一、選擇題1．(2022·山東文)觀(guān)察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由歸納推理可得：若定義在R上的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(－x)＝f(x)，記g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則g(－x)＝()A．f(x) B．－f(x)C．g(x) D．－g(x)[答案]D[解析]本題考查了推理證明及函數(shù)的奇偶性?xún)?nèi)容，由例子可看出偶函數(shù)求導(dǎo)后都變成了奇函數(shù)，∴g(－x)＝－g(x)，選D，體現(xiàn)了對(duì)學(xué)生觀(guān)察能力，概括歸納推理的能力的考查．2．(2022·廈門(mén)質(zhì)檢)如圖是今年元宵花燈展中一款五角星燈連續(xù)旋轉(zhuǎn)閃爍所成的三個(gè)圖形，照此規(guī)律閃爍，下一個(gè)呈現(xiàn)出來(lái)的圖形是()[答案]A[解析]該五角星對(duì)角上的兩盞花燈依次按逆時(shí)針?lè)较蛄烈槐K，故下一個(gè)呈現(xiàn)出來(lái)的圖形是A.3．(文)“因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y＝ax是增函數(shù)(大前提)，而y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x是指數(shù)函數(shù)(小前提)，所以y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x是增函數(shù)(結(jié)論)”，上面推理錯(cuò)誤的是()A．大前提錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)B．小前提錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)C．推理形式錯(cuò)導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)D．大前提和小前提錯(cuò)都導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)[答案]A[解析]因?yàn)楹瘮?shù)y＝ax(a>0，a≠1)只有當(dāng)a>1時(shí)才為增函數(shù)，而本題無(wú)此約束，故大前提錯(cuò)誤．故選A.(理)(2022·珠海模擬)給出下面類(lèi)比推理命題(其中Q為有理數(shù)集，R為實(shí)數(shù)集，C為復(fù)數(shù)集)：①“若a，b∈R，則a－b＝0a＝b”類(lèi)比推出“若a，b∈C，則a－b＝0a＝b”；②“若a，b，c，d∈R，則復(fù)數(shù)a＋bi＝c＋dia＝c，b＝d”類(lèi)比推出“若a，b，c，d∈Q，則a＋beq\r(2)＝c＋deq\r(2)a＝c，b＝d”；③“若a，b∈R，則a－b>0a>b”．類(lèi)比推出：若a，b∈C，則a－b>0a>b.其中類(lèi)比結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3[答案]C[解析]①②正確，③錯(cuò)誤．因?yàn)閮蓚€(gè)復(fù)數(shù)如果不全是實(shí)數(shù)，不能比較大小．故選C.4．下列推理是歸納推理的是()A．A，B為定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足|PA|＋|PB|＝2a>|AB|，則P點(diǎn)的軌跡為橢圓B．由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的表達(dá)式C．由圓x2＋y2＝r2的面積πr2，猜想出橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的面積S＝πabD．科學(xué)家利用魚(yú)的沉浮原理制造潛艇[答案]B[解析]由S1，S2，S3猜想出數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的表達(dá)式，是從特殊到一般的推理，所以B是歸納推理．故應(yīng)選B.5．(文)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2an(n≥2)，而a1＝1，通過(guò)計(jì)算a2、a3、a4，猜想an＝()\f(2,n＋12) \f(2,nn＋1)\f(2,2n－1) \f(2,2n－1)[答案]B[解析]由Sn＝n2an知Sn＋1＝(n＋1)2an＋1∴Sn＋1－Sn＝(n＋1)2an＋1－n2an∴an＋1＝(n＋1)2an＋1－n2an，∴an＋1＝eq\f(n,n＋2)an(a≥2)，當(dāng)n＝2時(shí)，S2＝4a2，又S2＝a1＋a2，∴a2＝eq\f(a1,3)＝eq\f(1,3)，a3＝eq\f(2,4)a2＝eq\f(1,6)，a4＝eq\f(3,5)a3＝eq\f(1,10).由a1＝1，a2＝eq\f(1,3)，a3＝eq\f(1,6)，a4＝eq\f(1,10)，猜想an＝eq\f(2,nn＋1)，故選B.(理)如圖所示，把1,3,6,10,15,21，…這些數(shù)叫做三角形數(shù)，這是因?yàn)檫@些數(shù)目的點(diǎn)可以排成一個(gè)正三角形，試求第七個(gè)三角形數(shù)是()A．27 B．28C．29 D．30[答案]B[解析]a1＝1，a2＝a1＋2，a3＝a2＋3，a4＝a3＋4，∴an－an－1＝n，∴an＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1＝eq\f(nn＋1,2)，∴a7＝eq\f(7×8,2)＝28.6．已知整數(shù)的數(shù)對(duì)列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…則第60個(gè)數(shù)對(duì)是()A．(3,8) B．(4,7)C．(4,8) D．