二次函數(shù)圖像性質(zhì)探索二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)一、二次函數(shù)y=x^2的圖像的繪制方法（1）列表法：首先取原點（0,0），然后在原點兩側(cè)對稱地取4個點，由于關(guān)于y軸對稱的兩個點的橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標相等，所以只需計算y軸右側(cè)兩個點的縱坐標，左側(cè)兩個點的縱坐標對應(yīng)寫出即可，為便于計算，x一般取整數(shù)。（2）描點法：先將y軸右側(cè)的兩個點描出來，然后由對稱關(guān)系找到y(tǒng)軸左側(cè)的兩個對稱點。（3）連線：按照從左到右的順序?qū)⑦@5個點用光滑的曲線連接起來，繪制圖像時不應(yīng)畫到兩端為止，而應(yīng)當畫成兩個方向延伸的形狀。二、二次函數(shù)y=x^2和y=-x^2的圖像和性質(zhì)1.二次函數(shù)y=x^2的圖像是一條拋物線，它的開口方向向上，關(guān)于y軸對稱，對稱軸與拋物線的交點是拋物線的頂點，它是圖像的最高點，坐標為（0,0）。2.二次函數(shù)y=-x^2的圖像是一條拋物線，它的開口方向向下，關(guān)于y軸對稱，對稱軸與拋物線的交點是拋物線的頂點，它是圖像的最低點，坐標為（0,0）。3.圖像和性質(zhì)：y=x^2y=-x^2圖像開口方向向上向下對稱軸y軸y軸頂點坐標（0,0）（0,0）增減性當x>0時，y隨x的增大而增大；當x<0時，y隨x的減小而增大。當x>0時，y隨x的減小而減??；當x<0時，y隨x的增大而減小。最值無最小值無最大值三、二次函數(shù)y=ax^2(a≠0)的圖像的繪制方法（1）列表法：首先取原點（0,0），然后在原點兩側(cè)對稱地取幾個點，由于關(guān)于y軸對稱的兩個點的橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標相等，所以只需計算y軸右側(cè)兩個點的縱坐標，左側(cè)兩個點的縱坐標對應(yīng)寫出即可，為便于計算，x一般取整數(shù)。（2）描點法：先將y軸右側(cè)的兩個點描出來，然后由對稱關(guān)系找到y(tǒng)軸左側(cè)的兩個對稱點。（3）連線：按照從左到右的順序?qū)⑦@幾個點用光滑的曲線連接起來，繪制圖像時不應(yīng)畫到兩端為止，而應(yīng)當畫成兩個方向延伸的形狀。注意：①用描點法繪制的圖像只是整個圖像的一部分，是近似的，由于x可以取任何實數(shù)，所以圖像是向兩個方向無限延伸的。②要用光滑的曲線連接各點，不要畫得太尖或太平。四、二次函數(shù)y=ax^2(a≠0)的圖像的性質(zhì)函數(shù)y=ax^2(a≠0)a的符號a>0a<0圖像開口方向向上向下對稱軸y軸y軸頂點坐標（0,0）（0,0）增減性當x>0時，y隨x的增大而增大；當x<0時，y隨x的減小而增大。當x>0時，y隨x的減小而減??；當x<0時，y隨x的增大而減小。最值當a>0時，y有最小值0；當a<0時，y無最大值。當a>0時，y無最大值；當a<0時，y有最大值0。注：a的絕對值決定拋物線的形狀和開口大?。篴相同時，拋物線的形狀和開口大小相同；a越大，拋物線開口越大。五、二次函數(shù)y=ax+k（a≠0）的圖象與性質(zhì)二次函數(shù)y=ax+k（a≠0）的圖象是一條拋物線，可以通過將拋物線y=ax（a≠0）向上（或向下）平移得到。當k>0時，將拋物線y=ax（a≠0）向上平移k個單位得到y(tǒng)=ax+k（a≠0）的圖象。當k<0時，將拋物線y=ax（a≠0）向下平移|k|個單位得到y(tǒng)=ax+k（a≠0）的圖象。函數(shù)y=ax^2+k（a≠0）a的符號a>0a<0圖象開口方向向上向下對稱軸x=-b/2a頂點坐標(-b/2a,k)增減性當a>0時，增函數(shù)；當a<0時，減函數(shù)。最值當a>0時，最小值為k；當a<0時，最大值為k。拓展：（1）k決定拋物線y=ax+k頂點在y軸上的位置：①當k>0時，頂點在y軸的上方；②當k=0時，頂點是原點，此時拋物線是過原點的直線；③當k<0時，頂點在y軸的下方。（2）拋物線y=ax+k的對稱軸是x=-b/2a，對稱軸是y=ax的拋物線的關(guān)系式是y=ax+k-b^2/4a。六、二次函數(shù)y=a(x-h)^2（a≠0）的圖象和性質(zhì)二次函數(shù)y=a(x-h)^2（a≠0）的圖象是一條拋物線，可以通過將拋物線y=ax（a≠0）向左（或向右）平移得到。