乘法公式和整式的除法一、教學(xué)內(nèi)容：1、多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘時(shí)常用到的兩個(gè)公式：平方差公式、完全平方公式．2、同底數(shù)冪的除法法則．3、單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式和多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式．二、知識(shí)要點(diǎn)：1、平方差公式：(a+b)(a—b)=a2—b2兩個(gè)數(shù)的和與兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差．注意：(1)公式的左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，并且這兩個(gè)二項(xiàng)式中有一項(xiàng)完全相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)．(2)右邊是左邊因式中的兩項(xiàng)的平方差(相同項(xiàng)的平方減去相反項(xiàng)的平方)．(3)公式中的a與b可以是單個(gè)的數(shù)，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.(4)只有對(duì)于形如兩數(shù)的和與這兩數(shù)的差相乘時(shí)，才可以用平方差公式．2、完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2兩數(shù)和(或差)的平方，等于它們的平方和加(或減)它們的積的2倍．注意：(1)(a+b)2=a2+2ab+b2和(&—匕)2=a2—2ab+b2都叫做完全平方公式.為了區(qū)別，我們把前者叫做兩數(shù)和的完全平方公式，后者叫做兩數(shù)差的完全平方公式．(2)公式的特點(diǎn)：兩個(gè)公式的左邊都是一個(gè)二項(xiàng)式的完全平方，二者僅一個(gè)“符號(hào)”的不同；右邊都是二次三項(xiàng)式，當(dāng)中有兩項(xiàng)是公式左邊二項(xiàng)中每一項(xiàng)的平方，第三項(xiàng)是左邊二項(xiàng)式中兩項(xiàng)乘積的2倍，二者也僅是一個(gè)“符號(hào)”的不同．(3)公式中的a與b可以是數(shù)，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.(4)在運(yùn)用公式時(shí)要注意保持前后“符號(hào)”的一致性．3、乘法公式和面積之間的關(guān)系如圖(1),(a+b)(a—b)=；如圖(2),(a+b)2=；如圖(3),(a—b)2=.4、同底數(shù)冪的除法的運(yùn)算性質(zhì)：am^an=am-n(aW0,m、n都是正整數(shù)，并且m>n).同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減．注意：(1)因?yàn)榱悴荒茏鞒龜?shù)，所以底數(shù)不能為0．(2)底數(shù)可以是一個(gè)數(shù)，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式．5、零指數(shù)冪因?yàn)閍m：am=1,又因?yàn)閍m:amuam-mua。.所以ao=1.其中aW0.即：任何不等于0的數(shù)的零次冪都等于1．6、單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式單項(xiàng)式相除：把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，對(duì)于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式.如：一4am2：2m=[(—4)：2]?a?(m2：m)步驟：(1)把系數(shù)相除，所得結(jié)果作為商的系數(shù)．(2)把同底數(shù)冪相除，所得結(jié)果作為商的因式．(3)把只在被除式里含有的字母，連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式．7、多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式：(am+bm)：m=am；m+bm；m=a+b.多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得的商相加．其實(shí)質(zhì)就是把多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的運(yùn)算．計(jì)算時(shí)不要漏除，同時(shí)注意運(yùn)算符號(hào)．三、重點(diǎn)、難點(diǎn)：重點(diǎn)是乘法公式和整式除法的運(yùn)算法則，難點(diǎn)是在運(yùn)算過程中如何準(zhǔn)確的應(yīng)用乘法公式．