zhǎng)方形薄木板能否從門(mén)框內(nèi)通過(guò)?為何?2m1mABDC典例精析解：在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理，AC2=AB2+BC2=12+22=5由于AC大于木板寬2.2m,因此木板能從門(mén)框內(nèi)通過(guò).

分析：能夠看出木板橫著，豎著都不能通過(guò)，只能斜著.門(mén)框AC長(zhǎng)度是斜著能通過(guò)最大長(zhǎng)度，只要AC長(zhǎng)大于木板寬就能通過(guò).第40頁(yè)ABDCO

解：在Rt△ABO中，根據(jù)勾股定理得OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1，∴OB=1.在Rt△COD中，根據(jù)勾股定理得OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15,因此梯子頂端沿墻下滑0.5m時(shí)，梯子底端并不是也外移0.5m，而是外移約0.77m.例2如圖，一架2.6m長(zhǎng)梯子AB斜靠在一豎直墻AO上，這時(shí)AO為2.4m.假如梯子頂端A沿墻下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m嗎?第41頁(yè)例3：我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一道有趣問(wèn)題，這個(gè)問(wèn)題意思是：有一種水池，水面是一種邊長(zhǎng)為10尺正方形，在水池中央有一根新生蘆葦，它高出水面1尺，假如把這根蘆葦垂直拉向岸邊，它頂端正好達(dá)到岸邊水面，請(qǐng)問(wèn)這個(gè)水池深度和這根蘆葦長(zhǎng)度各是多少？DABC第42頁(yè)解：設(shè)水池水深A(yù)C為x尺，則這根蘆葦長(zhǎng)AD=AB=（x+1）尺，在直角三角形ABC中，BC=5尺由勾股定理得，BC2+AC2=AB2即52+x2=(x+1)225+x2=x2+2x+1，2x=24，∴x=12，x+1=13.答：水池水深12尺，這根蘆葦長(zhǎng)13尺.第43頁(yè)例4

在一次臺(tái)風(fēng)襲擊中，小明家房前一棵大樹(shù)在離地面6米處斷裂，樹(shù)頂部落在離樹(shù)根底部8米處.你能告訴小明這棵樹(shù)折斷之前有多高嗎？8米6米第44頁(yè)8米6米ACB解：根據(jù)題意能夠構(gòu)建始終角三角形模型，如圖.在Rt△ABC中，AC=6米，BC=8米，由勾股定理得∴這棵樹(shù)在折斷之前高度是10+6=16（米）.第45頁(yè)利用勾股定理處理實(shí)際問(wèn)題一般步驟：（1）讀懂題意，分析已知、未知間關(guān)系；（2）構(gòu)造直角三角形；（3）利用勾股定理等列方程；（4）處理實(shí)際問(wèn)題.歸納總結(jié)數(shù)學(xué)問(wèn)題直角三角形勾股定理實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化構(gòu)建利用處理第46頁(yè)1.湖兩端有A、B兩點(diǎn)，從與BA方向成直角BC方向上點(diǎn)C測(cè)得CA=130米,CB=120米,則AB為()ABCA.50米B.120米C.100米D.130米130120?A練一練第47頁(yè)2.如圖，學(xué)校教學(xué)樓前有一塊長(zhǎng)方形草坪,草坪長(zhǎng)為4米，寬為3米，有很少數(shù)人為了避開(kāi)拐角走“捷徑”，在草坪內(nèi)走出了一條“徑路”，卻踩傷了花草.（1）求這條“徑路”長(zhǎng)；（2）他們僅僅少走了幾步(假設(shè)2步為1米)？解：(1)在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理得∴這條“徑路”長(zhǎng)為5米.（2）他們僅僅少走了

(3+4-5)×2=4(步).別踩我,我怕疼!ABC第48頁(yè)CBA問(wèn)題在A點(diǎn)小狗，為了盡快吃到B點(diǎn)香腸，它選擇AB路線(xiàn)，而不選擇A

