隱函數(shù)組的存在性、連續(xù)性與可微性是函數(shù)方程組求解問題的理論基礎(chǔ).利用隱函數(shù)組的一般思想,又可進(jìn)而討論反函數(shù)組與坐標(biāo)變換等特殊問題.

§11.2函數(shù)行列式三、反函數(shù)組與坐標(biāo)變換

一、隱函數(shù)組概念

二、隱函數(shù)組定理

一、隱函數(shù)組概念

設(shè)有一組方程則稱由(1)確定了隱函數(shù)組之對(duì)應(yīng),能使其中定義在若存在使得對(duì)于任給的有惟一的并有關(guān)于隱函數(shù)組的一般情形(含有m+n個(gè)變量的m個(gè)方程所確定的n

個(gè)隱函數(shù))，在本章不作詳細(xì)討論．首先來看看,若由方程組(1)能確定兩個(gè)可微的隱函數(shù),則函數(shù)應(yīng)滿足何種條件呢?

不妨先設(shè)都可微,由復(fù)合求導(dǎo)法,通過對(duì)(1)分別求關(guān)于x與關(guān)于y

的偏導(dǎo)數(shù),得到能由(2)與(3)惟一解出的充要條件是雅可比(Jacobi)行列式不等于零，即由此可見，只要具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，且其中是滿足(1)的某一初始點(diǎn),則由保號(hào)性定理，使得在此鄰域內(nèi)(4)式成立．根據(jù)以上分析,便有下述隱函數(shù)組定理.雅可比（

Jacobi,C.G.J.

1804-1851,

德國）定理11.4(隱函數(shù)組定理)設(shè)方程組(1)中的函數(shù)F與G滿足下列條件：(i)在以點(diǎn)為內(nèi)點(diǎn)的某區(qū)域上連續(xù)；(ii)(初始條件);

(iii)在V

內(nèi)存在連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)；(iv)二、隱函數(shù)組定理

即有則有如下結(jié)論成立：且滿足必定存在鄰域其中使得在上連續(xù).在上存在一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且有本定理的詳細(xì)證明從略(第二十三章有一般隱函數(shù)定理及其證明),下面只作一粗略的解釋:①由方程組(1)的第一式確定隱函數(shù)②將代入方程組(1)的第二式,得③再由此方程確定隱函數(shù)并代回至這樣就得到了一組隱函數(shù)通過詳細(xì)計(jì)算,又可得出如下一些結(jié)果:例1設(shè)有方程組試討論在點(diǎn)的近旁能確定怎樣的隱函數(shù)組？并計(jì)算各隱函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù).解易知點(diǎn)滿足方程組(5).設(shè)它們?cè)谏嫌羞B續(xù)的各階偏導(dǎo)數(shù).再考察在點(diǎn)關(guān)于所有變量的雅可比矩陣由于因此由隱函數(shù)組定理可知,在點(diǎn)近旁可以惟一地確定隱函數(shù)組:但不能肯定y,z可否作為x的兩個(gè)隱函數(shù).運(yùn)用定理11.4的結(jié)論,可求得隱函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值:*注通過詳細(xì)計(jì)算,還能求得這說明處取極大值,從而知道在點(diǎn)的任意小鄰域內(nèi),對(duì)每一個(gè)x的值,會(huì)有多個(gè)y的值與之對(duì)應(yīng).類似地,對(duì)每一個(gè)x的值,也會(huì)有多個(gè)z的值與之對(duì)應(yīng).所以方程組(5)在點(diǎn)近旁不能惟一確定以x

作為自變量的隱函數(shù)組.例2設(shè)函數(shù)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),是由方程組所確定的隱函數(shù)組.試求

解設(shè)則有由此計(jì)算所需之雅可比行列式:于是求得注計(jì)算隱函數(shù)組的偏導(dǎo)數(shù)(或?qū)?shù))比較繁瑣,要學(xué)懂前兩例所演示的方法(利用雅可比矩陣和雅可比行列式),掌握其中的規(guī)律.這里特別需要“精心＋細(xì)心＋耐心”.三、反函數(shù)組與坐標(biāo)變換

設(shè)有一函數(shù)組它確定了一個(gè)映射(或變換):寫成點(diǎn)函數(shù)形式,即為并記的象集為現(xiàn)在的問題是:函數(shù)組(6)滿足何種條件時(shí),存在逆變換即存在亦即存在一個(gè)函數(shù)組使得滿足這樣的函數(shù)組(7)稱為函數(shù)組(6)的反函數(shù)組.它的存在性問題可化為隱函數(shù)組的相應(yīng)問題來處理.為此,首先把方程組(6)改寫為然后將定理18.4應(yīng)用于(8),即得下述定理.定理11.5(反函數(shù)組定理)

設(shè)(6)中函數(shù)在某區(qū)域上具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),是的內(nèi)點(diǎn),且則在點(diǎn)的某鄰域內(nèi),存在惟一此外,反函數(shù)組(7)在內(nèi)存在連續(xù)的一階的一組反函數(shù)(7),使得偏導(dǎo)數(shù);若記則有同理又有由(9)式進(jìn)一步看到:

此式表示:互為反函數(shù)組的(6)與(7),它們的雅可比行列式互為倒數(shù),這和以前熟知的反函數(shù)求導(dǎo)公式相類似.于是可把一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)組(6)的雅可比行列式看作對(duì)應(yīng)物.例3平面上點(diǎn)的直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)之間的坐標(biāo)變換為試討論它的逆變換.解由于因此除原點(diǎn)(r=0)外,在其余一切點(diǎn)處,T存在逆變換例4空間直角坐標(biāo)與球坐標(biāo)之間的坐標(biāo)變換為(見圖11－5)圖

11－5由于因此在(即除去Oz軸上的一切點(diǎn))時(shí),存在逆變換例5設(shè)有一微分方程(弦振動(dòng)方程):其中具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).試問此方程在坐標(biāo)變換之下,將變成何種形式?解據(jù)題意,是要把方程(10)變換成以u(píng),v作為自變量的形式.現(xiàn)在按此目標(biāo)計(jì)算如下:首先有故T的逆變換存在,而且又有依據(jù)一階微分形式不變性,得到并由此推知