【典型例題】例1、(1)計(jì)算：(3a—2b)(3a+2b),(2)(2008年福建南平)先化簡，再求值：(a+b)(a—b)+b(b—2),其中a=—1,b=1.分析：(1)是兩個(gè)數(shù)的和乘以兩個(gè)數(shù)的差的形式．可直接應(yīng)用公式寫出結(jié)果．(2)的前一部分直接用平方差公式計(jì)算,再化簡求值．解：(1)(3a—2b)(3a+2b)=(3a)2—(2b)2=9a2—4b2,(2)(a+b)(a—b)+b(b—2)=a2—b2+b2—2b=a2—2b,當(dāng)a=—1,b=1時(shí)，原式=a2—2b=-1.評(píng)析：利用平方差公式計(jì)算直接寫出結(jié)果時(shí),“平方”是一個(gè)整體的平方,不但字母要平方，系數(shù)也必須同時(shí)平方，要防止出現(xiàn)這樣的錯(cuò)誤：(3a+2b)(3a—2b)=3a2—2b2.例2、計(jì)算：(1)(3a+b)2；(2)(—x+3y)2；(3)9992；(4)(b＋c)(—b—c).分析：此題可利用完全平方公式計(jì)算,(1)題是兩數(shù)和的平方,應(yīng)選用和的完全平方公式，其中3a是公式中的a,b是公式中的b；⑵題(一x+3y)2=(3y—x)2=(x—3y)2；所以選用差的完全平方公式；(3)題關(guān)鍵是化成兩數(shù)差的平方；(4)題中(一b—c)=—(b+c),原式=—(b+c)2.解：(1)(3a+b)2=(3a)2+2?3a?b+b2=9a2+6ab+b2(2)(－x＋3y)2二(3y—x)2=(3y)2—2?3y?x+x2=9y2—6xy+x2(3)9992=(1000—1)2=10002—2X1000X1+1=1000000—2000+1=998001(4)(b＋c)(—b—c)=—(b+c)2=—(b2+2bc+c2)=—b2—2bc—c2評(píng)析：通過例題可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)所給的二項(xiàng)式中兩項(xiàng)符號(hào)相同時(shí)，一般選用“和”的完全平方公式，如：(1)(3a+b)2和(4)(b+c)(—b—c)；當(dāng)二項(xiàng)式中兩項(xiàng)符號(hào)相反時(shí)，一般選用“差”的完全平方公式.如：(2)(—x+3y)2.例3、(1)(2007年南京)計(jì)算x3：x的結(jié)果是 ()A.x4 B.x3 C.x2 D.3(2)(2007年重慶)計(jì)算6m3：(—3改)的結(jié)果是()A.—3m B.—2m C.2mD.3m(3)(2007年寧夏)計(jì)算：(9a2b—6ab2)：(3ab)=.分析：(1)x3：x=x3T=x2,故選C；(2)6m3：(—3改)=[6：(—3)]m3—2=—2m,故選B；(3)(9a2b—6ab2)：(3ab)=9a2b：3ab—6ab2：3ab=3a—2b解：(1)C(2)B(3)3a—2b評(píng)析：整式的除法歸根結(jié)底是要轉(zhuǎn)化成同底數(shù)冪的除法．例4、已知16x2—2(m—1)xy+49y2是一個(gè)完全平方式，求m的值.分析：由完全平方式特征可得a=4x,b=7y,且±2ab=—2(m—1)xy,所以m應(yīng)有兩個(gè)值．解：由題意可知：一2(m—1)xy=±2?(4x)?(7y)m—1=±28?.m^29或m^27評(píng)析：完全平方式有兩種形式，用a2+b2±2ab解求ab項(xiàng)系數(shù)習(xí)題時(shí)應(yīng)注意系數(shù)可為±2,不僅僅為2．1例5、計(jì)算：(1)(—xy)i2：(—xy)5；(2)(x—2y)4：(2y—x)3；(3)(—3)30：(3)0：(3)29.分析：此題主要運(yùn)用同底數(shù)冪的除法法則進(jìn)行運(yùn)算,一定要注意法則的運(yùn)用,如(1)題底數(shù)為一xy,且要注意符號(hào).(2)和(3)題都需先把底數(shù)化成同底數(shù)如x—2y=—(2y—x).解：(1)(—xy)i2：(—xy)5=(—xy)12—5=(—xy)7=—X7y7；(2)(x—2y)4：(2y—x)3=(2y—x)4：(2y—x)3=(2y—x)4—3=2y—x；111(3)(—3)30^(3)0^(3)29=(3)30^(3)0：(3)291=(3)30—0—291=3評(píng)析：進(jìn)行同底數(shù)冪的除法運(yùn)算時(shí)，其底數(shù)必須相同，指數(shù)相減，此外，還應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：(1)符號(hào)的處置，指數(shù)的奇偶性確定符號(hào)的性質(zhì)；(2)底數(shù)為多項(xiàng)式時(shí)不要隨意計(jì)算，如(a—b)ii=aii—bii這是極易出現(xiàn)的錯(cuò)誤.例6、先化簡再求值．