專題2.1.1傾斜角與斜率知識點一、直線的傾斜角1．直線的確定在平面直角坐標系中，確定一條直線位置的幾何要素是：已知直線上的一點和這條直線的方向，二者缺一不可.2．直線傾斜角的概念當直線l與x軸相交時，我們取x軸作為基準，x軸正向與直線l方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角.【傾斜角與傾斜程度】平面直角坐標系內每一條直線都有一個確定的傾斜角，且傾斜程度相同的直線，其傾斜角相等；傾斜程度不同的直線，其傾斜角不相等.因此，我們可用傾斜角表示平面直角坐標系內一條直線的傾斜程度.3．傾斜角的取值范圍當直線l與x軸平行或重合時,我們規(guī)定它的傾斜角為0°.因此,直線的傾斜角α的取值范圍是.如下圖：的傾斜角為0°，的傾斜角為銳角，的傾斜角為直角，的傾斜角為鈍角.知識點二、直線的斜率1．斜率的定義我們把一條直線的傾斜角α的叫做這條直線的斜率，通常用小寫字母k表示，即.【特別提醒】：傾斜角是90°的直線沒有斜率.2．斜率與傾斜角之間的關系①當直線的傾斜角α=0°時，斜率k=0，直線與x軸；②當0°<α<90°時，斜率k>0，且k值增大，傾斜角隨著；③當α=90°時，斜率k(此時直線是存在的，直線與x軸垂直）；④當90°<α<180°時，斜率k<0，且k值增大，傾斜角也隨著.3．直線的傾斜程度（1）傾斜角α不是90°的直線都有斜率，傾斜角不同，直線的斜率也不同.因此，我們可以用表示直線的傾斜程度.（2）直線的斜率和傾斜角都是刻畫直線傾斜程度的量，斜率側重于代數(shù)角度，傾斜角側重于幾何角度.知識點三、過兩點的直線的斜率公式1．公式經過兩點的直線的斜率公式為.【名師提醒】（1）當直線的傾斜角為時，斜率公式不適用，因此在研究直線的斜率問題時，一定要注意斜率的存在與不存在兩種情況.（2）斜率計算公式中的值與所選取的兩點在直線上的位置無關，兩縱坐標和兩橫坐標在公式中的次序可以同時調換.（3）當直線與軸平行或重合時，直線的斜率公式成立，此時.

重難點題型突破1求直線的斜率（1）已知傾斜角求斜率時，若，根據(jù)公式直接計算.當傾斜角未給出時，可根據(jù)直線與其他直線的位置關系(如平行、垂直等)確定出所求直線的傾斜角，再代入計算.（2）已知兩點求直線的斜率時，首先應檢驗兩點的橫坐標是否相等.若相等，則斜率不存在；若不相等，則可用斜率公式直接計算.例1．（1）.（2023春·陜西漢中·高二校聯(lián)考期末）已知直線經過，兩點，則直線的斜率為（

）A．3 B． C．1 D．【答案】D【分析】直接代入直線斜率公式即可.【詳解】因為直線經過，兩點，所以直線的斜率為，故選：D．（2）．（2022·全國·高三專題練習）若圖中的直線l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，則（）A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k1＜k2C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k2【答案】D【分析】利用直線的斜率結合直線在圖象中的位置關系進行判斷.【詳解】直線l1的傾斜角α1是鈍角，故k1＜0.直線l2與l3的傾斜角α2與α3均為銳角，且α2＞α3，所以0＜k3＜k2，因此k1＜k3＜k2.故選:D.（3）．（2023秋·江西吉安·高二江西省吉水縣第二中學校考期末）直線l：的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)直線傾斜角和斜率的關系即可求解.【詳解】解：由題意得：直線l的方程：可化為直線l的斜率為，設直線l的傾斜角為，則又所以故選：C（4）．（2021秋·江蘇徐州·高二校聯(lián)考階段練習）（多選題）下列說法正確的是（