CB路線(xiàn)，難道小狗也懂?dāng)?shù)學(xué)？AC+CB>AB（兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短）思考在立體圖形中，怎么尋找最短線(xiàn)路呢？利用勾股定理求最短距離二第49頁(yè)BAdABA'ABBAO想一想：螞蟻?zhàn)吣囊粭l路線(xiàn)近來(lái)？A'螞蟻A→B路線(xiàn)問(wèn)題：在一種圓柱石凳上，若小明在吃東西時(shí)留下了一點(diǎn)食物在B處，正好一只在A處螞蟻捕捉到這一信息，于是它想從A處爬向B處，螞蟻怎么走近來(lái)？BA根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短易知第四個(gè)路線(xiàn)近來(lái).第50頁(yè)若已知圓柱體高為12cm，底面半徑為3cm，π取3.BA3O12側(cè)面展開(kāi)圖123πABA'A'解：在Rt△ABA′中，由勾股定理得

立體圖形中求兩點(diǎn)間最短距離，一般把立體圖形展開(kāi)成平面圖形，連接兩點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短確定最短路線(xiàn).歸納第51頁(yè)例5有一種圓柱形油罐，要以A點(diǎn)圍繞油罐建梯子，正好建在A點(diǎn)正上方點(diǎn)B處，問(wèn)梯子最短需多少米(已知油罐底面半徑是2米，高AB是5米，π取3）?ABABA'B'解：油罐展開(kāi)圖如右圖，則AB'為梯子最短距離.∵AA'=2×3×2=12,A'B'=5,∴AB'=13.即梯子最短需13米.第52頁(yè)數(shù)學(xué)思想：立體圖形平面圖形轉(zhuǎn)化展開(kāi)第53頁(yè)B牛奶盒A【變式題】看到小螞蟻終于喝到飲料興奮勁兒，小明靈光乍現(xiàn)，拿出了牛奶盒，把小螞蟻放在點(diǎn)A處，并在點(diǎn)B處放了點(diǎn)兒火腿腸粒，你能幫小螞蟻找出吃到火腿腸粒最短路程么？6cm8cm10cm第54頁(yè)BB18AB2610B3AB12=102+（6+8）2=296，AB22=82+（10+6）2=320，AB32=62+（10+8）2=360，解：由題意知有三種展開(kāi)辦法，如圖.由勾股定理得∴AB1＜AB2＜AB3.∴小螞蟻吃到火腿腸最短路程為AB1，長(zhǎng)為cm.第55頁(yè)例6如圖，一種牧童在小河南4kmA處牧馬，而他正位于他小屋B西8km北7km處，他想把他馬牽到小河邊去飲水，然后回家．他要完成這件事情所走最短路程是多少？牧童A小屋BA′C東北解：如圖，作出點(diǎn)A有關(guān)河岸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，連接A′B,則A′B就是最短路程.由題意得A′C=4+4+7=15(km)，BC=8km.在Rt△A′CB中，由勾股定理得第56頁(yè)

求直線(xiàn)同側(cè)兩點(diǎn)到直線(xiàn)上一點(diǎn)所連線(xiàn)段和最短路程辦法：先找到其中一點(diǎn)有關(guān)這條直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接對(duì)稱(chēng)點(diǎn)與另一點(diǎn)線(xiàn)段就是最短途徑長(zhǎng)，以連接對(duì)稱(chēng)點(diǎn)與另一種點(diǎn)線(xiàn)段為斜邊，構(gòu)造出直角三角形，再利用勾股定理求最短路程.歸納第57頁(yè)如圖，是一種邊長(zhǎng)為1正方體硬紙盒，目前A處有一只螞蟻，想沿著正方體外表面達(dá)到B處吃食物，求螞蟻爬行最短距離是多少.AB解：由題意得AC=2，BC=1,在Rt△ABC中，由勾股定理得AB2=AC2+BC2=22+12=5∴AB=，即最短路程為.21ABC練一練第58頁(yè)1.從電線(xiàn)桿上離地面5mC處向地面拉一條長(zhǎng)為7m鋼纜，則地面鋼纜A到電線(xiàn)桿底部B距離是（）A.24mB.12mC.mD.mD當(dāng)堂練習(xí)第59頁(yè)2.如圖，一支鉛筆放在圓柱體筆筒中，筆筒內(nèi)部底面直徑是9cm，內(nèi)壁高12cm，則這只鉛筆長(zhǎng)度也許是（）A.9cmB.12cmC.15cmD.18cmD第60頁(yè)3.如圖，有兩棵樹(shù)，一棵高8米，另一棵高2米，兩棵對(duì)相距8米.一只鳥(niǎo)從一棵樹(shù)樹(shù)梢飛到另一棵樹(shù)梢，問(wèn)小鳥(niǎo)最少飛行多少？ABC解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AC⊥BC于點(diǎn)C.由題意得AC=8米，BC=8-2=6(米)，

