第第頁2022-2023學(xué)年黑龍江省綏化市肇東四中高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）2022-2023學(xué)年黑龍江省綏化市肇東四中高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.()

A.B.C.D.

2.在中，點在邊上，記，，則()

A.B.C.D.

3.已知向量，，則()

A.B.C.D.

4.已知，且，其中，為實數(shù)，則()

A.，B.，

C.，D.，

5.南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫．已知該水庫水位為海拔時，相應(yīng)水面的面積為；水位為海拔時，相應(yīng)水面的面積為將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺，則該水庫水位從海拔上升到時，增加的水量約為()

A.B.C.D.

6.函數(shù)的最小正周期和最大值分別是()

A.和B.和C.和D.和

7.安邦河，在黑龍江省內(nèi)有兩條一條屬于松花江二級支流，位于黑龍江省中部，發(fā)源于小興安嶺支脈平頂山西坡；另一條屬于松花江右岸支流，位于黑龍江省東部，發(fā)源于完達山支脈分水崗，自南向北流經(jīng)雙鴨山、集賢、樺川個市縣，在樺川縣新城鄉(xiāng)境內(nèi)注入松花江安邦河從雙鴨山一中旁流過，其中一河段的兩岸基本上是平行的，根據(jù)城建工程計劃，需要測量出該河段的寬度，現(xiàn)在一側(cè)岸邊選取兩點，并測得，選取對岸一目標點并測得，，，則該段河流的寬度為()

A.B.C.D.

8.在中，、、分別是角、、的對邊，，且，則面積的最大值為()

A.B.C.D.

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）

9.下列四個命題中正確的是()

A.若兩條直線互相平行，則這兩條直線確定一個平面

B.若兩條直線相交，則這兩條直線確定一個平面

C.若四點不共面，則這四點中任意三點都不共線

D.若兩條直線沒有公共點，則這兩條直線是異面直線

10.下列命題中錯誤的是()

A.

B.若，滿足，且與同向，則

C.若，則

D.若是等邊三角形，則

11.在中，角，，的對邊分別為，，，對于有如下命題，其中正確的是()

A.若，則是銳角三角形

B.若，，則的外接圓的面積等于

C.若是銳角三角形，則

D.若，則是等腰直角三角形

12.已知為虛數(shù)單位，則以下四個說法中正確的是()

A.B.復(fù)數(shù)的虛部為

C.若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則D.

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，面積為，，，則．

14.在我國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)商功中劉徽注解“邪解立方得二塹堵”如圖，在正方體中“邪解”得到一塹堵，為的中點，則異面直線與所成的角為______．

15.已知向量，滿足，則向量，的夾角為______

16.已知，則______．

四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.本小題分

已知復(fù)數(shù)．

若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，求實數(shù)的值；

若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限，求實數(shù)的取值范圍．

18.本小題分

在平面直角坐標系中，已知點，，．

若，，三點共線，求實數(shù)的值；

若，求實數(shù)的值．

19.本小題分

已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，．

求；

若，，求的面積．

20.本小題分

已知函數(shù)．

若，且，求的值；

在銳角中，角，，所對的邊分別是，，，若，求的取值范圍．

21.本小題分

如圖所示，用一個半徑為厘米的半圓紙片卷成一個最大的無底圓錐，放在水平桌面上，被一陣風吹倒．

求該圓錐的表面積和體積；

求該圓錐被吹倒后，其最高點到桌面的距離．

22.本小題分

如圖，在正方體中，與交于點，求證：

直線平面；

直線平面．

答案和解析

1.【答案】

【解析】

【分析】

本題主要考查了復(fù)數(shù)的四則運算，屬于基礎(chǔ)題．

由已知結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運算即可求解．

【解答】

解：．

故選：．

2.【答案】

【解析】

【分析】

本題主要考查平面向量的線性運算，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．

直接利用平面向量的線性運算可得，進而得解．

【解答】

解：如圖，

，

，即．

故選：．

3.【答案】

【解析】解：，

故，

先計算處的坐標，再利用坐標模長公式即可．

本題主要考查利用向量坐標求模，屬于基礎(chǔ)題．

4.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查了復(fù)數(shù)與共軛復(fù)數(shù)以及復(fù)數(shù)相等的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．

根據(jù)復(fù)數(shù)與共軛復(fù)數(shù)的定義，利用復(fù)數(shù)相等列方程求出、的值．

【解答】

解：因為，且，

所以，

所以，

解得，．

故選：．

5.【答案】

【解析】

【分析】

本題以實際問題為載體考查棱臺的體積公式，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題

先統(tǒng)一單位，再根據(jù)題意結(jié)合棱臺的體積公式求解即可．

【解答】

解：，，

根據(jù)題意，增加的水量約為

．

故選：．

6.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查了輔助角公式、三角函數(shù)的周期性與最值，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．

化簡函數(shù)的表達式，再利用三角函數(shù)的周期，正弦函數(shù)的最值求解即可．

【解答】

解：，

最小正周期．

當時，函數(shù)取得最大值；

函數(shù)的最小正周期為，最大值．

故選：．

7.【答案】

【解析】解：在中，由正弦定理得：，

河流的寬度．

故選：．

利用正弦定理可得，由可求得結(jié)果．

本題考查正弦定理，屬基礎(chǔ)題．

8.【答案】

【解析】解：因為，，

由正弦定理得，

化簡得：，

，，

由余弦定理得：，

即，當且僅當時等號成立，

所以．

故選：．

利用正弦定理、余弦定理得，則，再利用基本不等式和三角形面積公式即可求出答案．

本題主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式及三角形面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題．

