新學(xué)期高二開學(xué)檢測(cè)數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第二冊(cè)，選擇性必修第一冊(cè)1.1-1.3．一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．若復(fù)數(shù)，則的實(shí)部為（）A．13B．11C．D．12．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影為點(diǎn)，則的坐標(biāo)為（）A．B．C．D．3．某學(xué)校為了解學(xué)生對(duì)乒乓球、羽毛球運(yùn)動(dòng)的喜愛程度，用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣法從高一、高二、高三年級(jí)所有學(xué)生中抽取部分學(xué)生做抽樣調(diào)查，已知該學(xué)校高一、高二、高三年級(jí)學(xué)生人數(shù)的比例如圖所示，若抽取的樣本中高三年級(jí)的學(xué)生有45人，則樣本容量為（）A．125B．100C．150D．1203．拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子1次，事件表示“擲出的點(diǎn)數(shù)大于2”，則與互斥且不對(duì)立的事件是（）A．?dāng)S出的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)B．?dāng)S出的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)C．?dāng)S出的點(diǎn)數(shù)小于2D．?dāng)S出的點(diǎn)數(shù)小于35．若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量共面的是（）A．B．C．D．6．已知某圓臺(tái)的上底面和下底面的面積分別為，母線長(zhǎng)為2，則該圓臺(tái)的體積為（）A．B．C．D．7．若數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，則新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為（）A．11B．12C．13D．148．在長(zhǎng)方體中，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A．B．C．D．二、選擇題：本大題共4小題，每個(gè)小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知向量，則（）A．B．C．D．在上的投影向量為10．已知甲、乙、丙、丁四組（每組均含100個(gè)數(shù)據(jù)）數(shù)據(jù)的方差分別為6.7，8.9，3.6，5.5，關(guān)于這四組數(shù)據(jù)的波動(dòng)性，下列判斷正確的是（）A．乙組數(shù)據(jù)的波動(dòng)性最大B．丙組數(shù)據(jù)的波動(dòng)性最大C．乙組數(shù)據(jù)的波動(dòng)性最小D．丙組數(shù)據(jù)的波動(dòng)性最小11．分別為內(nèi)角的對(duì)邊．已知，則的值可能為（）A．B．C．D．12．已知一個(gè)正八面體如圖所示，，則（）A．平面B．點(diǎn)到平面的距離為1C．異面直線與所成的角為D．四棱錐外接球的表面積為三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡中的橫線上．13．截至2021年末，福建省南平市轄2個(gè)市轄區(qū)、3個(gè)縣級(jí)市、5個(gè)縣，南平市總面積為2.63萬平方公里，其中的5個(gè)縣為順昌縣、浦城縣、光澤縣、松溪縣、政和縣，它們的面積（單位：平方公里）分別為1991.95，3374.73，2232.17，1040.25，1735.01，則這5個(gè)縣的面積的分位數(shù)為________平方公里．14．已知復(fù)數(shù)滿足，則________．15．在空間直角坐標(biāo)系中，，若四邊形為平行四邊形，則________．16．已知函數(shù)若從集合中隨機(jī)選取一個(gè)元素，則函數(shù)恰有7個(gè)零點(diǎn)的概率是________．四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）如圖，在底面為菱形的四棱錐中，底面為的中點(diǎn)，且．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．（1）寫出四點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求．18．（12分）分別為內(nèi)角的對(duì)邊，已知．（1）求；（2）若，求的面積．19．（12分）在如圖所示的斜三棱柱中，．（1）設(shè)，用表示；（2）若，求的長(zhǎng)．20．（12分）小晟統(tǒng)計(jì)了他6月份的手機(jī)通話明細(xì)清單，發(fā)現(xiàn)自己該月共通話100次，小晟將這100次通話的通話時(shí)間（單位：分鐘）按照分成6組，畫出的頻率分布直方圖如圖所示．