第第頁2023年湖南省新高考教學(xué)教研聯(lián)盟高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）2023年湖南省新高考教學(xué)教研聯(lián)盟高一（下）期中聯(lián)考

數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.設(shè)集合，，則()

A.B.C.D.

2.已知函數(shù)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()

A.的最小正周期為B.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱

C.的一個(gè)零點(diǎn)為D.在區(qū)間上單調(diào)遞減

3.如果一組數(shù)據(jù)，，，，的方差是，那么另一組數(shù)據(jù)，，，，的方差為()

A.B.C.D.

4.已知向量與的夾角為，且，，則在方向上的投影向量是()

A.B.C.D.

5.已知定義在上的奇函數(shù)滿足：當(dāng)時(shí)，，則的解集為()

A.B.

C.D.

6.記函數(shù)的最小正周期為，若，且，則()

A.B.C.D.

7.很多人的童年都少不了折紙的樂趣，如今傳統(tǒng)意義上的手工折紙已經(jīng)與數(shù)學(xué)聯(lián)系在一起，并產(chǎn)生了許多需要縝密論證的折紙問題有一張矩形紙片，，為的中點(diǎn)，將和分別沿，翻折，使點(diǎn)與點(diǎn)重合于點(diǎn)，若，三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的表面上，則球的表面積為()

A.B.C.D.

8.已知為的外心，若，，則的最大值為()

A.B.C.D.

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）

9.下列說法正確的有()

A.若復(fù)數(shù)滿足，則

B.若復(fù)數(shù)，為虛數(shù)單位，則的共軛復(fù)數(shù)

C.復(fù)數(shù)一定都滿足

D.若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為圓

10.如圖，在中，，，，，分別是邊上的三個(gè)四等分點(diǎn)，若，則()

A.B.

C.D.

11.已知、為正實(shí)數(shù)，，則()

A.B.的最大值為

C.的最小值為D.的最大值為

12.如圖，在三棱柱中，側(cè)面為矩形，若平面平面，平面平面，記平面與平面的夾角為，直線與平面所成的角為，異面直線與所成的角為，則()

A.側(cè)面為矩形

B.若為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則平面

C.

D.若，滿足且為常數(shù)，則

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.數(shù)據(jù)、、、、、、、的第百分位數(shù)為______．

14.已知向量，，，若、、三點(diǎn)共線，則______．

15.如圖，在平行四邊形中，，，為線段的中點(diǎn)，，則______．

16.如圖，在中，，點(diǎn)與點(diǎn)分別在直線的兩側(cè)，且，則的最大值為______．

四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.本小題分

某實(shí)驗(yàn)中學(xué)對(duì)選擇生物學(xué)科的名學(xué)生的高一下學(xué)期期中考試成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率直方圖已知成績均在區(qū)間內(nèi)，不低于分視為優(yōu)秀，低于分視為不及格同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中間值做代表值．

根據(jù)此次成績采用分層抽樣從中抽取人開座談會(huì)，求在區(qū)間應(yīng)抽取多少人？

根據(jù)頻率直方圖，估計(jì)這次考試成績的平均數(shù)和中位數(shù)．

18.本小題分

已知函數(shù)．

求的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；

若在區(qū)間上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

19.本小題分

如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面，為線段上一點(diǎn)，平面．

證明：為的中點(diǎn)；

若直線與平面所成的角為，且，求三棱錐的體積．

20.本小題分

記銳角的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知

求證：；

若，求的最大值．

21.本小題分

如圖，已知是邊長為的等邊三角形，、分別是、的中點(diǎn)，將沿著翻折，使點(diǎn)到點(diǎn)處，得到四棱錐．

若，證明：平面平面；

若，求直線與平面所成角的正弦值．

22.本小題分

已知函數(shù)，，．

若的最大值為，求的值；

當(dāng)時(shí)，設(shè)，若的最小值為，求實(shí)數(shù)的值．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：因?yàn)?，?/p>

，

因此，．

故選：．

求出集合、，利用交集的定義可求得集合．

本題考查集合的運(yùn)算，考查補(bǔ)集定義、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．

2.【答案】

【解析】解：由于的最小正周期為，所以A正確．

因?yàn)?，為最小值，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故B正確．

因?yàn)?，所以的一個(gè)零點(diǎn)為，所以C正確．

由，得，而在上遞減，在上遞增，

所以在區(qū)間上不單調(diào)遞減，所以D錯(cuò)誤．

故選：．

對(duì)于，利用周期公式分析判斷，對(duì)于，將代入函數(shù)判斷是否能取得最值，對(duì)于，將代入函數(shù)中計(jì)算判斷，對(duì)于，由求出的范圍，然后根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)判斷．

本題主要考查余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．

3.【答案】

【解析】解：根據(jù)題意，數(shù)據(jù)，，，，的方差是，

則另一組數(shù)據(jù)，，，，的方差．

故選：．

根據(jù)題意，由方差的性質(zhì)分析可得答案．

本題考查數(shù)據(jù)的方差計(jì)算，注意方差的計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題．

