27.2

反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)第二十七章反比例函數(shù)第2課時

反比例函數(shù)的性質(zhì)1.復(fù)習(xí)并鞏固反比例函數(shù)圖像的畫法.2.能根據(jù)反比例函數(shù)的圖像歸納出反比例函數(shù)的性質(zhì).(重點)3.能夠結(jié)合反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)解決問題.（難點）學(xué)習(xí)目標(biāo)導(dǎo)入新課回顧與思考問題1

反比例函數(shù)是一個怎樣的圖像？問題2

反比例函數(shù)圖像的位置與k有怎樣的關(guān)系？反比例函數(shù)的圖像是雙曲線當(dāng)

k＞0時，兩條曲線分別位于第一、三象限內(nèi)；當(dāng)

k＜0時，兩條曲線分別位于第二、四象限內(nèi).講授新課反比例函數(shù)的性質(zhì)

觀察反比例函數(shù)

的圖像，回答下列問題：（1）函數(shù)圖像分別位于哪幾個象限內(nèi)？第一、三象限內(nèi)問題1

一x＞0時，圖像在第一象限；x＜0時，圖像在第三象限.在每一個象限內(nèi)，y隨

x的增大而減小.(2)當(dāng)

x取什么值時，圖像在第一象限？當(dāng)

x取什么值時，圖像在第三象限？(3)在每個象限內(nèi)，隨著

x值的增大，y的值怎樣變化？如果

k=－2，－4，－6，那么的圖像又有什么共同特征？問題2

(1)函數(shù)圖像象分別位于哪個象限內(nèi)？(2)在每個象限內(nèi)，隨著

x值的增大，y的值怎樣變化？在每一個象限內(nèi)，y的值隨

x值的增大而增大.x＞0時，圖像在第四象限；x＜0時，圖像在第二象限.例

1

反比例函數(shù)的圖像上有兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)，且

A，B均在該函數(shù)圖像的第一象限部分，若x1＞x2，則y1與

y2的大小關(guān)系為

()A.y1＞y2B.y1=y2C.y1＜y2D.無法確定C提示：因為8＞0，且A，B兩點均在該函數(shù)圖像的第一象限部分，根據(jù)x1＞x2，可知

y1，y2

的大小關(guān)系.

點

(2，y1)和

(3，y2)在函數(shù)

的圖像上，則

y1

y2(填“

＞”“

＜

”或“

=

”).＜練一練-2＜0，在每個象限內(nèi)，y隨

x的增大而增大歸納函數(shù)正比例函數(shù)反比例函數(shù)表達(dá)式圖像形狀k＞0k＜0位置增減性位置增減性y=kx(k≠0)

(k是常數(shù)，k≠0)y=xk直線雙曲線一三象限

y隨

x的增大而增大一三象限每個象限內(nèi)，

y隨

x的增大而減小二四象限二四象限

y隨

x的增大而減小每個象限內(nèi)，

y隨

x的增大而增大例

2

已知反比例函數(shù)，在每一個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，求

a的值.解：由題意得

a2+a－7=－1，且

a－1＜0．解得

a=－3.練一練

已知反比例函數(shù)在每一個象限內(nèi)，y隨著x的增大而減小，求m的值．解：由題意得|m|－4=－1，且3m－8＞0．解得

m=3.反比例函數(shù)表達(dá)式中k的幾何意義二1.在反比例函數(shù)的圖像上分別取點

P，Q向x軸、y軸作垂線，圍成面積分別為

S1，S2

的矩形，填寫下頁表格：合作探究51234－15xyOPS1

S2P(2，2)，Q(4，1)S1的值S2的值S1與S2的關(guān)系猜想S1，S2與k的關(guān)系

4

4S1=S2S1=S2=k－5－4－3－21432－3－2－4－5－1QS1的值S2的值S1與

S2的關(guān)系猜想

S1，S2與k的關(guān)系P(－1，4)，Q(－2，2)2.