（1）求的值；（2）求通話時(shí)間在區(qū)間內(nèi)的通話次數(shù)；（3）試估計(jì)小晟這100次通話的平均時(shí)間（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）．21．（12分）投壺是從先秦延續(xù)至清末的漢民族傳統(tǒng)禮儀和宴飲游戲，假設(shè)甲、乙、丙、丁是四位投壺游戲參與者，且甲、乙、丙每次投壺時(shí)，投中與不投中的機(jī)會(huì)是均等的，丁每次投壺時(shí)，投中的概率為．甲、乙、丙、丁每人每次投壺是否投中相互獨(dú)立，互不影響．（1）若甲、乙、丙、丁每人各投壺1次，求只有一人投中的概率；（2）甲、丁進(jìn)行投壺比賽，若甲、丁每人各投壺2次，投中次數(shù)多者獲勝，求丁獲勝的概率。22．（12分）如圖，在四棱錐中，平面分別為的中點(diǎn)．（1）證明：平面平面．（2）設(shè)與平面交于點(diǎn)，作出點(diǎn)（說明作法），并求的長(zhǎng)．新學(xué)期高二開學(xué)檢測(cè)數(shù)學(xué)參考答案1．A因?yàn)?，所以的?shí)部為13．2．B由題意得的坐標(biāo)為．3．A由圖可知高三年級(jí)學(xué)生人數(shù)占總?cè)藬?shù)的，抽取的樣本中高三年級(jí)的學(xué)生有45人，則樣本容量為．4．C“擲出的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”與不互斥，“擲出的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”與不互斥，“擲出的點(diǎn)數(shù)小于2”與互斥且不對(duì)立，“擲出的點(diǎn)數(shù)小于3”與對(duì)立．5．C因?yàn)?，所以共面?．C因?yàn)閳A臺(tái)的上底面和下底面的面積分別為，所以該圓臺(tái)上底面和下底面的半徑分別為，所以該圓臺(tái)的高為，故該圓臺(tái)的體積．7．B因?yàn)閿?shù)據(jù)的平均數(shù)為10，所以，所以新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為．8．C如圖，因?yàn)?，所以．又，所以，．即異面直線與所成的角，．9．AC，A正確．因?yàn)?，所以，則，所以，B錯(cuò)誤．因?yàn)?，所以，C正確．在上的投影向量為，D錯(cuò)誤．10．AD數(shù)據(jù)的方差越大，數(shù)據(jù)的波動(dòng)性越大；數(shù)據(jù)的方差越小，數(shù)據(jù)的波動(dòng)性越?。?yàn)椋砸医M數(shù)據(jù)的波動(dòng)性最大，丙組數(shù)據(jù)的波動(dòng)性最小．11．BCD由余弦定理得．12．ABD將正八面體置于一個(gè)正方體中，如圖所示，該正八面體的頂點(diǎn)為正方體六個(gè)面的中心，由圖可知，，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，A正確．連接（圖略）．由圖可知，點(diǎn)到平面的距離為，B正確．由圖可知，，則直線與所成角即與所成角，因?yàn)闉檎切危?，C錯(cuò)誤．四棱錐外接球的球心為正方形的中心，所以外接球的半徑為1，故四棱錐外接球的表面積為，D正確．13．1735.01將這5個(gè)數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列為1040.25，1735.01，1991.95，2232.17，3374.73，因?yàn)?，所以這5個(gè)縣的面積的分位數(shù)為1735.01平方公里．14．設(shè)，則，所以得故．15．，因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以，所以，則．16．由，得，當(dāng)時(shí)，的最小值為．由，得，即，因?yàn)?，所以．而，?dāng)時(shí)，方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)分別為3，3，2；當(dāng)時(shí)，方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)分別為3，2，2；當(dāng)時(shí)，方程，的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)均為2．所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)恰有7個(gè)零點(diǎn)，故所求概率為．17．解：（1）依題意可得為正三角形，因?yàn)?，所以，所以．?）因?yàn)?，所以?8．解：（1）因?yàn)?，所以，即，又，所以．?）由余弦定理得，即，解得（負(fù)根舍去）．因?yàn)?，所以，所以的面積．19．解：（1）在三棱柱中，側(cè)面為平行四邊形，所以，則．（2）依題意可得，則，所以的長(zhǎng)為．20．解：（1）由，得．（2）因?yàn)橥ㄔ挄r(shí)間在區(qū)間內(nèi)的頻率為，所以通話時(shí)間在區(qū)間內(nèi)的通話次數(shù)為．（3）這100次通話的平均時(shí)間的估計(jì)值為分鐘．21．解：將甲、乙、丙、丁各自在一次投壺中投中分別記為事件，則．（1）設(shè)只有一人投中為事件，則．（2