）A．有的直線斜率不存在B．若直線的傾斜角為，且，則它的斜率C．若直線的斜率為1，則它的傾斜角為D．截距可以為負值【答案】ABD【分析】ABC選項，利用直線的傾斜角和斜率的關系判斷；D選項，利用截距的定義判斷.【詳解】A.當傾斜角為時，直線斜率不存在，故正確；B.若直線的傾斜角為，且，由斜率和傾斜角的關系知：，故正確；C.若直線的斜率為1，則它的傾斜角為，故錯誤；D.截距為直線與坐標軸交點的橫坐標或縱坐標，為實數(shù)，所以可以為負值，故正確；故選：ABD1．（2023春·上海普陀·高二上海市宜川中學?？计谀┮阎本€l經過點．直線l的傾斜角是．【答案】/【分析】根據(jù)兩點確定直線的斜率，再利用斜率與傾斜角的關系列式求解即可.【詳解】因為過兩點的直線的斜率為：，因為，是直線的傾斜角，且所以直線的傾斜角為：．故答案為：.2．（2020·北京十五中高二期中）如圖，直線的斜率分別為，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】直接由斜率的定義判斷大小即可.【詳解】由斜率的定義知，.故選：D.3．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）過兩點A(5,y)，B(3,－1)的直線的傾斜角是135°，則y等于．【答案】－3【分析】利用直線斜率與傾斜角關系和斜率公式可得答案.【詳解】因為斜率k＝tan135°＝－1，所以，得y＝－3．故答案為：.4．（2023秋·高一單元測試）（多選題）在下列四個命題中，正確的是（

）A．若直線的傾斜角為銳角，則其斜率一定大于0B．任意直線都有傾斜角，且當時，斜率為C．若一條直線的斜率為，則此直線的傾斜角為D．直線的傾斜角越大，則其斜率越大【答案】AB【分析】根據(jù)傾斜角和斜率的關系逐項判斷即可.【詳解】當時，其斜率，所以A正確；根據(jù)直線傾斜角的定義可得每一條直線都有一條確定的傾斜角，由斜率定義可得當直線的傾斜角時，直線的斜率為，所以B正確；若一條直線的斜率為，則此直線的傾斜角為，且.，故C不正確；直線的傾斜角為銳角是斜率大于0，傾斜角為鈍角時斜率小于0，故D不正確；故選：AB.重難點題型突破2三點共線兩點即可確定一條直線，要證三點共線，只要證過同一點的兩直線的斜率相等即可.用斜率公式解決三點共線問題時，首先要估測三點中是否任意兩點的連線垂直于x軸，即斜率不存在的情況.斜率存在的前提下，當三點中任意兩點所確定的直線的斜率相等時，三點共線.例2．（2022秋·高二課時練習）已知三點共線，則的值為.【答案】【分析】由條件可得，結合兩點斜率公式列方程求的值.【詳解】因為三點共線，所以，所以，解得.故答案為：.1．（2022秋·江蘇徐州·高二?？茧A段練習）（多選題）下列說法中，正確的是（

）A．直線在軸上的截距為B．直線的傾斜角為C．，，三點共線D．過點且在軸上的截距相等的直線方程為【答案】BC【分析】結合直線截距的意義、直線傾斜角和斜率的概念以及平面共線向量的運算依次判斷選項即可.【詳解】A：直線在y軸上的截距為-3，故A錯誤；B：，所以直線的斜率為，則傾斜角，故B正確；C：由可得，所以，A、B、C三點共線，故C正確；D：過點且在x、y軸截距相等的直線方程為或，故D錯誤.故選：BC例3．（2022秋·河北石家莊·高二石家莊市第二十一中學?？茧A段練習）已知A（﹣3，4），B（3，2），過點P（1，0）的直線l與線段AB有公共點.(1)求l的傾斜角α的取值范圍；(2)求l的斜率k的取值范圍.【答案】(1)(2)k≤﹣1或k≥1【分析】（1）由題意畫出圖形，求出P與線段AB端點連線的傾斜角范圍得出答案；（2）由斜率是傾斜角的正切值即可得到l的斜率k的取值范圍.（1）如圖，當直線l過B時設直線l的傾斜角為α（0≤α＜π），則tanα，，當直線l過A時設直線l的傾斜角為β（0≤β＜π），則tan，，∴要使直線l與線段AB有公共點，則直線l的傾斜角α的取值范圍是；（2）由，可得tanα≤﹣1或tanα≥1，∴直線l的斜率的取值范圍是k≤﹣1或k≥1.1．（2022秋·廣東佛山·高二佛山市南海區(qū)桂城中學?？茧A段練習）已知坐標平面內三點A(-1，1)，B(1，1)，．(1)求直線BC，AC的斜率和傾斜角；(2)若D為的邊AB上一動點，求直線CD的斜率和傾斜角α的取值范圍．【答案】(1)直線BC的斜率，傾斜角為；直線AC的斜率，傾斜角為(2)【分析】（1）根據(jù)兩點間的斜率公式計算斜率，再根據(jù)斜率與傾斜角的關系求解即可；（2）數(shù)形結合，根據(jù)斜率與傾斜角變化的規(guī)律分析即可．【詳解】（1）由斜率公式得：，因為斜率等于傾斜角的正切值，且傾斜角的范圍是，∴直線BC的傾斜角為，直線AC的傾斜角為；（2）如圖，當直線CD由CA逆時針旋轉到CB時，直線CD與線段AB恒有交點，即D在線段AB上，此時k由增大到，∴k的取值范圍為，傾斜角α的取值范圍為．重難點題型突破3直線傾斜角與斜率的關系（1）直線的傾斜角α與斜率k的關系：，由直線的傾斜角能求斜率，反過來，由直線的斜率能求傾斜角.注意傾斜角的取值范圍是.（2）在范圍內，，且k隨著α的增大而增大；在范圍內，，且k隨著α的增大而增大.但在范圍內，k并不是隨著α的增大而增大的.例3．（1）.（2023春·上海黃浦·高二上海市敬業(yè)中學?？计谥校┲本€的傾斜角的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)傾斜角與斜率的關系求解即可.【詳解】由題意知,若a=0

