2022年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)說明：評閱試卷時，請依據(jù)本評分標(biāo)準(zhǔn).第一試，選擇題和填空題只設(shè)7分和0分兩檔；第二試各題，請按照本評分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的評分檔次給分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步驟正確，在評卷時請參照本評分標(biāo)準(zhǔn)劃分的檔次，給予相應(yīng)的分數(shù).第一試一、選擇題：（本題滿分42分，每小題7分）1.若均為整數(shù)且滿足，則（）A．1.B．2.C．3.D．4.【答】B.因為均為整數(shù)，所以和均為整數(shù)，從而由可得或若則，從而.若則，從而.因此，2.2．若實數(shù)滿足等式，，則可能取的最大值為（）A．0.B．1.C．2.D．3.【答】C.由兩個已知等式可得，而，所以.當(dāng)時，可得，滿足已知等式.所以可能取的最大值為2.3．若是兩個正數(shù)，且則（）A．.B．.C．.D．.【答】C.由可得，則①2022年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)第1頁（共7頁）由于是兩個正數(shù)，所以，所以，從而2022年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)第1頁（共7頁）另一方面，由可得，結(jié)合①式可得，所以因此，.4．若方程的兩根也是方程的根，則的值為（）A．－13.B．－9.C．6.D．0.【答】A.設(shè)是方程的一個根，則，所以.由題意，也是方程的根，所以，把代入此式，得，整理得.從而可知：方程的兩根也是方程的根，這兩個方程實質(zhì)上應(yīng)該是同一個一元二次方程，從而有（其中為常數(shù)），故，所以.因此，.5．在△中，已知，D，E分別是邊AB，AC上的點，且，，,則()A．15°.B．20°.C．25°.D．30°.【答】B.如圖，延長AB到F，使BF=ED，連CF，EF．∵，∴，，，，于是，，．又∵，，∴,．在△CDA和△CBF中，CA=CF，，AD=BF，∴△CDA≌△CBF，∴．于是，．6．對于自然數(shù)，將其各位數(shù)字之和記為，如，，則（）A．28062.B．28065.C．28067.D．28068.2022年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)第2頁（共7頁）【答】2022年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)第2頁（共7頁）把1到2022之間的所有自然數(shù)均看作四位數(shù)（如果不足四位，則在前面加0，補足四位，這樣做不會改變的值）.1在千位上出現(xiàn)的次數(shù)為，1在百位上出現(xiàn)的次數(shù)為，1在十位和個位上出現(xiàn)的次數(shù)均為，因此，1出現(xiàn)的總次數(shù)為.2在千位上出現(xiàn)的次數(shù)為11，2在百位和十位上出現(xiàn)的次數(shù)均為，2在個位上出現(xiàn)的次數(shù)為，因此，2出現(xiàn)的總次數(shù)為.類似的，可求得出現(xiàn)的總次數(shù)均為.因此＝28068.二、填空題：（本題滿分28分，每小題7分）1．已知實數(shù)滿足方程組則.【答】13.由得，把代入，可得.因此，是一元二次方程的兩個實數(shù)根，易求得這兩個實數(shù)根分別為3和，所以.2．二次函數(shù)的圖象與軸正方向交于A，B兩點，與軸正方向交于點C．已知，，則．【答】．由題意知，點C的坐標(biāo)為，．設(shè)兩點的坐標(biāo)分別為，，則是方程的兩根．由根與系數(shù)的關(guān)系得．又，則．于是，，．由，得．2022年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)第3頁（共7頁）3．在等腰直角△ABC中，AB＝BC＝5，P是△ABC內(nèi)一點，且PA＝，PC＝5，則PB＝______．2022年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)第3頁（共7頁）【答】.