9.【答案】

【解析】解：公理的推論：經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個平面，選項A正確；

公理的推論：經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個平面，選項B正確；

空間四點不共面，則其中任何三點不共線，否則由公理的推論：直線與直線外一點確定一個平面，這空間四點共面，所以選項C正確；

若兩條直線沒有公共點，可以互相平行，不一定是異面直線，選項D錯誤．

故選：．

由公理及推論判斷、、選項，由直線的位置關(guān)系判斷選項．

本題考查平面的基本性質(zhì)及推論，屬于基礎(chǔ)題．

10.【答案】

【解析】解：由向量模的性質(zhì)可知，，當且僅當，同向共線時，等號成立，故A正確；

向量不能比較，故B錯誤；

，

則，當，垂直時，等式也成立，故C錯誤；

是等邊三角形，

則，

故，故D正確．

故選：．

根據(jù)已知條件，結(jié)合向量模的性質(zhì)，以及向量垂直的性質(zhì)，向量夾角的定義，即可依次求解．

本題主要考查向量的概念與向量的模，屬于基礎(chǔ)題．

11.【答案】

【解析】解：對于：由余弦定理得，即為銳角，

不能判斷為銳角，故A錯誤；

對于：設(shè)的外接圓的半徑為，由正弦定理得，

即，故其外接圓的面積為，故B正確；

對于：若為銳角三角形，則，且，

，故C正確；

對于：，

由正弦定理得，

即，

或，即或，

則為等腰三角形或直角三角形，故D錯誤．

故選：．

根據(jù)余弦定理即可判斷；根據(jù)正弦定理，即可判斷；由題意可得，即可判斷；根據(jù)正弦定理和二倍角的正弦公式計算化簡，即可判斷．

本題考查解三角形，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．

12.【答案】

【解析】解：因為，A正確；

復(fù)數(shù)的虛部為，不正確；

若，則，，不正確；

設(shè)，，所以，

，D正確．

故選：．

根據(jù)復(fù)數(shù)的運算可得，，的正誤，根據(jù)復(fù)數(shù)虛部的概念可知的正誤．

本題主要考查了復(fù)數(shù)的概念及性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．

13.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查三角形的面積公式以及余弦定理的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題．

由題意和三角形的面積公式以及余弦定理得關(guān)于的方程，解方程可得．

【解答】

解：的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，面積為，，，

，

又，負值舍

故答案為：．

14.【答案】

【解析】解：連接，

因為幾何體為正方體，

則面，

即，

又為的中點，

則，

則面，

則，

又，

則，

即異面直線與所成的角為，

故答案為：．

由線面垂直的判定定理，結(jié)合異面直線所成角的求法求解即可．

本題考查了線面垂直的判定定理，重點考查了異面直線所成角的求法，屬基礎(chǔ)題．

15.【答案】

【解析】解：由題意，可設(shè)向量，的夾角為，向量，滿足，，，

由，則，

解得：，

又，

．

故答案為：．

先設(shè)向量，的夾角為，再由平面向量數(shù)量積的運算，結(jié)合平面向量夾角的運算，求解即可．

本題主要考查平面向量的夾角，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．

16.【答案】

【解析】解：因為，

則，

又，

則．

故答案為：．

運用二倍角進行化簡，將其轉(zhuǎn)為其次式即可求出結(jié)果．

本題主要考查了同角基本關(guān)系及二倍角公式在三角化簡求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

17.【答案】解：復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，

且，解得；

復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限，

，解得；

故實數(shù)的取值范圍

【解析】根據(jù)已知條件，結(jié)合純虛數(shù)的定義，即可求解．

根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解．

本題考查了復(fù)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用和純虛數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題．

18.【答案】解：點，，，

因為三點共線，所以，可得，解得或；

所以實數(shù)的值為或；

，可得，

而，，

所以，解得，

所以實數(shù)的值為：．

【解析】由三點共線可得斜率相等，求出的值；

由直線垂直，可得數(shù)量積為，可得的值．

本題考查三點共線的性質(zhì)的應(yīng)用及直線垂直轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．

19.【答案】解：由正弦定理及，得，

所以，

即，所以，

因為，所以，又，所以．

因為，，又由知，

由余弦定理得，

即，則，所以，

所以的面積為．

【解析】利用正弦定理及條件，進行邊轉(zhuǎn)角即可求出結(jié)果；

利用余弦定理及條件，建立方程求出的值，再用面積公式求出結(jié)果．

本題主要考查解三角形，正余弦定理的應(yīng)用，考查運算求解能力，屬于中檔題．

20.【答案】解：，

則，

又，則，

所以，

所以；

由于，則，

又，則，

所以，

又，則，

所以，則，即．

【解析】化簡可得，再結(jié)合，且，可得，再由正弦的和角公式可得解；

易知，，由此可得解．

本題考查三角函數(shù)的恒等變換以及三角函數(shù)的求值，考查正弦定理以及三角函數(shù)的性質(zhì)，考查運算求解能力，屬于中檔題．

21.【答案】解：設(shè)圓錐底面半徑為厘米，母線的長為厘米，

則厘米，且，

解得厘米，

圓錐的表面積平方厘米，

圓錐的高厘米，

圓錐的體積立方厘米；

由知，圓錐的軸截面為等邊三角形，且邊長為厘米，

最高點到底面的距離為等邊三角形的高厘米，

故該圓錐被吹倒后，其最高點到桌面的距離厘米．

【解析】設(shè)圓錐底面半徑為厘米，母線的長為厘米，根據(jù)扇形的弧長公式求得，再利用勾股定理求得圓錐的高，再根據(jù)圓錐的表面積公式和體積公式即可得解；

由知，圓錐的軸截面為等邊三角形，從而可得最高點到底面的距離為等邊三角形的高