第7講平面向量的奔馳定理與四心問題【考點(diǎn)分析】考點(diǎn)一：三角形重心的概念及向量表示①重心的概念：三角形各邊中線的交點(diǎn)叫做重心，重心分中線長度的比為2：1．②重心的向量表示：如圖所示在中，為重心證明：，所以③重心坐標(biāo)公式，設(shè)，，，則△ABC的重心坐標(biāo)為.考點(diǎn)二：三角形垂心的概念及向量表示①垂心的概念：三角形各邊上高線的交點(diǎn)叫做垂心．②垂心的向量表示：如圖所示在中，為重心證明：因?yàn)椋?，所以，同理可得，，所以為重心考點(diǎn)三：三角形內(nèi)心的概念及向量表示①內(nèi)心的概念：三角形各角平分線的交點(diǎn)叫做內(nèi)心，內(nèi)心也為三角形內(nèi)切圓的圓心．②內(nèi)心的向量表示：如圖所示在中，為重心且考點(diǎn)四：三角形外心的概念及向量表示①外心的概念：三角形各邊中垂線的交點(diǎn)叫做外心，外心也為外接圓的圓心．②外心的向量表示：若為內(nèi)一點(diǎn)，則為的外心.考點(diǎn)五：奔馳定理奔馳定理：若為內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，則、、的面積之比等于考點(diǎn)六：三角形四心與奔馳定理的關(guān)系及證明①是的重心：．證明：由重心分三角形面積相等及奔馳定理易得②是的內(nèi)心：證明：，，（為內(nèi)切圓的半徑），所以，再由奔馳定理可得③是的外心：．證明：，由同弧所對的圓周角是圓心角的一半可得，所以（為外接圓的半徑），同理可得，，所以，再由奔馳定理可得④是的垂心：證明：如圖為的垂心，則有，，所以，所以，同理可得，所以，再由奔馳定理可得【題型目錄】題型一：四心的向量表示題型二：奔馳定理的應(yīng)用【典型例題】題型一：四心的向量表示【例1】已知，，在所在的平面內(nèi)，且，且，則，，分別是的A．重心外心垂心B．重心外心內(nèi)心C．外心重心垂心D．外心重心內(nèi)心【解析】解：因?yàn)榍遥?到頂點(diǎn)，，的距離相等，所以為的外心．由得，即，所以．同理可證，所以為的垂心．若，則，取的中點(diǎn)，則，所以，所以是的重心．故選：．【例2】已知點(diǎn)在所在的平面內(nèi)，滿足，則動點(diǎn)的軌跡一定通過的（）A．內(nèi)心B．垂心C．外心D．重心【答案】D【分析】由給定條件可得，由表示出即可判斷作答.【詳解】令邊BC上的高為h，則有，令邊BC的中點(diǎn)為D，則，因此，，即，所以動點(diǎn)的軌跡一定通過的重心.故選：D【例3】設(shè)為的外心，若，則是的（）A．重心（三條中線交點(diǎn)）B．內(nèi)心（三條角平分線交點(diǎn)）C．垂心（三條高線交點(diǎn)）D．外心（三邊中垂線交點(diǎn)）【答案】C【解析】設(shè)的中點(diǎn)為，根據(jù)題意可得，由題中向量的等式化簡得，即在邊的高線上．同理可證出在邊的高線上，故可得是三角形的垂心．【詳解】在中，為外心，可得，∵，∴，設(shè)的中點(diǎn)為，則，，∴，可得在邊的高線上．同理可證，在邊的高線上，故是三角形兩高線的交點(diǎn)，可得是三角形的垂心，故選：C【點(diǎn)睛】本題給出三角形中的向量等式，判斷點(diǎn)是三角形的哪一個(gè)心．著重考查了向量加法法則、三角形的外接圓性質(zhì)和三角形“五心”的判斷等知識點(diǎn)，屬于中檔題．【例4】已知點(diǎn)是所在平面內(nèi)的一定點(diǎn)，是平面內(nèi)一動點(diǎn)，若，則點(diǎn)的軌跡一定經(jīng)過的（）A．重心B．垂心C．內(nèi)心D．外心【答案】A【分析】設(shè)D是BC的中點(diǎn)，由，，知，所以點(diǎn)P的軌跡是射線AD，故點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過△ABC的重心．【詳解】如圖，設(shè)D是BC的中點(diǎn)，∵，，∴，即∴點(diǎn)P的軌跡是射線AD，∵AD是△ABC中BC邊上的中線，∴點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過△ABC的重心．