若在反比例函數(shù)中也

用同樣的方法分別取P，Q兩

點，填寫表格：4

4S1=S2S1=S2=－kyxOPQS1

S2由前面的探究過程，可以猜想：

若點

P是反比例函數(shù)圖像上的任意一點，過點

P作PA⊥x軸于點

A，PB⊥y軸于點

B，則矩形AOBP的面積與

k的關(guān)系是

S矩形AOBP=|k|.yxOPS我們就k＜0的情況給出證明：設(shè)點P的坐標(biāo)為(a，b).AB∵點P(a，b)在函數(shù)的圖像上，∴，即ab=k.∴S矩形AOBP

=

PB·PA=－a·b=－ab=－k；若點P

在第二象限，則a＜0，b＞0，若點P在第四象限，則a＞0，b＜0，∴S矩形AOBP

=

PB·PA=a·(－b)=－ab=－k.綜上，S矩形AOBP

=|k|.自己嘗試證明

k＞0的情況.BPAS

點Q是其圖像上的任意一點，過點

Q

作QA⊥y軸于點

A，QB⊥x軸于點

B，則矩形

AOBQ

的面積與k的關(guān)系是

S矩形AOBQ

=

.推論：△QAO

和△QBO

的面積與k的關(guān)系是

S△QAO

=

S△QBO

=.對于反比例函數(shù)，AB|

k

|yxO歸納：反比例函數(shù)的面積不變性QA.SA＞

SB

＞

SCB.SA

＜

SB

＜

SCC.SA=

SB

=

SC

D.SA

＜

SC

＜

SB

如圖，在函數(shù)(x＞0)的圖像上有三點

A，B，C，過這三點分別向x軸、y軸作垂線，過每一點所作的兩條垂線與

x

軸、y

軸圍成的矩形的面積分別為

SA，SB，SC，則

(

)yxOABCC做一做根據(jù)前面探究的歸納，這三個矩形的面積均為1例

3

如圖，點

A

在反比例函數(shù)的圖像上，AC⊥x軸于點C，且△AOC的面積為2，求該反比例函數(shù)的表達(dá)式．解：設(shè)點A的坐標(biāo)為(xA，yA)，∵點A在反比例函數(shù)的圖像上，∴xA·yA＝k.又∵

S△AOC＝k

＝

2，∴k＝4.∴

反比例函數(shù)的表達(dá)式為1.如圖，過反比例函數(shù)圖像上的一點P，作PA⊥x軸于A.若△POA的面積為6，則k=

.－12yxOPA練一練k的絕對值為12

圖像在第二、四象限，故

k＜02.

若點P是反比例函數(shù)圖像上的一點，過點P分別向

x軸、y軸作垂線，垂足分別為點M，N，若四邊形

PMON的面積為3，則這個反比例函數(shù)的關(guān)系式是

.或根據(jù)面積得出|k|

為3，未說明圖像經(jīng)過的象限，因此

k

等于3或

-3.例

4

如圖，P，C

是函數(shù)(x＞0)圖像上的任意兩點，PA，CD垂直于

x軸.設(shè)△POA的面積為S1，則S1=

；梯形

CEAD的面積為S2，則S1與S2的大小關(guān)系是S1

S2；△POE的面積S3和S2的大小關(guān)系是

S2

S3.2S1S2＞＝S3

如圖，直線與雙曲線交于A，B兩點，P是

AB上的點，△AOC的面積S1、△BOD的面積S2、△POE的面積S3的大小關(guān)系為

.S1=S2＜S3練一練解析：由反比例函數(shù)面積的不變性易知S1=S2.PE與雙曲線的一支交于點F，連接OF，易知

S△OFE

=S1=S2，而S3＞S△OFE，所以S1，S2，S3的大小關(guān)系為

S1=S2＜S3.FS1S2S3例

5

如圖，點A是反比例函數(shù)(x＞0)

圖像上的任意一點，AB∥x軸交反比例函數(shù)

(x＜0)的圖像于點B，以AB為邊作□

ABCD，其中點C，D在x軸上，則S□ABCD=___.yDBACx325方法總結(jié)：解決反比例函數(shù)有關(guān)的面積問題，可以把原圖形通過切割、平移等變換（割補法），轉(zhuǎn)化為較容易求面積的圖形.O

如圖，函數(shù)y＝－x與函數(shù)的圖像相交于A，B兩點，過點A，B分別作y軸的垂線，垂足分別為

C，D，則四邊形

ACBD

的面積為(

)A.2B.4C.6D.8DyxOCABD練一練44反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合四

在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)和y=k2x+b的圖像大致如下，則k1

、k2、b各應(yīng)滿足什么條件？k2＞0b＞0k1＞0k2＞0b＜0k1＞0合作探究①xyOxyO②k2＜0b＜0k1＜0k2＜0b＞0③xyOk1＞0④xyOy=k2x+b

例

6

函數(shù)y=kx－k與

的圖像大致是()

D.xyOC.yA.yxB.xyODOOk＜0k＞0×××√k＞0k＜0k＞0由一次函數(shù)與

y軸交點知－k＞0，則

k＜0.x提示：由于兩個函數(shù)表達(dá)式都含有相同的系數(shù)k，可對k的正負(fù)性進(jìn)行分類討論，得出符合題意的答案.

