《空間向量與立體幾何》本章總結(jié)

專題探究精講章末綜合檢測本章總結(jié)知識體系網(wǎng)絡(luò)知識體系網(wǎng)絡(luò)專題探究精講專題一空間向量的概念與運(yùn)算空間向量和平面向量類似，要注意將平面向量的有關(guān)概念、運(yùn)算性質(zhì)、坐標(biāo)形式推廣到空間向量中，得到空間向量的有關(guān)知識，學(xué)會(huì)利用這些知識進(jìn)行空間向量之間的運(yùn)算，特別是空間向量基本定理的應(yīng)用尤為重要．1．向量的線性運(yùn)算選定空間不共面的三個(gè)向量作基向量，并用它們表示出指定的向量，是用向量解決立體幾何問題的基本要求．解題時(shí)應(yīng)結(jié)合已知和所求觀察圖形，聯(lián)想相關(guān)的運(yùn)算法則和公式等，就近表示所需向量，再對照目標(biāo)，將不符合目標(biāo)要求的向量作新的調(diào)整，如此反復(fù)，直到所有向量都符合目標(biāo)要求．例1【思路點(diǎn)撥】注意結(jié)合已知和所求，觀察圖形，聯(lián)想相關(guān)的運(yùn)算法則和公式等，表示所需向量，再對照目標(biāo)及基底{a，b，c}，將不符合的向量進(jìn)行轉(zhuǎn)化，如此反復(fù)，直到所涉及的向量都可用基底表示．【名師點(diǎn)評】進(jìn)行加、減運(yùn)算時(shí)，應(yīng)該注意相反向量的使用，求和的形式往往決定著運(yùn)算的方法．2．共線向量、共面向量運(yùn)用共線向量定理和共面向量定理可以解決立體幾何中的平行問題和共面問題．例2【答案】④所謂基向量法，就是選擇合適的基向量處理數(shù)學(xué)問題的方法．用基向量法求解較復(fù)雜的立體幾何問題時(shí)，首先應(yīng)恰當(dāng)?shù)剡x取基向量，然后將其他相關(guān)向量用基向量表示，最后再利用向量間的關(guān)系解題．這種方法多用于四面體和平行六面體．專題二基向量法例3【名師點(diǎn)評】當(dāng)空間圖形不適合建立空間直角坐標(biāo)系時(shí)，一般選用基向量法．利用空間向量定理可以方便地論證空間中的一些線、面位置關(guān)系，如線面平行、線面垂直、面面平行、面面垂直等．在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知DC＝DD1＝2AD＝2AB，AD⊥DC，AB∥DC，E是DC的中點(diǎn)．求證：D1E∥平面A1BD專題三空間向量與線、面位置關(guān)系例4【思路點(diǎn)撥】本題給出的幾何體是直四棱柱，“垂直”特點(diǎn)明顯．因此，建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算來解答．【名師點(diǎn)評】本題主要考查了空間直角坐標(biāo)系的建立、空間直角坐標(biāo)運(yùn)算、共面向量定理在論證線、面平行關(guān)系中的應(yīng)用．分析、把握幾何體中的“垂直”關(guān)系，合理建立空間直角坐標(biāo)系是解題的關(guān)鍵．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，BB1＝1，E為BB1的中點(diǎn)．證明：平面AEC1⊥平面AA1C1C【思路點(diǎn)撥】要證明兩個(gè)平面垂直，由兩個(gè)平面垂直的條件，可證明這兩個(gè)平面的法向量垂直．例5【證明】由題意得AB、BC、B1B兩兩垂直，以B為原點(diǎn)，分別以BA、BC、BB1所在直線為、、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則【名師點(diǎn)評】本題的證法很多，解題時(shí)要注意方法的選擇，即使是同為坐標(biāo)法，空間直角坐標(biāo)系的建立方法也可以有所不同，這會(huì)影響問題解決的難易程度．為了使所得點(diǎn)和向量的坐標(biāo)方便計(jì)算和證明，一定要分析空間圖形的結(jié)構(gòu)特征，選取合適的點(diǎn)作原點(diǎn)，合適的直線和方向作坐標(biāo)軸，靈活運(yùn)用平面幾何知識．角這一幾何量在本質(zhì)上是對直線與平面位置關(guān)系的定量分析，其中轉(zhuǎn)化的思想非常重要，三種空間角都可以化為平面角來計(jì)算，因此可進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為空間向量的夾角求解．專題四利用空間向量求空間角例6【名師點(diǎn)評】用向量法求直線和平面所成的角時(shí)，一定要注意正余弦的互化，并注意線面角的范圍．已知正方體ABCD－A1B1C1D1中平面AB1D1與A1BD所成的角為θ0°≤θ≤90°，求coθ的值．【思路點(diǎn)撥】可建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩平面的法向量，把求二面角轉(zhuǎn)化為求兩法向