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查三角形五心的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．【例5】點(diǎn)為所在的平面內(nèi)，給出下列關(guān)系式：①；②且；③.則點(diǎn)依次為的（）A．內(nèi)心、重心、垂心B．重心、內(nèi)心、垂心C．重心、內(nèi)心、外心D．外心、垂心、重心【答案】C【解析】逐條判斷。第一條是關(guān)于重心的性質(zhì)；第二條取單位長度的向量和，從而得出點(diǎn)在的平分線上，這就涉及三角形的內(nèi)心；第三條可以推導(dǎo)出和垂直，從而和三角形的外心相關(guān)?！驹斀狻竣儆捎冢渲袨榈闹悬c(diǎn)，可知為邊上中線的三等分點(diǎn)（靠近線段），故為的重心；②向量，，分別表示在邊和上取單位向量和，它們的差是向量，當(dāng)，即時(shí)，則點(diǎn)在的平分線上，同理由，知點(diǎn)在的平分線上，故為的內(nèi)心；③是以，為邊的平行四邊形的一條對角線的長，而是該平行四邊形的另一條對角線的長，表示這個(gè)平行四邊形是菱形，即，同理有，故為的外心.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查利用向量的方法去研究三角形的內(nèi)心，外心，重心的性質(zhì)，屬于有一定難度的綜合題?！纠?】是所在平面上的一定點(diǎn)，動點(diǎn)滿足，，，則點(diǎn)形成的圖形一定通過的垂心．（填外心或內(nèi)心或重心或垂心）【解析】解：與垂直點(diǎn)在的高線上，即的軌跡過的垂心故答案為：垂心．【例7】點(diǎn)是平面上一定點(diǎn)，、、是平面上的三個(gè)頂點(diǎn)，、分別是邊、的對角，以下命題正確的是①②③④⑤（把你認(rèn)為正確的序號全部寫上）．①動點(diǎn)滿足，則的重心一定在滿足條件的點(diǎn)集合中；②動點(diǎn)滿足，則的內(nèi)心一定在滿足條件的點(diǎn)集合中；③動點(diǎn)滿足，則的重心一定在滿足條件的點(diǎn)集合中；④動點(diǎn)滿足，則的垂心一定在滿足條件的點(diǎn)集合中；⑤動點(diǎn)滿足，則的外心一定在滿足條件的點(diǎn)集合中．【解析】解：對于①，動點(diǎn)滿足，，則點(diǎn)是的重心，故①正確；對于②，動點(diǎn)滿足，，又在的平分線上，與的平分線所在向量共線，的內(nèi)心在滿足條件的點(diǎn)集合中，②正確；對于③，動點(diǎn)滿足，，，過點(diǎn)作，垂足為，則，，向量與邊的中線共線，因此的重心一定在滿足條件的點(diǎn)集合中，③正確；對于④，動點(diǎn)滿足，，，，的垂心一定在滿足條件的點(diǎn)集合中，④正確；對于⑤，動點(diǎn)滿足，設(shè)，則，由④知，，，點(diǎn)的軌跡為過的的垂線，即的中垂線；的外心一定在滿足條件的點(diǎn)集合，⑤正確．故正確的命題是①②③④⑤．故答案為：①②③④⑤．【題型專練】1.在中，非零向量、、滿足，則點(diǎn)是的（）A．內(nèi)心B．外心C．重心D．垂心【答案】C【分析】分別取、、的中點(diǎn)、、，分析出為三條底邊上中線的交點(diǎn)，由此可得出結(jié)論.【詳解】如下圖所示：分別取、、的中點(diǎn)、、，連接、、，，所以，，所以，，故、、三點(diǎn)共線，即，同理可知，，即為三條底邊上中線的交點(diǎn)，因此，為的重心.故選：C.2.設(shè)O是所在平面內(nèi)一定點(diǎn),P是平面內(nèi)一動點(diǎn),若,則點(diǎn)O是的A．內(nèi)心B．外心C．重心D．垂心【答案】B【解析】設(shè)的中點(diǎn)分別為，可得，再由已知可得，得，同理可得，即可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)的中點(diǎn)分別為，，，所以，點(diǎn)在線段的垂直平分線上，同理點(diǎn)在線段的垂直平分線上，所以為的外心.