在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)與y=ax+1(a≠0)的圖像可能是

(

)A.yxOB.yxOC.yxOD.yxOB練一練a＞0，a＜0，矛盾

a＞0a＞0，成立

不滿足與

y軸交點為（0，1）

a＜0，a＞0，矛盾

例

7

如圖是一次函數(shù)y1=

kx

+

b和反比例函數(shù)的圖像，觀察圖像，當(dāng)y1＞y2時，x的取值范圍為

.－23yxO

－2＜x＜0或x＞3解析：y1＞y2即一次函數(shù)圖像處于反比例函數(shù)圖像的上方時.觀察右圖，可知－2＜x＜0或x＞3.方法總結(jié)：對于一些題目，借助函數(shù)圖像比較大小更加清晰明了.練一練

如圖，一次函數(shù)y1=k1x+b

(k1

≠

0)的圖像與反比例函數(shù)

的圖像交于A，B兩點，觀察圖像，當(dāng)

y1＞y2

時，x的取值范圍是

．－12yxOA

B

－1＜x＜0或x＞2例

8

已知一個正比例函數(shù)與一個反比例函數(shù)的圖像交于點P(－3，4).試求出它們的表達(dá)式，并畫出圖像.

由于這兩個函數(shù)的圖像交于點P(－3，4)，故點P(－3，4)同時在這兩個函數(shù)圖像上，即點P的坐標(biāo)分別滿足這兩個函數(shù)表達(dá)式.解：設(shè)正比例函數(shù)、反比例函數(shù)的表達(dá)式分別為

y=k1x和.

所以，.解得，.P則這兩個函數(shù)的表達(dá)式分別為和，它們的圖像如圖所示.這兩個圖像有何共同特點？你能求出另外一個交點的坐標(biāo)嗎？說說你發(fā)現(xiàn)了什么？想一想：

反比例函數(shù)

的圖像與正比例函數(shù)y=3x的圖像的交點坐標(biāo)為

．(2，6)和(－2，－6)解析：聯(lián)立兩個函數(shù)表達(dá)式，解方程即可.

練一練1.

下列關(guān)于反比例函數(shù)的圖像的三個結(jié)論：

(1)經(jīng)過點(－1，12)和點(10，－1.2)；

(2)在每一個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小；

(3)雙曲線位于第二、四象限.其中正確的是

(填序號).(1)(3)都滿足表達(dá)式，符合題意-12＜0，圖像位于第二、四象限，在每個象限內(nèi)

y

隨

x

的增大而增大，故(2)不對，(3)對當(dāng)堂練習(xí)2.已知反比例函數(shù)的圖像過點(－2，－3)，圖像上有兩點

A(x1，y1)，B(x2，y2)，

且x1＞x2＞0，則y1－y2

0.＜k=-2×(-3)=66＞0，圖像在第一象限，y隨

x的增大而減小，因此

y1＜y23.

已知反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點A(2，－4).(1)求k的值；(2)這個函數(shù)的圖像分布在哪些象限？y隨x的增大如何變化？解：(1)依題意把點A(2，－4)

代入表達(dá)式，得，解得k=－8.(2)這個函數(shù)的圖像位于第二、四象限，在每一個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大.(3)畫出該函數(shù)的圖像；(4)點

B(1，－8)，C(－3，5)是否在該函數(shù)的圖像上？因為點B的坐標(biāo)滿足該函數(shù)表達(dá)式，而點C的坐標(biāo)不滿足該函數(shù)表達(dá)式，所以點B在該函數(shù)的圖像上，點C不在該函數(shù)的圖像上.(4)該反比例函數(shù)的表達(dá)式為

.Oxy解：(3)如圖所示.4.已知反比例函數(shù)y=mx