,則傾斜角為,若,則,①當時，(當且僅當時，取“”)，②當時，(當且僅當時，取“”)，，故，綜上，，故選：C.（2）、（2023秋·江蘇連云港·高二校考期末）經過點作直線，且直線與連接點，的線段總有公共點，則直線的傾斜角的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】畫出坐標系，連接，，，結合斜率變化可知，，聯(lián)立斜率與傾斜角關系即可求解.【詳解】由題知，直線的傾斜角為，則，，，且直線與連接點，的線段總有公共點，如下圖所示，則，即，.故選：B（3）、（2022·高二課時練習）已知一直線的傾斜角為，且，則該直線的斜率的取值范圍是．【答案】【分析】由傾斜角和斜率的關系進行求解.【詳解】因為直線的傾斜角為，且，當時，；當時，；即該直線的斜率的取值范圍是.故答案為：.1．（2021·江蘇高二專題練習）已知兩點、，直線過點且與線段有交點，則直線的傾斜角的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】作出圖形，求出直線、的斜率，數(shù)形結合可得出直線的斜率的取值范圍，進而可求得直線的傾斜角的取值范圍.【詳解】如下圖所示：直線的斜率為，直線的斜率為，由圖形可知，當直線與線段有交點時，直線的斜率.因此，直線的傾斜角的取值范圍是.故選：C.【點睛】關鍵點點睛：求直線傾斜角的取值范圍的關鍵就是求出直線的斜率的取值范圍，結合圖象，利用直線、的斜率可得所要求的斜率的取值范圍.2．（2022·全國·高二專題練習）（多選題）直線l過點且斜率為k，若與連接兩點，的線段有公共點，則k的取值可以為（

）A． B．1 C．2 D．4【答案】AD【分析】要使直線l與線段AB有公共點，則需或，根據(jù)兩點的斜率公式計算可得選項.【詳解】解：要使直線l與線段AB有公共點，則需或，而，，所以或，所以k的取值可以為或4，故選：AD3．（2018春·云南玉溪·高一云南省玉溪第一中學階段練習）直線的傾斜角的取值范圍是．【答案】【分析】討論若，傾斜角為90°；若，求得直線的斜率，由正弦函數(shù)的值域，可得的范圍，結合正切函數(shù)的圖像，即可得到傾斜角的范圍．【詳解】解：直線，若，則，直線的斜率不存在，傾斜角為；若，則直線的斜率，由或，可得或，由（為不等于的傾斜角），可得或，綜合，傾斜角的取值范圍是．故答案為：．重難點題型突破4沖刺滿分（壓軸題）例4．（2021春·江西贛州·高一江西省興國縣第三中學校考階段練習）若直線：與直線的交點位于第一象限，則直線的傾斜角的取值范圍是.【答案】【詳解】若直線與直線的交點位于第一象限，如圖所示：則兩直線的交點應在線段上（不包含點）,當交點為時，直線的傾斜角為，當交點為時，斜率，直線的傾斜角為∴直線的傾斜角的取值范圍是．故答案為1．（2019·重慶·高三重