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查三角形外心的向量表示，考查向量線性運(yùn)算以及垂直的向量表示，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.3．已知O是所在平面上的一點(diǎn),角A、B、C所對的邊分別為a,b,c，若（其中P是所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)），則O點(diǎn)是的（）A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心【答案】B【分析】將所給向量表達(dá)式進(jìn)行變形,表示成與方向上的單位向量的形式,由向量加法運(yùn)算的性質(zhì)即可知O在角平分線上,即可得解.【詳解】因?yàn)閯t,即移項(xiàng)可得即則因?yàn)樗曰喛傻?即設(shè)為方向上的單位向量,為方向上的單位向量所以,則所以則在的角平分線上同理可知在的角平分線上因而為的內(nèi)心故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了向量線性運(yùn)算的化簡及應(yīng)用,三角形內(nèi)心的向量表示形式,化簡過程較為復(fù)雜,屬于中檔題.4．已知是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，向量滿足條件，且，則是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等邊三角形【答案】D【分析】由題可得既是的外心又是重心進(jìn)而即得.【詳解】由得是的重心，由得是的外心，故重心與外心重合，所以是等邊三角形.故選：D.5．（多選題）已知A，B，C是平面上不共線的三點(diǎn)，O是的重心，動點(diǎn)P滿足，則點(diǎn)P一定不是（）A．邊中線的中點(diǎn)B．邊中線的三等分點(diǎn)（非重心）C．的重心D．邊的中點(diǎn)【答案】ACD【分析】利用重心的向量表示及向量的線性運(yùn)算，得到，判斷出P的位置，對四個(gè)選項(xiàng)一一驗(yàn)證，得到正確答案.【詳解】因?yàn)镺是的重心，所以，所以,所以點(diǎn)P為OC的中點(diǎn)，即為邊中線的三等分點(diǎn)（非重心）故選：ACD6．設(shè)O為所在平面上一點(diǎn)，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則正確的（）A．O為的外心B．O為的重心C．O為的垂心D．O為的內(nèi)心【答案】BCD【分析】由三角形四心的定義，利用正弦定理，向量共線定理和平面幾何的知識，即可得出結(jié)果.O為三角形的外心，由正弦定理可得：，故A錯(cuò)誤；O為三角形的重心，O為中線的交點(diǎn)，延長AO交BC于點(diǎn)M，可得，所以.反之，取BC中點(diǎn)M，若，則，則可得A,O,M三點(diǎn)共線且，即A為三角形的重心.故B正確；O為三角形的垂心，，同理可證，即，反之也成立，故C正確；D.當(dāng)O為三角形的內(nèi)心，O為三角形的角平分線，則，如圖過A作CF的平行線交BE的延長線于點(diǎn)N，過A作BE的平行線交CF于點(diǎn)M，則四邊形AMON為平行四邊形所以，反之也成立，故D正確；故選：BCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：平面向量結(jié)合平面幾何的知識進(jìn)行推理是解題的關(guān)鍵.本題考查了理解辨析能力、邏輯推理能力和解決問題能力，屬于難題.7．已知所在的平面上的動點(diǎn)滿足，則直線一定經(jīng)過的A．重心B．外心C．內(nèi)心D．垂心【解析】解：，根據(jù)平行四邊形法則知表示的向量在三角形角的平分線上，而向量與共線，點(diǎn)的軌跡過的內(nèi)心，故選：．8．（1）已知是平面上的一定點(diǎn)，，，是平面上不共線的三個(gè)動點(diǎn)，若動點(diǎn)滿足，，則點(diǎn)的軌跡一定通過的重心（填“內(nèi)心”“外心”“重心”或“垂心”．