答：小鳥(niǎo)最少飛行10米.第61頁(yè)4.如圖，是一種三級(jí)臺(tái)階，它每一級(jí)長(zhǎng)、寬和高分別等于55cm，10cm和6cm，A和B是這個(gè)臺(tái)階兩個(gè)相正確端點(diǎn)，A點(diǎn)上有一只螞蟻，想到B點(diǎn)去吃可口食物.這只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，沿著臺(tái)階面爬到B點(diǎn)，最短線(xiàn)路長(zhǎng)是多少？BAABC解：臺(tái)階展開(kāi)圖如圖，連接AB.在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理得AB2=BC2＋AC2＝552＋482＝5329,∴AB=73cm.第62頁(yè)5.為籌備迎新晚會(huì)，同窗們?cè)O(shè)計(jì)了一種圓筒形燈罩，底色漆成白色，然后纏繞紅色油紙，如圖.已知圓筒高為108cm，其橫截面周長(zhǎng)為36cm，假如在表面均勻纏繞油紙4圈，應(yīng)裁剪多長(zhǎng)油紙？能力提升：第63頁(yè)解：如右下列圖，在Rt△ABC中，由于AC＝36cm，BC＝108÷4＝27(cm)．由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝362＋272＝2025＝452，因此AB＝45cm，因此整個(gè)油紙長(zhǎng)為45×4＝180(cm)．第64頁(yè)課堂小結(jié)勾股定理應(yīng)用用勾股定理處理實(shí)際問(wèn)題用勾股定理處理點(diǎn)距離及途徑最短問(wèn)題第65頁(yè)1.2直角三角形性質(zhì)和判定（Ⅱ）第1章直角三角形第3學(xué)時(shí)勾股定理逆定理第66頁(yè)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握勾股定理逆定理及勾股數(shù).（重點(diǎn)）2.能證明勾股定理逆定理，能利用勾股定理逆定理判斷一種三角形是直角三角形.（難點(diǎn)）3.能夠利用勾股定理逆定理處理問(wèn)題．（難點(diǎn)）第67頁(yè)導(dǎo)入新課B

C

A

問(wèn)題1

勾股定理內(nèi)容是什么?假如直角三角形兩條直角邊長(zhǎng)分別為a,b,斜邊長(zhǎng)為c,那么a2+b2=c2.bca問(wèn)題2

求以線(xiàn)段a、b為直角邊直角三角形斜邊c長(zhǎng)：①

a＝3，b＝4；②

a＝2.5，b＝6；③a＝4，b＝7.5.c=5c=6.5c=8.5復(fù)習(xí)引入思考

此前我們已經(jīng)學(xué)過(guò)了通過(guò)角關(guān)系來(lái)確定直角三角形，可不能夠通過(guò)邊來(lái)確定直角三角形呢？第68頁(yè)

同窗們你們懂得古埃及人用什么辦法得到直角嗎?（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（13）（12）（11）（10）（9）打13個(gè)等距結(jié),把一根繩子提成等長(zhǎng)12段,然后以3段，4段，5段長(zhǎng)度為邊長(zhǎng)，用木樁釘成一種三角形，其中最大角便是直角.情景引入第69頁(yè)思考：從前面我們懂得古埃及人以為一種三角形三邊長(zhǎng)分別為3,4,5,那么這個(gè)三角形為直角三角形.按照這種做法真能得到一種直角三角形嗎?大禹治水相傳，我國(guó)古代大禹在治水時(shí)也用了類(lèi)似辦法確定直角.第70頁(yè)講授新課勾股定理逆定理一下面有三組數(shù)分別是一種三角形三邊長(zhǎng)a,b,c:①5,12,13;②7,24,25;③8,15,17.問(wèn)題