作PE⊥AB，交AB于點E，作PF⊥BC，交BC于點F，設(shè)，分別在△PAE、△PCF中利用勾股定理，得①②②－①，得，所以，代入①中，得，解得，.當(dāng)時，，在Rt△PAE中，由勾股定理可得.當(dāng)時，，此時，所以點P在△ABC的外面，不符合題意，舍去.因此.4．將若干個紅、黑兩種顏色的球擺成一行，要求兩種顏色的球都要出現(xiàn)，且任意中間夾有5個或10個球的兩個球必為同一種顏色的球.按這種要求擺放，最多可以擺放_______個球.【答】15.將這些球的位置按順序標(biāo)號為1，2，3，4，…….由于1號球與7號球中間夾有5個球，1號球與12號球中間夾有10個球，12號球與6號球中間夾有5個球，7號球與13號球中間夾有5個球，13號球與2號球中間夾有10個球，2號球與8號球中間夾有5個球，8號球與14號球中間夾有5個球，14號球與3號球中間夾有10個球，3號球與9號球中間夾有5個球，9號球與15號球中間夾有5個球，15號球與4號球中間夾有10個球，4號球與10號球中間夾有5個球，因此，編號為1，7，12，6,

13，2，8，14，3，9，15，4，10的球顏色相同，編號為5，11的球可以為另外的一種顏色.因此，可以按照要求擺放15個球.如果球的個數(shù)多于15個，則一方面，16號球與10號球應(yīng)同色，另一方面，5號球與16號球中間夾有10個球，所以5號球與16號球同色，從而1到16號球的顏色都相同，進一步可以知道：所有的球的顏色都相同，與要求不符.因此，按這種要求擺放，最多可以擺放15個球.第二試（A）一．（本題滿分20分）設(shè)整數(shù)（）為三角形的三邊長，滿足，求符合條件且周長不超過30的三角形的個數(shù).解由已知等式可得①令，則，其中均為自然數(shù).于是，等式①變?yōu)?，?022年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)第4頁（共7頁）②2022年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)第4頁（共7頁）由于均為自然數(shù)，判斷易知，使得等式②成立的只有兩組：和…………10分（1）當(dāng)時，，.又為三角形的三邊長，所以，即，解得.又因為三角形的周長不超過30，即，解得.因此，所以可以取值4，5，6，7，8，對應(yīng)可得到5個符合條件的三角形.…………15分（2）當(dāng)時，，.又為三角形的三邊長，所以，即，解得.又因為三角形的周長不超過30，即，解得.因此，所以可以取值2，3，4，5，6，7，對應(yīng)可得到6個符合條件的三角形.綜合可知：符合條件且周長不超過30的三角形的個數(shù)為5＋6＝11.……20分二．（本題滿分25分）已知等腰三角形△ABC中，AB＝AC，∠C的平分線與AB邊交于點P，M為△ABC的內(nèi)切圓⊙I與BC邊的切點，作MD明：PD是⊙I的切線.證明過點P作⊙I的切線PQ（切點為Q）并延長，交BC于點N.因為CP為∠ACB的平分線，所以∠ACP＝∠BCP.又因為PA、PQ均為⊙I的切線，所以∠APC＝∠NPC.又CP公共，所以△ACP≌△NCP，…………10分所以∠PAC＝∠PNC.由NM＝QN，BA＝BC，所以△QNM∽△BAC，故∠NMQ＝∠ACB，所以MQ………………20分又因為MD又點Q、D均在⊙I上，所以點Q和點D重合，故PD是⊙I的切線.……………25分三．（本題滿分25分）已知二次函數(shù)QUOTEy=x2+bx-c的圖象的圖象經(jīng)過兩點P，Q.（1）如果都是整數(shù)，且，求的值.（2）設(shè)二次函數(shù)QUOTEy=x2+bx-c的圖象的圖象與軸的交點為A、B，與軸的交點為C.QUOTEfx如果關(guān)于的方程的兩個根都是整數(shù)，求△ABC的面積.解點P、Q在二次函數(shù)QUOTEy=x2+bx-c的圖象的圖象上，故，，解得，.………………5分（1）由知解得.2022年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)第5頁（共7頁）又為整數(shù)，所以，，.………………10分2022年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)第5頁（共7頁）(2)設(shè)