（2）已知是平面上的一定點(diǎn)，，，是平面上不共線的三個(gè)動點(diǎn)，若動點(diǎn)滿足，，則點(diǎn)的軌跡一定通過的．（填“內(nèi)心”“外心”“重心”或“垂心”【解析】解：（1）由已知，，根據(jù)平行四邊形法則，設(shè)中邊的中點(diǎn)為，知，，，則，，三點(diǎn)共線，點(diǎn)的軌跡必過的重心；（2）由已知，，而表示與共線的單位向量，表示與共線的單位向量，在的角平分線上，點(diǎn)的軌跡一定通過的內(nèi)心．故答案為：重心，內(nèi)心．題型二：奔馳定理【例1】（多選題）“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.奔馳定理：已知是內(nèi)的一點(diǎn)，、、的面積分別為、、，則.若是銳角內(nèi)的一點(diǎn)，、、是的三個(gè)內(nèi)角，且點(diǎn)滿足，則（

）A．為的垂心B．C．D．【答案】ABD【解析】【分析】首先可根據(jù)得出，用相同的方式得出、，即可得出A正確，然后作輔助線，根據(jù)、即可得出B正確，再然后通過正弦定理得出，即，用相同的方式得出，即可得出C錯(cuò)誤，最后結(jié)合解三角形面積公式以及B項(xiàng)得出、、，根據(jù)“奔馳定理”得出，結(jié)合C項(xiàng)即可得出D正確.【詳解】A項(xiàng)：，即，，，，同理可得，，故為的垂心，A正確；B：如圖，延長交于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，因?yàn)椋?，，因?yàn)?，所以，，則，B正確；C項(xiàng)：在中，由正弦定理易知，因?yàn)?，，所以，即，，同理可得，故，C錯(cuò)誤；D項(xiàng)：，同理可得，，則，同理可得，，因?yàn)?，所以將、、代入，可得，因?yàn)?，所以，故成立，D正確，故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查正弦定理、解三角形面積公式、同角三角函數(shù)關(guān)系以及向量的相關(guān)運(yùn)算，考查向量垂直的相關(guān)性質(zhì)，考查學(xué)生對“奔馳定理”的理解與應(yīng)用，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查數(shù)形結(jié)合思想，是難題.【例2】設(shè)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足，則的面積與的面積的比值為（）A．B．C．D．【答案】D【分析】延長到，使，延長到，使，連接，則由已知條件可得為的重心，由重心的性質(zhì)可得，再結(jié)合中點(diǎn)可求出，的面積，進(jìn)而可求得答案【詳解】解：延長到，使，延長到，使，連接，因?yàn)?，所以，所以為的重心，所以設(shè)，則，,所以,所以，故選：D【例3】已知O為所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足，則的面積與的面積的比值為（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，可得為內(nèi)部一點(diǎn)，取中點(diǎn)，連接并延長至，使于是四邊形是平行四邊形，由條件和共線向量定理，即可得到為中線，同理延長交于，則也為中點(diǎn)，即可得到是重心．【詳解】解：由得，故在△內(nèi)部，如圖，取中點(diǎn)，連接并延長至，使得，則四邊形為平行四邊形．則，又因?yàn)椋?、、三點(diǎn)共線且，即為的重心．所以，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的運(yùn)用，考查向量加法的平行四邊形法則，同時(shí)考查三角形的重心定義，屬于中檔題．【例4】生于瑞士的數(shù)學(xué)巨星歐拉在1765年發(fā)表的《三角形的幾何學(xué)》一書中有這樣一個(gè)定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同一直線上．”