4.2.1等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用人教A版（2019）選擇性必修第二冊(cè)新知導(dǎo)入復(fù)習(xí)1等差數(shù)列的概念提示：文字語(yǔ)言如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示.符號(hào)語(yǔ)言新知導(dǎo)入2等差中項(xiàng)復(fù)習(xí)提示：（1）條件：如果a，A，b

成等差數(shù)列（2）結(jié)論：A叫做a與b

的等差中項(xiàng)（3）滿足的關(guān)系式是2A=a+b3等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和遞推公式已知等差數(shù)列{}的首項(xiàng)為，公差為d遞推公式通項(xiàng)公式an－an－1＝d(n≥2)an＝a1＋(n－1)d(n∈N*)新知講解例3某公司購(gòu)置了一臺(tái)價(jià)值為220萬(wàn)元的設(shè)備，隨著設(shè)備在使用過程中老化，其價(jià)值會(huì)逐年減少.經(jīng)驗(yàn)表明，每經(jīng)過一年其價(jià)值就會(huì)減少d（d為正常數(shù)）萬(wàn)元.已知這臺(tái)設(shè)備的使用年限為10年，超過10年，它的價(jià)值將低于購(gòu)進(jìn)價(jià)值的5%，設(shè)備將報(bào)廢.請(qǐng)確定d的取值范圍.分析：這臺(tái)設(shè)備使用n年后的價(jià)值構(gòu)成一個(gè)數(shù)列{}.由題意可知，10年之內(nèi)（含10年），這臺(tái)設(shè)備的價(jià)值應(yīng)不小于（2205%=）11萬(wàn)元；而10年后，這臺(tái)設(shè)備的價(jià)值應(yīng)小于11萬(wàn)元.可以利用{}的通項(xiàng)公式列不等式求解.新知講解解：設(shè)使用n年后，這臺(tái)設(shè)備的價(jià)值為萬(wàn)元，則可得數(shù)列{}.由已知條件，得.

于是.根據(jù)題意，得即解這個(gè)不等式組，得

所以，d的取值范圍為

新知講解例4已知等差數(shù)列{}的首項(xiàng)

，公差d=8，在{}中每組相鄰兩項(xiàng)之間都插入3個(gè)數(shù)，使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個(gè)新的等差數(shù)列{}.（1）求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式.（2）是不是數(shù)列{}的項(xiàng)？若是，它是{}的第幾項(xiàng)？若不是，說明理由.分析：

（1）{}是一個(gè)確定的數(shù)列，只要把，表示為{}中的項(xiàng)，就可以利用等差數(shù)列的定義得出{}的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè){}中的第n項(xiàng)是{}中的第項(xiàng)，根據(jù)條件可以求出n與的關(guān)系式，由此即可判斷

是否為{}的項(xiàng).合作探究解：（1）設(shè)數(shù)列{}的公差為.

于是.

所以.所以，數(shù)列{}的通項(xiàng)公式是

.

解得所以，

是數(shù)列{}的第8項(xiàng).合作探究思考：如果插入的是個(gè)數(shù)，那么的公差是多少？提示：設(shè)數(shù)列

{}的公差為

.

于是.

所以

合作探究例5已知數(shù)列{}是等差數(shù)列，

且

求證：

分析：只要根據(jù)等差數(shù)列的定義寫出，再利用已知條件即可得證.證明：設(shè)數(shù)列{}的公差為d，則，，，.所以因?yàn)?/p>

所以

合作探究拓展等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣：（

）(2)若{}是等差數(shù)列，,且.則①

特別地，當(dāng)

時(shí)，

②

對(duì)有窮等差數(shù)列，與首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)的和，即.(3)若是公差為d的等差數(shù)列，則①(c為任意常數(shù))是公差為d的等差數(shù)列②

(c為任意常數(shù))是公差為cd的等差數(shù)列③

是公差為md的等差數(shù)列．(4)若分別是公差為的等差數(shù)列，則數(shù)列是公差為

的等差數(shù)列.課堂練習(xí)1已知數(shù)列{}是等差數(shù)列，且

，求的值.解：∵

等差數(shù)列中，若.則∴，由條件等式得∴

課堂練習(xí)2(多選題)下列命題正確的是（

）A給出數(shù)列的有限項(xiàng)就可以唯一確定這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式B若等差數(shù)列的過程，則是遞增數(shù)列C若a，b，c成等差數(shù)列，則

，可能成等差數(shù)列D若數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列不一定是等差數(shù)列答案:BC課堂練習(xí)3靈活設(shè)元求解等差數(shù)列(1)三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，首末兩數(shù)之積比中間數(shù)的平方小16，則公差是多少？(2)四個(gè)數(shù)成遞增等差數(shù)列，中間兩項(xiàng)的和為2，首末兩項(xiàng)的積為－8，求這四個(gè)數(shù)．解：（1）設(shè)這三個(gè)數(shù)依次為a－d，a，a＋d，又“首末兩數(shù)之積比中間數(shù)的平方小16”解得

故公差是

課堂練習(xí)3靈活設(shè)元求解等差數(shù)列(2)四個(gè)數(shù)成遞增等差數(shù)列，中間兩項(xiàng)的和為2，首末兩項(xiàng)的積為－8，求這四個(gè)數(shù)．解法1：設(shè)這四個(gè)數(shù)為a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差為2d)，依題意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，即a＝1，

，∴，∴d＝1或d＝－1.又四個(gè)數(shù)成遞增等差數(shù)列，所以d＞0，∴d＝1，故所求的四個(gè)數(shù)為－2,0,2,4.課堂練習(xí)3靈活設(shè)元求解等差數(shù)列(2)四個(gè)數(shù)成遞增等差數(shù)列，中間兩項(xiàng)的和為2，首末兩項(xiàng)的積為－8，求這四個(gè)數(shù)．解法2：若設(shè)這四個(gè)數(shù)為a，a＋d，a＋2d，a＋3d(公差為d)，依題意，2a＋3d＝2，且a(a＋3d)＝－8，把

代入a(a＋3d)＝－8，得即，化簡(jiǎn)得，所以d＝2或－2.又四個(gè)數(shù)成遞增等差數(shù)列，所以d＞0，所以d＝2，a＝－2.故所求的四個(gè)數(shù)為－2,0,2,4.課堂練習(xí)常見設(shè)元技巧(1)某兩個(gè)數(shù)是等差數(shù)列中的連續(xù)兩個(gè)數(shù)且知其和，可設(shè)這兩個(gè)數(shù)為：a－d，a＋d，公差為2d；(2)三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列且知其和，常設(shè)此三數(shù)為：a－d，a，a＋d，公差為d；(3)四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列且知其和，常設(shè)成a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，公差為2d.

課堂練習(xí)

解法1：由等差數(shù)列的性質(zhì)得，，…，.∴

.課堂練習(xí)

解法2：∵數(shù)列{}是等差數(shù)列∴，，

也成等差數(shù)列，

∴∴

.課堂練習(xí)5在等差數(shù)列中，是方程的根，則________.由已知得.又?jǐn)?shù)列為等差數(shù)列，∴.答案：3解：課堂總結(jié)等差數(shù)列的常用性質(zhì)1若{}是等差數(shù)列，,且.則2通項(xiàng)公式的推廣：（

）3若分別是公差為的等差數(shù)列，

則數(shù)列是公差為

的等差數(shù)列.常見設(shè)元技巧(1)某兩個(gè)數(shù)是等差數(shù)列中的連續(xù)兩個(gè)數(shù)且