分別以每組數(shù)為三邊長(zhǎng)作出三角形，用量角器量一量，它們都是直角三角形嗎？是第71頁(yè)下面有三組數(shù)分別是一種三角形三邊長(zhǎng)a,b,c:①5,12,13;②7,24,25;③8,15,17.問(wèn)題2這三組數(shù)在數(shù)量關(guān)系上有什么相同點(diǎn)？①5,12,13滿(mǎn)足52+122=132,②7,24,25滿(mǎn)足72+242=252,③8,15,17滿(mǎn)足82+152=172.問(wèn)題3古埃及人用來(lái)畫(huà)直角三邊滿(mǎn)足這個(gè)等式嗎？由于32+42=52，因此滿(mǎn)足.a2+b2=c2第72頁(yè)我以為這個(gè)猜想不精確，由于測(cè)量成果也許有誤差.我也以為猜想不嚴(yán)謹(jǐn)，前面我們只取了幾組數(shù)據(jù)，不能由部分代表整體.問(wèn)題3據(jù)此你有什么猜想呢?由上面幾個(gè)例子，我們猜想：假如三角形三邊長(zhǎng)a,b,c滿(mǎn)足a2+b2=c2,那么這個(gè)三角形是直角三角形.第73頁(yè)△ABC≌△A′B′C′

？

∠C是直角△ABC是直角三角形A

B

C

abc已知：如圖，△ABC三邊長(zhǎng)a，b，c，滿(mǎn)足a2+b2=c2．求證：△ABC是直角三角形．構(gòu)造兩直角邊分別為a,bRt△A′B′C′證一證:第74頁(yè)證明：作Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，A′C′=b，B′C′=a，∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)，∴∠C=∠C′=90°

，

即△ABC是直角三角形.則ACaBbc第75頁(yè)勾股定理逆定理:

假如三角形三邊長(zhǎng)a、b、c滿(mǎn)足

a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形.ACBabc勾股定理逆定理是直角三角形判定定理，即已知三角形三邊長(zhǎng)，且滿(mǎn)足兩條較小邊平方和等于最長(zhǎng)邊平方，即可判斷此三角形為直角三角形，最長(zhǎng)邊所正確角為直角.尤其說(shuō)明：歸納總結(jié)第76頁(yè)

例1下面以a,b,c為邊長(zhǎng)三角形是不是直角三角形？假如是,那么哪一種角是直角？(1)a=15，

b=8，c=17;解：(1)∵152+82=289，172=289，∴152+82=172，根據(jù)勾股定理逆定理，這個(gè)三角形是直角三角形，且∠C是直角.(2)a=13，b=14，c=15.

(2)∵132+142=365，152=225，∴132+142≠152，不符合勾股定理逆定理，∴這個(gè)三角形不是直角三角形.

根據(jù)勾股定理逆定理，判斷一種三角形是不是直角三角形，只要看兩條較小邊長(zhǎng)平方和是否等于最大邊長(zhǎng)平方.歸納第77頁(yè)【變式題1】若△ABC三邊a,b,c滿(mǎn)足

a:b:c=3:4:5，試判斷△ABC形狀.解：設(shè)a=3k,b=4k,c=5k(k＞0),由于(3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2,因此(3k)2+(4k)2=(5k)2,因此△ABC是直角三角形，且∠C是直角.

已知三角形三邊百分比關(guān)系判斷三角形形狀：先設(shè)出參數(shù)，表達(dá)出三條邊長(zhǎng)，再用勾股定理逆定理判斷其是否是直角三角形.假如三角形三邊比中有兩個(gè)相同數(shù)，那么該三角形還是等腰三角形.歸納第78頁(yè)【變式題2】(1)若△ABC三邊a,b,c，且a+b=4,ab=1,c=，試說(shuō)明△ABC是直角三角形.解：由于a+b=4,ab=1,因此a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2=14.又由于c2=14,因此a2+b2=c2,因此△ABC是直角三角形.第79頁(yè)(2)若△ABC三邊a,b,c