這就是著名的歐拉線定理，在中，分別是外心、垂心和重心，為邊的中點(diǎn)，下列四個(gè)結(jié)論：（1）；（2）；（3）；（4）正確的個(gè)數(shù)為A．B．C．D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，畫出圖形，結(jié)合圖形，利用歐拉線定理和三角形相似得出選項(xiàng)（1）（3）正確；根據(jù)三角形的重心的性質(zhì)得出選項(xiàng)（2）正確；求出，進(jìn)而判斷選項(xiàng)（4）正確．【詳解】中，分別是外心、垂心和重心，畫出圖形，如圖所示；對于（1）（3）：根據(jù)歐拉線定理，得，所以，所以，即，，即選項(xiàng)（1）（3）正確；對于（2）：根據(jù)三角形的重心性質(zhì)得，又，所以，即選項(xiàng)（2）正確；對于（4）：過點(diǎn)作，垂足為，則，所以，同理，即選項(xiàng)（4）正確．故選：D．【例5】已知，為中不同的兩點(diǎn)，若，，則為（）A．B．C．D．【答案】A【分析】設(shè)，的中點(diǎn)分別為，，由可得點(diǎn)在上，且，即可得到，再根據(jù)重心的性質(zhì)得到，即可得解.【詳解】解：因?yàn)?，如圖所示，設(shè)，的中點(diǎn)分別為，，因?yàn)?，點(diǎn)在上，且，到邊的距離與C到邊的距離比值為：，可得，由可得是三角形的重心，因此，所以，故選：A.【題型專練】1.（多選題）（2022·全國·高三專題練習(xí)）奔馳定理：已知是內(nèi)的一點(diǎn)，，，的面積分別為，，，則.“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.若、是銳角內(nèi)的點(diǎn)，、、是的三個(gè)內(nèi)角，且滿足，，則（

）A．B．C．D．【答案】ABCD【解析】【分析】變形后表示為，再由奔馳定理得出向量的關(guān)系，利用平面向量基本定理判斷A，利用數(shù)量積的運(yùn)算，變形后證明是的重心，由平面幾何知識判斷B，利用數(shù)量積的定義表示已知數(shù)量積的等式，結(jié)合選項(xiàng)B的結(jié)論可證明C，求出的面積，利用選項(xiàng)B的結(jié)論轉(zhuǎn)化，再利用選項(xiàng)C的結(jié)論可得面積比，然后結(jié)合奔馳定理可判斷D．【詳解】因?yàn)椋?，即，所以，又由奔馳定理得，因?yàn)椴还簿€，所以，所以，A正確；延長分別與對邊交于點(diǎn)，如圖，由得，所以，同理，所以是的垂心，所以四邊形中，，所以，B正確；由得，所以，由選項(xiàng)B得，，，所以，C正確；由上討論知，，，所以，又由選項(xiàng)C：，得，由奔馳定理：得，D正確．故選：ABCD．2．已知所在平面內(nèi)的一點(diǎn)滿足，則（）A．1∶2∶3B．1∶2∶1C．2∶1∶1D．1∶1∶2【答案】B【解析】延長至，可得出點(diǎn)是的重心，再根據(jù)重心的性質(zhì)可得出結(jié)論。【詳解】延長至，使得，于是有，即點(diǎn)是的重心，依據(jù)重心的性質(zhì)，有.由是的中點(diǎn)，得.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了三角形重心和向量的關(guān)系，主要是用向量表達(dá)重心的數(shù)量關(guān)系。另外本題是奔馳定理直接推導(dǎo)得出。3.已知是內(nèi)的一點(diǎn)，若的面積分別記為，則.這個(gè)定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.如圖，已知是的垂心，且，則（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】延長CO，BO，AO分別交邊AB，AC，BC于點(diǎn)P，M，N，利用同底的兩個(gè)三角形面積比推得即可求解作答.