［(x—y)2+(x+y)(x—y)］：2x,其中x=3,y=—1.5.分析：(x—y)2與(x+y)(x—y)可運(yùn)用乘法的完全平方公式與平方差公式展開，然后合并同類項(xiàng).解：［(x—y)2+(x+y)(x—y)］：2x=(x2—2xy+y2+x2—y2)：2x=(2x2—2xy)：2x=x—y當(dāng)x=3,y=—1.5時(shí)，原式=3一(—1.5)=4.5.【方法總結(jié)】1、在整式除法的學(xué)習(xí)中要注意轉(zhuǎn)化的思想方法，例如，多項(xiàng)式與單項(xiàng)式相除的法則，第一步是轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相除，第二步則是轉(zhuǎn)化為有理數(shù)的除法與同底數(shù)冪的除法.2、注意乘法公式與面積之間的內(nèi)在聯(lián)系，進(jìn)而感受幾何與代數(shù)內(nèi)在的統(tǒng)一性.【模擬試題】(答題時(shí)間：60分鐘)一、選擇題TOC\o"1-5"\h\z1、(2008年哈爾濱)下列運(yùn)算中，正確的是( )A.x2+x2=x4 B.x2：x=x2 C.x3—x2=x D.x?x2=x32、(2008年山東)下列計(jì)算結(jié)果正確的是( )A.—2x2y3?2xy=-2x3y4 B.3x2y—5xy2=-2x2yC.28x4y2：7x3y=4xy D.(—3a—2)(3a—2)=9a2—43、在下列多項(xiàng)式乘法中，可以用平方差公式計(jì)算的是 ( )A.(x＋y)(—x—y) B.(a2—b)(a2＋b2)C.(2x—3y)(2y＋3x) D.(—3a＋4b)(—3a—4b)4、(2008年廣東汕頭)下列式子中是完全平方式的是 ( )A.a2＋ab＋b2 B.a2＋2a＋2C.a2—2b＋b2 D.a2＋2a＋15、(2007年黃岡)下列計(jì)算正確的是( )A.a3+a2=2a5B. (—A.a3+a2=2a5(a+b)(a+b)2=a2+b2a6：a2=a3*6、下列算式：①a3n：an=a3②b3n—bn=b2n,③(3—n)0=1,④(Pn+1)3：P2n?P2=Pn+1中，正確的算式有()A.1A.1個(gè) B.2個(gè)C.3個(gè) D.4個(gè)7、( )3D.2(a—b)2=12,則0.2+b2的D.4D.500D.7、( )3D.2(a—b)2=12,則0.2+b2的D.4D.500D.62TOC\o"1-5"\h\zA.—1 B.1 C.3*8、(2008年全國數(shù)學(xué)競賽廣東初賽)已知(&+匕)2=8,值為( )A.10 B.8 C.20100029、計(jì)算2522—2482的結(jié)果為( )1A.2 B.1000 C.500069 9**10、若1—x+x2=0,那么x的值等于 ()A.—3 B.3 C.—6、填空題11、(1)a5：a2= (2)(—a)3：(—a)=.12、(1)(x+3)(x—3)= ,(2)(3x+y)(y—3x)= ．13、(2008年濟(jì)南)當(dāng)x=3,y=1時(shí)，代數(shù)式(x+y)(x—y)+y2的值是.*14、(—m+2)2= ,(x—2y—3)(x+2y—3)=[( )—2y][( )+2y]=( )2—4y2．15、利用乘法公式計(jì)算：1993X2001=.3*16、(3m—2n)(2m+n)= ．三、解答題17、計(jì)算下列各題：(1)(x3y2)5：(x3y2)3;(2)(x+y)10：(—x—y)7：(x+y)2；(3)(1—2a)(1+2a)(1+4a2)(1+16a4)．18、運(yùn)用乘法公式進(jìn)行簡便計(jì)算：(1)103X97；(2)4012；(3)20082—2009X2007．19、先化簡再求值：8(2x—1)2—(3x—1)(1+3x)+5x(x—1),其中x=—9；**20、(2007年山東淄博)根據(jù)以下10個(gè)乘積,回答問題：11X29；12X28；13X27；14X26；15X25；16X24；17X23；18X22；19X21；20X20．(1)試將以上各乘積分別寫成一個(gè)“口2—。2"(兩數(shù)平方差)的形式，并寫出其中一個(gè)的思考過程；(2)將以上10個(gè)乘積按照從小到大的順序排列起來；(3)試由(1)、(2)猜測一個(gè)一般性的結(jié)論．(不要求證明)【試題答案】、選擇題1、D2、C3、D4、D5、B6、A7、C8、A9、D10、B、填空題11、（1）a3（2）a212、x2－9，y2－9x213、914、m2－4m＋4，x－3，x－3，x－315、39999116116、原式=2 (3m—2n)1(3m+2n) =2(9m2—)=三、解答題17、(1)X6y4(2)—x—y(3)1—256a818、(1)原式=(100+3)(100—3)=10000—9=9991(2)原式=(400+1)2=4002+800+1=160801(3)原式=20082—(2008+1)(2008—1)=20082—20082+1=119、原式=4x2—4x+1—(9x2—1)+5x2—5x=4x2—4x+1—9X2+1+5