滿(mǎn)足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c.試判斷△ABC形狀.解：∵a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，∴a2－6a+9+b2－8b+16+c2－10c+25=0.即(a－3)2+(b－4)2+(c－5)2=0.∴a=3,b=4,c=5，即a2+b2=c2.∴△ABC是直角三角形.第80頁(yè)例2如圖，在正方形ABCD中，F(xiàn)是CD中點(diǎn)，E為BC上一點(diǎn)，且CE＝CB，試判斷AF與EF位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．解：AF⊥EF.理由如下：設(shè)正方形邊長(zhǎng)為4a,則EC＝a，BE＝3a，CF＝DF＝2a.在Rt△ABE中，得AE2＝AB2＋BE2＝16a2＋9a2＝25a2.在Rt△CEF中，得EF2＝CE2＋CF2＝a2＋4a2＝5a2.在Rt△ADF中，得AF2＝AD2＋DF2＝16a2＋4a2＝20a2.在△AEF中，AE2＝EF2＋AF2，∴△AEF為直角三角形，且AE為斜邊．∴∠AFE＝90°，即AF⊥EF.第81頁(yè)練一練1.下列各組線(xiàn)段中，能組成直角三角形是（）A．2，3，4B．3，4，6C．5，12，13D．4，6，7C2.一種三角形三邊長(zhǎng)分別是3，4，5，則這個(gè)三角形最長(zhǎng)邊上高是（）A．4B．3C．2.5D．2.4D3.若△ABC三邊a、b、c滿(mǎn)足(a-b)(a2+b2-c2)=0，則△ABC是________________________.等腰三角形或直角三角形第82頁(yè)假如三角形三邊長(zhǎng)a，b，c滿(mǎn)足a2+b2=c2,那么這個(gè)三角形是直角三角形.滿(mǎn)足a2+b2=c2三個(gè)正整數(shù)，稱(chēng)為勾股數(shù).勾股數(shù)二概念學(xué)習(xí)第83頁(yè)常見(jiàn)勾股數(shù)：3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26等等.勾股數(shù)拓展性質(zhì)：

一組勾股數(shù)，都擴(kuò)大相同倍數(shù)k(k為正整數(shù))，得到一組新數(shù)，這組數(shù)同樣是勾股數(shù).第84頁(yè)

下列各組數(shù)是勾股數(shù)是(

)

A.6，8，10B.7，8，9C.0.3，0.4，0.5D.52，122，132A辦法點(diǎn)撥：根據(jù)勾股數(shù)定義，勾股數(shù)必須為正整數(shù)，先排除小數(shù)，再計(jì)算最長(zhǎng)邊平方是否等于其他兩邊平方和即可.練一練第85頁(yè)12勾股定理逆定理應(yīng)用三例3

如圖，某港口P位于東西方向海岸線(xiàn)上.“遠(yuǎn)航”號(hào)、“海天”號(hào)輪船同步離開(kāi)港口，各自沿一固定方向航行,“遠(yuǎn)航”號(hào)每小時(shí)航行16海里,“海天”號(hào)每小時(shí)航行12海里.它們離開(kāi)港口一種半小時(shí)后分別位于點(diǎn)Q,R處，且相距30海里.假如懂得“遠(yuǎn)航”號(hào)沿東北方向航行,能懂得“海天”號(hào)沿哪個(gè)方向航行嗎？NEP

QR第86頁(yè)問(wèn)題1

認(rèn)真審題，弄清已知是什么？要處理問(wèn)題是什么？12NEP

QR16×1.5=2412×1.5=1830“遠(yuǎn)航”號(hào)航向、兩艘船一種半小時(shí)后航程及距離已知，如圖.問(wèn)題2

由于我們目前所能得到都是線(xiàn)段長(zhǎng)，要求角，由此你聯(lián)想到了什么？實(shí)質(zhì)是要求出兩艘船航向所成角.勾股定理逆定理第87頁(yè)解：根據(jù)題意得PQ=16×1.5=24(海里),PR=12×1.5=18(海里),QR=30海里.由于242+182=302，即PQ2+PR2=QR2,因此∠QPR=90°.

由“遠(yuǎn)航”號(hào)沿東北方向航行可知∠1=45°.因此∠2=45°，即“海天”號(hào)沿西北方向航行.