(5,7)[答案]D[解析]觀(guān)察可知橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)之和為2的數(shù)對(duì)有1個(gè)，和為3的數(shù)對(duì)有2個(gè)，和為4的數(shù)對(duì)有3個(gè)，和為5的數(shù)對(duì)有4個(gè)，依此類(lèi)推和為n＋1的數(shù)對(duì)有n個(gè)，多個(gè)數(shù)對(duì)的排序是按照橫坐標(biāo)依次增大的順序來(lái)排的，由eq\f(nn＋1,2)＝60n(n＋1)＝120，n∈Z，n＝10時(shí)，eq\f(nn＋1,2)＝55個(gè)數(shù)對(duì)，還差5個(gè)數(shù)對(duì)，且這5個(gè)數(shù)對(duì)的橫、縱坐標(biāo)之和為12，它們依次是(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，∴第60個(gè)數(shù)對(duì)是(5,7)．二、填空題7．(文)在平面上，若兩個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)的比為1:2，則它們的面積比為1:4，類(lèi)似地，在空間中，若兩個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)的比為1:2，則它們的體積比為_(kāi)_______．[答案]1:8[解析]由類(lèi)比推理得，若兩個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)比為1:2，則體積比為1:8.(理)在平面幾何中，△ABC的內(nèi)角平分線(xiàn)CE分AB所成線(xiàn)段的比eq\f(AE,EB)＝eq\f(AC,BC)，把這個(gè)結(jié)論類(lèi)比到空間：在三棱錐A－BCD中(如圖所示)，平面DEC平分二面角A－CD－B且與AB相交于E，則得到的類(lèi)比的結(jié)論是________.[答案]eq\f(AE,EB)＝eq\f(S△ACD,S△BCD)[解析]通過(guò)觀(guān)察三角形的性質(zhì)及其證明過(guò)程，把二維中的點(diǎn)類(lèi)比到三維中經(jīng)常變成線(xiàn)，二維中的線(xiàn)類(lèi)比到三維中經(jīng)常變成面．平面與空間的類(lèi)比主要著眼于兩個(gè)對(duì)象之間在形式與數(shù)量關(guān)系上的相似．8．(文)(2022·陜西文，13)觀(guān)察下列等式1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49……照此規(guī)律，第五個(gè)等式應(yīng)為_(kāi)_______________________．[答案]5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81[解析]本題考查學(xué)生的推理能力．依據(jù)前4個(gè)等式的規(guī)律，第n個(gè)等式左側(cè)是從n開(kāi)始的2n－1個(gè)自然數(shù)的和，右側(cè)是(2n－1)2，所以第五個(gè)等式是5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81.(理)(2022·陜西理，13)觀(guān)察下列等式1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49……照此規(guī)律，第n個(gè)等式為_(kāi)_______________．[答案]n＋(n＋1)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2[解析]∵1＝12,2＋3＋4＝9＝32，3＋4＋5＋6＋7＝25＝52∴第n個(gè)式子為n＋(n＋1)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.三、解答題9．觀(guān)察下列各式：sin25°＋sin265°＋sin2125°＝eq\f(3,2).sin230°＋sin290°＋sin2150°＝eq\f(3,2).sin245°＋sin2105°＋sin2165°＝eq\f(3,2).歸納猜想出一個(gè)一般性命題，并給出證明．[解析]一般性的命題為：sin2α＋sin2(60°＋α)＋sin2(120°＋α)＝eq\f(3,2).證明如下：左邊＝eq\f(1－cos2α,2)＋eq\f(1－cos120°＋2α,2)＋eq\f(1－cos240°＋2α,2)＝eq\f(3,2)－eq\f(1,2)[cos2α＋cos(120°＋2α)＋cos(240°＋2α)]＝eq\f(3,2)－eq\f(1,2)[cos2α＋cos120°cos2α－sin120°sin2α＋cos240°cos2α－sin240°sin2α]＝eq\f(3,2)＝右邊．所以命題得證.一、選擇題1．(2022·江西文，6)觀(guān)察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2401，…，則72022的末兩位數(shù)字為()A．01 B．43C．07 D．49[答案]B[解析]本題主要考查歸納推理，有幾項(xiàng)找出規(guī)律．由71＝7,72＝49,73＝343,74＝2401,75＝16807,76＝117649，可以歸納出7n的末兩位數(shù)字周期出現(xiàn)，周期4,2022÷4余數(shù)為3，所以末兩位數(shù)字43.2．(2022·煙臺(tái)模擬)函數(shù)f(x)由下表定義：x25314f(x)12345若a0＝5，an＋1＝f(an)，n＝0,1,2，…，則a2022＝()A．1 B．2C．4 D．5[答案]B[解析]由a0＝5，an＋1＝f(an)，n＝0,1,2，…，得a1＝f(a0)＝f(5)＝2；a2＝f(a1)＝f(2)＝1；a3＝f(a2)＝f(1)＝4；a4＝f(a3)＝f(4)＝5；a5＝f(a4)＝f(5)＝2；……說(shuō)明遞推數(shù)列a0＝5，an＋1＝f(an)是周期為4的數(shù)列．a(chǎn)2022＝f(a2022)＝f(5)＝2.二、填空題3．(2022·安師大附中期中)觀(guān)察下圖：12343456745678910……則第____________行的各數(shù)之和等于20132.[答案]1007[解析]通過(guò)觀(guān)察題圖可發(fā)現(xiàn)規(guī)律：第n行的第一個(gè)數(shù)為n，且第n行共有2n－1個(gè)連續(xù)的正整數(shù)，故由(2n－1)n＋eq\f(2n－12n－2,2)×1＝(2n－1)2＝20132，得n＝1007.4．