【詳解】是的垂心，延長CO，BO，AO分別交邊AB，AC，BC于點(diǎn)P，M，N，如圖，則，，因此，，同理，于是得，又，即，由“奔馳定理”有，則，而與不共線，有，，即，所以.故選：A4．（多選題）已知的重心為，過點(diǎn)的直線與邊，的交點(diǎn)分別為，，若，且與的面積之比為，則的可能取值為（）A．B．C．D．3【答案】BD【分析】設(shè)，利用重心的性質(zhì)，把用、表示，再由，，三點(diǎn)共線得關(guān)于，的方程，再由三角形面積比得關(guān)于，的另一方程，聯(lián)立即可求得實(shí)數(shù)的值．【詳解】解：如圖，，，即，設(shè)，則，三點(diǎn)共線，，，所以，與的面積之比為，，即，化簡得，解得或3.故選：BD5．（多選題）點(diǎn)在所在的平面內(nèi)，（）A．若動點(diǎn)滿足，則動點(diǎn)的軌跡一定經(jīng)過的垂心B．若動點(diǎn)滿足，則動點(diǎn)的軌跡一定經(jīng)過的重心C．若，，分別表示，的面積，則D．已知三個(gè)內(nèi)角，，的對邊分別是，，，若，則點(diǎn)為的內(nèi)心（內(nèi)切圓圓心）【答案】CD【分析】對于A，設(shè)的中點(diǎn)為，連，利用正弦定理推出與共線，可判斷A；對于B，根據(jù)A可判斷B；對于C，設(shè)、的中點(diǎn)分別為、，由得到，再根據(jù)三角形的面積關(guān)系可判斷C；對于D，延長交于，由得到，根據(jù)共線向量定理可得，得為的平分線，同理得為的平分線，為的平分線，由此可判斷D.【詳解】對于A，設(shè)的中點(diǎn)為，連，如圖：因?yàn)?，所以，所以，即與共線，所以動點(diǎn)的軌跡一定經(jīng)過的重心，故A不正確；對于B，由A可知，只有當(dāng)時(shí)，動點(diǎn)的軌跡才經(jīng)過的重心，故B不正確；對于C，因?yàn)椋?，設(shè)、的中點(diǎn)分別為、，則，所以，故C正確；對于D，延長交于，因?yàn)?，所以，所以，設(shè)，，則，因?yàn)榕c不共線，所以，，所以，即，所以，即，所以為的平分線，同理得為的平分線，為的平分線，所以為的內(nèi)心.故D正確.故選：CD6.在中，是直線，記的面積為，的面積為，則（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】將和設(shè)為基底，將用基底表示出來，即可算出點(diǎn)D的位置.【詳解】依題意作上圖，設(shè)，由條件，∴，，，∴點(diǎn)D在AB的延長線上，并且，∴，故選：D..7．（多選題）已知點(diǎn)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則下列選項(xiàng)正確的是（）A．B．直線必過邊的中點(diǎn)C．D．若且，則【答案】AC【分析】利用平面向量的加法化簡可判斷A選項(xiàng)；設(shè)的中點(diǎn)為，求出，判斷、的位置關(guān)系，可判斷B選項(xiàng)；利用重心的幾何性質(zhì)結(jié)合三角形的面積公式可判斷C選項(xiàng)；利用勾股定理可判斷D選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，，A對；對于B選項(xiàng)，設(shè)的中點(diǎn)為，則，因?yàn)?、不共線，且，顯然、不共線，即直線不過邊的中點(diǎn)，B錯(cuò)；對于C選項(xiàng)，作，，，如下圖所示：由可得，則為的重心，延長交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，所以，，由重心的性質(zhì)可知，則，所以，，同理可得，，即，同理可得，因此，，C對；對于D選項(xiàng)，若且，則，D錯(cuò).故選：BC.8．已知為的重心，過點(diǎn)的直線與邊分別相交于點(diǎn)，若,則與的面積之比為_____.【答案】【分析】設(shè)，，利用三角形重心的性質(zhì)以及平面向量的運(yùn)算法則可得，利用向量相等列方程組解得，可得，結(jié)合，利用三角形面積公式可得結(jié)果.【詳解】設(shè)，三