NEP

QR12

處理實(shí)際問(wèn)題步驟：

構(gòu)建幾何模型(從整體到局部)；

標(biāo)注有用信息,明確已知和所求；

應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)求解.歸納第88頁(yè)【變式題】

如圖，南北方向PQ以東為我國(guó)領(lǐng)海，以西為公海，晚上10時(shí)28分，我邊防反偷渡巡查101號(hào)艇在A處發(fā)覺(jué)其正西方向C處有一艘可疑船只正向我沿海接近，便立即通知在PQ上B處巡查103號(hào)艇注意其動(dòng)向，經(jīng)檢測(cè)，AC=10海里，BC=8海里，AB=6海里，若該船只速度為12.8海里/時(shí)，則可疑船只最早何時(shí)進(jìn)入我領(lǐng)海？東北P(pán)ABCQD

分析：根據(jù)勾股定理逆定可得△ABC是直角三角形，然后利用勾股定理逆定理及直角三角形面積公式可求PD，然后再利用勾股定理便可求CD.第89頁(yè)解：∵AC=10，AB=6，BC=8，∴AC2=AB2+BC2，即△ABC是直角三角形.設(shè)PQ與AC相交于點(diǎn)D，根據(jù)三角形面積公式有BC·AB=AC·BD，即6×8=10BD，解得BD=在Rt△BCD中，又∵該船只速度為12.8海里/時(shí)，6.4÷12.8=0.5（小時(shí)）=30（分鐘），∴需要30分鐘進(jìn)入我領(lǐng)海，即最早晚上10時(shí)58分進(jìn)入我領(lǐng)海.東北P(pán)ABCQD第90頁(yè)例4如圖，四邊形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四邊形ABCD面積.解析：連接AC，把四邊形提成兩個(gè)三角形.先用勾股定理求出AC長(zhǎng)度，再利用勾股定理逆定理判斷△ACD是直角三角形.ADBC341312第91頁(yè)解：連接AC.ADBC341312在Rt△ABC中，在△ACD中，AC2+CD2=52+122=169=AD2，因此△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°.因此S四邊形ABCD=SRt△ABC+SRt△ACD=6+30=36.

四邊形問(wèn)題中，對(duì)角線(xiàn)是常用輔助線(xiàn)，它把四邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化成兩個(gè)三角形問(wèn)題.在使用勾股定理逆定理處理問(wèn)題時(shí)，它與勾股定理是“黃金搭擋”，經(jīng)常配套使用.歸納第92頁(yè)【變式題1】

如圖，四邊形ABCD中，AB⊥AD，已知AD=3cm，AB=4cm，CD=12cm，BC=13cm，求四邊形ABCD面積.解：連接BD.在Rt△ABD中,由勾股定理得

BD2=AB2+AD2，∴BD=5m.又∵CD=12cm，BC=13cm,∴

BC2=CD2+BD2，∴△BDC是直角三角形.∴S四邊形ABCD=SRt△BCD－SRt△ABD=BD?CD－

AB?AD=(5×12－3×4)=24

(cm2)．CBAD第93頁(yè)【變式題2】如圖，在四邊形ABCD中，AC⊥DC，△ADC面積為30cm2，DC＝12cm，AB＝3cm，BC＝4cm，求△ABC面積.解:∵S△ACD=30cm2，DC＝12cm.∴AC=5cm.又∵∴△ABC是直角三角形,∠B是直角.∴DCBA第94頁(yè)例5如圖，△ABC中，AB=AC，D是AC邊上一點(diǎn)，CD=1，BC＝5，BD=2．（1）求證：△BCD是直角三角形；（2）求△ABC面積．（1）證明：∵CD=1，BC＝5，BD=2，∴CD2+BD2=BC2，∴△BDC是直角三角形；（2）解：設(shè)腰長(zhǎng)AB=AC=x，在Rt△ADB中，∵AB2=AD2+BD2，∴x2=(x-1)2+22，解得用到了方程思想第95頁(yè)

1.A、B、C三地兩兩距離如圖所示，A地在B地正東方向，C在B地什么方向？ABC5cm12cm13cm解：∵BC2+AB2=52+122=169，AC2=132=169，∴BC2+AB2=AC2，即△ABC是直角三角形，∠B=90°.答：C在B地正北方向．練一練第96頁(yè)2.如圖，是一農(nóng)民建房時(shí)挖地基平面圖，按標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)為長(zhǎng)方形，他在挖完后測(cè)量了一下，發(fā)覺(jué)AB＝