4.【答案】

【解析】解：因?yàn)橄蛄颗c的夾角為，且，，

所以，

所以在方向上的投影向量為．

故選：．

根據(jù)數(shù)量積的定義求出，再根據(jù)在方向上的投影向量為計(jì)算可得．

本題主要考查投影向量的公式，屬于基礎(chǔ)題．

5.【答案】

【解析】解：因?yàn)槎x在上的奇函數(shù)滿足：當(dāng)時(shí)，，

則，解得，

故當(dāng)時(shí)，，

因?yàn)?、在上均為增函?shù)，故函數(shù)在上為增函數(shù)，

且當(dāng)時(shí)，，

令，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

，故函數(shù)為偶函數(shù)，

且，

由可得，即，

因?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，則函數(shù)在上為增函數(shù)，

所以，解得或．

故選：．

由奇函數(shù)的性質(zhì)可得出，求出的值，分析函數(shù)在上的單調(diào)性，令，分析函數(shù)的奇偶性及其在上的單調(diào)性，將所求不等式變形為，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得出原不等式的解集．

本題主要考查了函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性在不等式求解中的應(yīng)用，屬于中檔題．

6.【答案】

【解析】解：根據(jù)最小正周期，可得，解得；

又，即是函數(shù)的一條對(duì)稱軸，

所以，，解得，，

又，當(dāng)時(shí)，．

故選：．

由最小正周期，可得，再由即可得，，從而求出的值．

本題主要考查三角函數(shù)的周期性，屬于基礎(chǔ)題．

7.【答案】

【解析】解：由題意可得，，，

，又，

，，故以，，為同一個(gè)頂點(diǎn)的正方形的外接球即為三棱錐的外接球，

設(shè)外接球的半徑為，則，

三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的表面積為．

故選：．

由題意可得以，，為同一個(gè)頂點(diǎn)的正方形的外接球即為三棱錐的外接球，求解可得球的表面積．

本題考查求空間幾何體的外接球的表面積，屬中檔題．

8.【答案】

【解析】解：在中，設(shè)內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，

，，

，

，，，

如下圖所示：

取線段的中點(diǎn)，連接，則，

，同理，

，則，

即，，

，即，

，

聯(lián)立可得，，

，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最大值為．

故選：．

由三角恒等變換化簡可得出的值，推導(dǎo)出，，利用平面向量的數(shù)量積可得出、的表達(dá)式，利用基本不等式可求得的最大值，

本題主要考查平面向量基本定理，向量數(shù)量積運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．

9.【答案】

【解析】解：對(duì)于：若，則，顯然為純虛數(shù)，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于：，所以，故B正確；

對(duì)于：若，則，，

顯然，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于：復(fù)數(shù)滿足，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，故D正確．

故選：．

利用反例說明、，根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方及共軛復(fù)數(shù)判斷，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義判斷．

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．

10.【答案】

【解析】解：對(duì)于：，故A正確；

對(duì)于：在中，，，，

，即，

，故B正確；

對(duì)于：，故C正確；

對(duì)于：，

，

，故D錯(cuò)誤．

故選：．

根據(jù)圖形，結(jié)合向量加，減，數(shù)乘運(yùn)算，即可判斷；利用向量表示，利用數(shù)量積公式，判斷；根據(jù)的判斷，代入數(shù)量積和模的公式，即可判斷．

本題考查平面向量的線性運(yùn)算，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題，

11.【答案】

【解析】解：因?yàn)?、為正?shí)數(shù)，，

對(duì)于選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，對(duì)；

對(duì)于選項(xiàng)，因?yàn)?，則，

故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，

所以，的最大值為，對(duì)；

對(duì)于選項(xiàng)，，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為，錯(cuò)；

對(duì)于選項(xiàng)，，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即，時(shí)等號(hào)成立，故的最大值為，對(duì)．

故選：．

利用基本不等式可判斷選項(xiàng)，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可判斷選項(xiàng)．

本題主要考查了基本不等式及二次函數(shù)性質(zhì)在最值求解中的應(yīng)用，屬于中檔題．

12.【答案】

【解析】解：對(duì)于：是矩形，，

又平面平面，平面平面，

平面，平面，，

過點(diǎn)作，

平面平面，平面平面，平面，

平面，

又平面，，

，，，平面，

平面，又平面，

．

在三棱柱中為平行四邊形，所以為矩形，故A正確；

對(duì)于：取的中點(diǎn)，連接、，

因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以，平面，

平面，所以平面，

又，平面，

平面，所以面，

，，平面，所以平面平面，

平面，所以平面，故B正確

對(duì)于、：由棱柱知，又平面，平面，

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系如下所示，

不妨設(shè)，，，

則，

取平面的一個(gè)法向量，

，則，

取平面的一個(gè)法向量，

設(shè)為平面的法向量，

則，，令，則，，

由，

，

，則，

，

則，

，．

且，

，

故，故C錯(cuò)誤，D正確．

故選：．

證明平面，即可得到，從而判斷，取的中點(diǎn)，連接、，即可證明平面平面，從而判斷，對(duì)于、，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得．

