複變數(shù)對偶邊界元素法研究報告人陳鈺文海洋大學(xué)河海工程研究所中華民國八十七年六月四號複變數(shù)對偶邊界元素法研究1複變數(shù)阿達馬主值之觀念及其應(yīng)用陳正宗教授海洋大學(xué)河海工程研究所，基隆八十八年電子計算機於土木水利工程應(yīng)用會議中華民國八十九年二月十七日～十八日，臺中複變數(shù)阿達馬主值之觀念及其應(yīng)用陳正宗教授八十八年電子計2綱要研究動機以阿達馬主值求解基本解複變數(shù)對偶邊界元素法結(jié)論綱要研究動機3研究動機對偶邊界元素法實數(shù)域核函數(shù)的超奇異性計算難度較繁雜傳統(tǒng)複變數(shù)邊界元素法變量(u,v)退化邊界問題?變量(t)?複變數(shù)對偶邊界元素法主值與基本解研究動機對偶邊界元素法實數(shù)域核函數(shù)的超奇異性計算難度較4以複數(shù)域阿達馬主值

求解基本解以複數(shù)域阿達馬主值

求解基本解5高階極點的路徑積分極點以往如何處置如何將極點降階高階極點的路徑積分極點6泰勒展開L’Hopital’srules剛體運動

傳統(tǒng)方法

本文方法泰勒展開L’Hopital’srules傳統(tǒng)方法本文方7桿件問題輔助系統(tǒng)控制方程桿件問題輔助系統(tǒng)控制方程8阿達馬主值Cr段CPV段將發(fā)散的部分予與扣除泰勒展開阿達馬主值Cr段CPV段將發(fā)散的部分予與扣除泰勒展開9主值柯西主值(C.P.V.)阿達馬主值(H.P.V.)主值10複變數(shù)對偶邊界元素法複變數(shù)對偶邊界元素法11域內(nèi)點實數(shù)域?qū)ε挤e分方程式其中，r代表x與s的距離，與分別表示在x與s點的法向量域內(nèi)點實數(shù)域?qū)ε挤e分方程式其中，r代表x與s的距離12邊界點實數(shù)域

對偶邊界積分方程式邊界點實數(shù)域

對偶邊界積分方程式13域內(nèi)點複數(shù)域?qū)ε挤e分方程式柯西積分公式阿達馬積分公式域內(nèi)點複數(shù)域?qū)ε挤e分方程式柯西積分公式阿達馬積分公式14邊界點複數(shù)域

對偶邊界積分方程式ComplexComplexReal邊界點複數(shù)域

對偶邊界積分方程式ComplexComplex15邊界積分方程之離散化影響係數(shù)影響係數(shù)邊界積分方程之離散化影響係數(shù)影響係數(shù)16數(shù)值分析數(shù)值分析17影響係數(shù)矩陣的秩數(shù)影響係數(shù)影響係數(shù)影響係數(shù)矩陣的秩數(shù)影響係數(shù)影響係數(shù)18方式一，配合SVD方式二，配合SVD方式三，配合SVD方式四(由方式三與Least-Square)，配合SVD方式一，配合SVD方式二，配合SVD方式三，配合SVD方式四19奇異值分解法奇異值為零或數(shù)值趨近於零就會出現(xiàn)問題，愈接近於零的奇異值會致使解對於資料的誤差非常敏感，為避免解空間被不正常的放大這需要分析者對問題本身的經(jīng)驗來決定。帶入邊界條件後，為過定的方程（Eq.No.>unknowNo.），以及有v角色的輔助，出現(xiàn)上述劣性情況相對降低。奇異值分解法奇異值為零或數(shù)值趨近於零就會出現(xiàn)問題，20方形正規(guī)邊界算例解析解為u(x,y)=xMixedtypeB.C.NeumanntypeB.C.方形正規(guī)邊界算例解析解為u(x,y)=x21邊界效應(yīng)對

t

與

u

的影響藉由u

與v

建構(gòu)起t。也因常數(shù)元素的模擬產(chǎn)生邊界效應(yīng)，此邊界效應(yīng)對u

值的影響較小，但對t值影響較大。邊界效應(yīng)對t與u的影響藉由u與v建構(gòu)起t。22剛體運動項貢獻在何方v=y+c1與給定邊界條件有關(guān)混合邊界條件與Dirichlet邊界條件c1貢獻量全由v吸收Neumann混合邊界條件c1貢獻量由u與v吸收u=x剛體運動項貢獻在何方v=y+c1與給定邊界條件有關(guān)u=x23力平衡條件亦即矩陣的每一列(column)所有元素和為零。若不是等常數(shù)元素則需將元素長度(li)乘ti，才是力平衡條件。力平衡條件亦即矩陣的每一列(column)所有元素24實數(shù)域下的力平衡條件角域部分的誤差量較大。採力平衡檢驗實數(shù)域下的結(jié)果較由複數(shù)域誤差量較小。實數(shù)域下的力平衡條件角域部分的誤差量較大。25常數(shù)場與不含極點

的封閉路徑積分解一解二解三每一行(row)所有元素和為零時，常數(shù)元素所造成的差量顯示了複數(shù)域下的定常解檢驗較實數(shù)域模式佳。亦可利用留數(shù)定理再次檢驗離散化後邊界積分方程在此封閉積分中並不包任何極點在內(nèi)，相對的無論u值與v值為何，其結(jié)果應(yīng)為零。常數(shù)場與不含極點

的封閉路徑積分解一解二解三每一行(ro26矩形退化邊界算例矩形退化邊界算例27四種組合求解方式的比較方式一正規(guī)邊界之順序如左對於退化邊界，方式一、二的束制條件不足無法做單一考量，以方式四的效果為佳方式四方式三方式二佳較差四種組合求解方式的比較方式一方式四方式三方式二佳較差28結(jié)論提出了兩個驗核方法，一為常數(shù)場解，另一為平衡條件。自柯西積分公式可得阿達馬積分公式，可簡化奇異積分方程與超奇異積分方程的計算過程。對退化邊界問題提出解決之道。結(jié)論提出了兩個驗核方法，一為常數(shù)場解，另一為平衡條件29未來研究方向嘗試以線性元素模擬時，如何滿足超奇異核函數(shù)之密度函數(shù)微分需連續(xù)的要求。如何推廣到三維問題。由平衡條件檢定，可建構(gòu)誤差評估指標，進行自適性網(wǎng)格切割。未來研究方向嘗試以線性元素模擬時，如何滿足超奇異核30拉普拉斯方程在退化邊界時影響係數(shù)影響係數(shù)拉普拉斯方程在退化邊界時影響係數(shù)影響係數(shù)31留數(shù)定理若z0為f(z)的m階極點：則在z0

之留數(shù)表示式為留數(shù)定理若z0為f(z)的m階極點：則在z032研究動機以往對偶邊界元素法均建構(gòu)在實數(shù)域，複數(shù)