觀(guān)察下列不等式：1>eq\f(1,2)，1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)>1,1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,7)>eq\f(3,2)，1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,15)>2,1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,31)>eq\f(5,2)，…，由此猜想第n個(gè)不等式為_(kāi)_____________．[答案]1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n－1)>eq\f(n,2)[解析]由1>eq\f(1,2)，1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,22－1)>eq\f(2,2)，1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,23－1)>eq\f(3,2)，1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,24－1)>eq\f(4,2)，1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,25－1)>eq\f(5,2)，可猜想第n個(gè)不等式為1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n－1)>eq\f(n,2).三、解答題5．(文)若函數(shù)f(x)＝eq\f(ex＋e－x,2)，g(x)＝eq\f(ex－e－x,2)，分別計(jì)算g(4)－2f(2)g(2)和g(6)－2f(3)g(3)的值，由此歸納出函數(shù)f(x)和g(x)的對(duì)于所有實(shí)數(shù)x都成立的一個(gè)等式，并加以證明．[解析]g(4)－2f(2)g(2)＝0，g(6)－2f(3)g(3)＝0，由此歸納出g(2x)－2f(x)g(x)＝0，證明如下：g(2x)－2f(x)g(x)＝eq\f(e2x－e－2x,2)－2·eq\f(ex＋e－x,2)·eq\f(ex－e－x,2)＝eq\f(e2x－e－2x,2)－eq\f(e2x－e－2x,2)＝0.(理)已知f(x)＝eq\f(bx＋1,ax＋12)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(1,a)，a>0))且f(1)＝log162，f(－2)＝1.(1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式；(2)已知數(shù)列{xn}的項(xiàng)滿(mǎn)足xn＝[1－f(1)][1－f(2)]…[1－f(n)]，試求x1，x2，x3，x4；(3)猜想{xn}的通項(xiàng)．[分析](1)先由f(1)，f(－2)的值求出a，b的值；(2)然后通過(guò)計(jì)算x1，x2，x3，x4歸納出通項(xiàng)公式．[解析](1)把f(1)＝log162＝eq\f(1,4)，f(－2)＝1，代入函數(shù)表達(dá)式得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b＋1,a＋12)＝\f(1,4),\f(－2b＋1,1－2a2)＝1))，整理得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4b＋4＝a2＋2a＋1,－2b＋1＝4a2－4a＋1))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝0，))于是f(x)＝eq\f(1,x＋12)(x≠－1)．(2)x1＝1－f(1)＝1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4)，x2＝eq\f(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,9)))＝eq\f(2,3)，x3＝eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,16)))＝eq\f(5,8)，x4＝eq\f(5,8)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,25)))＝eq\f(3,5).(3)這里因?yàn)榕紨?shù)項(xiàng)的分子、分母作了約分，所以規(guī)律不明顯，若變形為eq\f(3,4)，eq\f(4,6)，eq\f(5,8)，eq\f(6,10)，…便可猜想xn＝eq\f(n＋2,2n＋1).6．橢圓與雙曲線(xiàn)有許多優(yōu)美的對(duì)偶性質(zhì)，如對(duì)于橢圓有如下命題：AB是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的不平行于對(duì)稱(chēng)軸且不過(guò)原點(diǎn)的弦，M為AB的中點(diǎn)，則kOM·kAB＝－eq\f(b2,a2)那么對(duì)于雙曲線(xiàn)則有如下命題：AB是雙曲線(xiàn)eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的不平行于對(duì)稱(chēng)軸且不過(guò)原點(diǎn)的弦，M為AB的中點(diǎn)，求kOM·kAB的值．[分析]推理與證明是新增內(nèi)容，也是一個(gè)重要內(nèi)容，《考試說(shuō)明》對(duì)推理論證能力的考查提出了較高的要求：能夠根據(jù)已知的事實(shí)和已經(jīng)獲得的正確命題，運(yùn)用歸納、類(lèi)比和演繹的方法進(jìn)行推理，論證某一命題的正確性．[解析]設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝\f(x1＋x2,2),y0＝\f(y1＋y2,2)))∵eq\f(x\o\al(2,1),a2)－eq\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，eq\f(x\o\al(2,2),a2)－eq\f(y\o\al(2,2),b2)＝1.兩式相減得eq\f(x\o\al(2,1)－x\o\al(2,2),a2)＝eq\f(y\o\al(2,1)－y\o\al(2,2),b2)，即eq\f(x1－x2x1＋x2,a2)＝eq\f(y1－y2y1＋y2,b2)，即eq\f(y1－y2y1＋y2,x1－x2x1＋x2)＝eq\f(b2,a2)，即kOM·kAB＝eq\f(b2,a2).7．在△ABC