本題考查空間角、距離，利用空間向量法可以將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)計(jì)算等相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題．

13.【答案】

【解析】解：將數(shù)據(jù)由小到大進(jìn)行排列為、、、、、、、，共個(gè)數(shù)，

因?yàn)?，故該組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為．

故答案為：．

將數(shù)據(jù)由小到大排列，利用百分位數(shù)的定義可求得該組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)．

本題主要考查百分位數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．

14.【答案】

【解析】解：已知向量，，，

則，，

因?yàn)?、、三點(diǎn)共線，則，所以，，解得．

故答案為：．

計(jì)算出、的坐標(biāo)，由題意可知，利用平面向量共線的坐標(biāo)表示可求得實(shí)數(shù)的值．

本題考查了向量坐標(biāo)的減法運(yùn)算，向量減法的幾何意義，共線向量的坐標(biāo)關(guān)系，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．

15.【答案】

【解析】解：在平行四邊形中，為中點(diǎn)，則有，

因?yàn)?，，所以在中?/p>

，，

因?yàn)?，所以?/p>

則

，

故答案為：．

以不共線的兩個(gè)向量作為平面向量基底，用基底表示出需要的向量，在求解過程中涉及到垂直，可用數(shù)量積為來突破，留意向量的方向，準(zhǔn)確找出兩向量的夾角．

本題考查平面向量數(shù)量積的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題．

16.【答案】

【解析】解：設(shè)，則由，得，

在中，，由正弦定理得，

所以，得，

因?yàn)?，所以?/p>

所以，

設(shè)，因?yàn)椋?/p>

所以，

所以，

在中由正弦定理得，，

所以，得，

所以，

在中，，，，

由余弦定理得

，

所以，

所以當(dāng)，即時(shí)，取得最大值．

故答案為：．

由結(jié)合正弦定理可求得，則，設(shè)，在中由正弦定理可求得，則，然后在中由余弦定理表示出，再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可求得結(jié)果．

本題主要考查三角形中的幾何計(jì)算，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．

17.【答案】解：由頻率分布直方圖可知的頻數(shù)為人，

所以在區(qū)間中應(yīng)抽取人．

由頻率分布直方圖可知平均數(shù)為：

，

又，，

所以中位數(shù)位于之間，

設(shè)中位數(shù)為，則，解得，

故中位數(shù)為．

【解析】首先求出中的頻數(shù)，按照分層抽樣計(jì)數(shù)可得；

根據(jù)頻率分布直方圖中平均數(shù)與中位數(shù)計(jì)算規(guī)則計(jì)算可得．

本題主要考查頻率分布直方圖，平均數(shù)、中位數(shù)的求法，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．

18.【答案】解：

，

最小正周期；

令，，得，

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，；

，

令，得，

令，如圖，畫出函數(shù)的圖象，

若在區(qū)間上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則與的圖象，有個(gè)不同的交點(diǎn)，即可，

得

所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．

【解析】首先化簡函數(shù)，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)判斷周期和單調(diào)遞增區(qū)間；

將方程轉(zhuǎn)化為，再結(jié)合函數(shù)的圖象，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，即可求解．

本題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．

19.【答案】解：連接，設(shè)，連接，

因?yàn)槠矫?，平面，平面平面?/p>

所以，又底面為矩形，所以為的中點(diǎn)，

所以為的中點(diǎn)．

因?yàn)槠矫妫矫?，所以?/p>

又，，，平面，所以平面，

所以為直線與平面所成的角，即，

又，所以，則，

由平面，平面，所以，

所以在中，

所以．

【解析】連接，設(shè)，連接，根據(jù)線面平行的性質(zhì)得到，即可證明；

首先證明平面，則為直線與平面所成的角，再求出，最后根據(jù)計(jì)算可得．

本題考查線面平行的性質(zhì)定理，三棱錐的體積的求解，屬中檔題．

20.【答案】解：證明：因?yàn)椋?/p>

所以，

所以，

所以，

因?yàn)闉殇J角三角形，

所以，

所以，

所以，

因?yàn)闉殇J角三角形，

所以，

所以，

所以；

因?yàn)?，?/p>

所以，

所以，

因?yàn)椋裕?/p>

所以，

所以，

，

，

，

，

因?yàn)椋裕?/p>

所以，

所以，

所以當(dāng)時(shí)，取得最大值．

【解析】利用三角函數(shù)恒等變換公式對(duì)已知式子化簡變形可證得結(jié)論；

由已知條件結(jié)合正弦定理可得，，從而可得，然后利用三角函數(shù)恒等變換公式化簡變形可求得結(jié)果．

本題考查解三角形相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題．

21.【答案】解：證明：翻折前，、分別是、的中點(diǎn)，則，

，，

為等邊三角形，所以，，

且，，

翻折后，取的中點(diǎn)，連接、，如下圖所示：

由題意可知，是邊長為的等邊三角形，

為的中點(diǎn)，所以，，且，

，，，

由余弦定理可得，