當h>0時，將拋物線y=ax（a≠0）向右平移h個單位得到y(tǒng)=a(x-h)^2（a≠0）的圖象。當h<0時，將拋物線y=ax（a≠0）向左平移|h|個單位得到y(tǒng)=a(x-h)^2（a≠0）的圖象。頂點坐標為(h,k)，開口方向取決于a的符號，對稱軸為x=h，增減性同上，最值同上。拓展：拋物線y=a(x-h)^2的頂點在(h,k)上，頂點在x軸上的拋物線的關(guān)系式是y=a(x-h)^2-k。題型一：二次函數(shù)y=ax^2（a≠0）的性質(zhì)比較函數(shù)值大小【例1】已知a<-1，點(a-1,y1),(a,y2),(a+1,y3)都在y=x的圖像上，則（）A.y1<y2<y3B.y1<y3<y2C.y3<y2<y1D.y2<y1<y3【例2】下列各點：(-1,2),(-1,-2),(-2,-4),(-2,4)，其中在二次函數(shù)y=-2x^2的圖象上的是（）A.(-2,4),(-2,-4)B.(-1,2),(-1,-2)C.(-1,-2),(-2,-4)D.(-1,2),(-2,4)【例3】已知點A(-3,y1)在y=x^2上，點B(-1,y2)在y=2x^2上，若y1<y2，則（）A.2<-3B.-3<-2C.-2<-3D.-3<-2注：第一題中的“y=x”的圖像應(yīng)為“直線y=x”的圖像。第二題中的“y=-2x2”的表達式應(yīng)為“y=-2x^2”的表達式。第三題中的“y=x^2”的表達式應(yīng)為“y=x^2”的表達式。1.已知拋物線y=2x2上的三個點A(1,y1)，B(-1,y2)，C(3,y3)，則y1<y2<y3，選項A。2.已知函數(shù)y=-5x的圖象上有三個點(x1,y1)(x2,y2),(x3,y3)，且x1>x2>x3，則y1<y2<y3，選項B。3.一個經(jīng)過點(-1,1)的二次函數(shù)解析式可以表示為y=a(x+1)2+1，選項略。4.例1：(1)將點(-2,7)代入y=ax2中，得到7=a(-2)2=4a，所以a=7/4，因此點B不在拋物線上。(2)將點P(m,-6)代入y=ax2中，得到-6=am2，所以a=-6/m2，因此所求點P的坐標為(m,-6/m2)。例2：(1)將y=(m+2)x代入y=ax2中，得到(m+2)x=ax2，所以a=(m+2)/x，因此x≠0且m≠-2。(2)當a<0時，函數(shù)圖象開口向下，即m+2<0，即m<-2。(3)當a<0時，函數(shù)有最小值，最小值為y=-1/4，此時x=-1/2。5.將m2+m-4分解因式得到(m-1)(m+4)，因此m=1或m=-4。1.將點(-2,4)代入y=ax2中，得到4=a(-2)2=4a，因此a=1，所以該圖象經(jīng)過點(2,4)，選項A。2.當二次函數(shù)y=mx2開口向下時，m<0，選項為“m<0”。3.(1)將函數(shù)y=(m+3)x代入y=ax2中，得到(m+3)x=ax2，所以a=(m+3)/x，因此x≠0。(2)當a<0時，函數(shù)圖象開口向下，即m+3<0，即m<-3。(3)當a<0時，函數(shù)有最小值，最小值為-9/4，此時x=-3/(m+3)。1.三個拋物線y=2x2，y=-2x2，y=1/2x2的共同性質(zhì)是開口向上，選項A。2.函數(shù)y=ax和y=ax2的圖象可能是兩條直線或一條直線和一條拋物線，選項略。3.根據(jù)圖象的特點，a>d>c>b，選項A。2.拋物線y=-2x+5不具有的性質(zhì)是開口向下。3.已知二次函數(shù)y=x^2-2x，在-1≤x≤4這個范圍內(nèi)，求函數(shù)的最值。最低點是（1，-1）。4.拋物線y=ax^2向右平移3個單位長度后經(jīng)過點（4，-1），求a的值和平移后拋物線的二次函數(shù)表達式。a=-1/9，平移后拋物線的二次函數(shù)表達式為y=-(1/9)(x-3)^2-1。【拔高練習】1.對于二次函數(shù)：①y=3x^2②y=x^2③y=-2x^2，它們的圖像在同一坐標系中，開口大小的順序用序號表示應(yīng)是（）D.③>②>①2.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=6cm，動點P從點C沿CA以1cm/s的速度向A點運動，同時動點Q從C點沿CB以2cm/s的速度向點B運動，其中一個動點到達終點時，另一個動點也停止運動，則運動過程中所構(gòu)成的△CPQ的面積y（cm^2）與運動時間x（s）之間的函數(shù)圖像大致是（）一個向上開口的拋物線。3.有一座拋物線形狀的拱橋，正常水位時，橋下水面寬度為20m，拱頂距離水面